Phép giao
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/250px-Venn_A_intersect_B.svg.png)
ChoAvàBlà haitập hợp.GiaohayIntersectioncủaAvàBlà tập gồm nhữngphần tửthuộc cảAvàB,ngoài ra không cóphần tửnào khác. Giao củaAvàBđược viết là "A∩B".[1]Nói một cách đơn giản, giao của hai tập hợpAvàBlà tập hợp tất cả các phần tử mà cảAvàBcó điểm chung.
Biểu tượng giao nhau đôi khi được thay thế bằng từ "và" giữa hai tập hợp. Từ này gợi ý ký hiệu nhỏ gọn hơn cho giao lộ thường được sử dụng. Một cách để nhớ rằng biểu tượng ∩ này đề cập đến giao lộ là nhận thấy sự giống nhau của nó với chữ A viết hoa, viết tắt của từ "và" trong tiếng Anh.
Ký hiệu và ví dụ
[sửa|sửa mã nguồn]Phép giao được ký hiệu bằng "";Ví dụ chẳng hạn:
Giao của nhiều hơn hai tập hợp (phép giao tổng quát) thường được viết là:
tương tự vớiký hiệu sigma viết hoa.
Định nghĩa
[sửa|sửa mã nguồn]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Venn_0000_0001.svg/220px-Venn_0000_0001.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Venn_diagram_gr_la_ru.svg/220px-Venn_diagram_gr_la_ru.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/PolygonsSetIntersection.svg/220px-PolygonsSetIntersection.svg.png)
Giao của hai tập hợpvà,ký hiệu bởi[2]là tập các đối tượng vừa thuộc tập hợpvà vừa thuộc tập hợp Khi viết bằng ký hiệu:
Nghĩa là,là phần tử của giaokhi và chỉ khivừa là phần tử củavà vừa là phần tử của[2]
Thêm ví dụ:
- Giao của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {2, 3}.
- Số 9 không nằm trong phần giao của tập cácsố nguyên tố{2, 3, 5, 7, 11,...} và tập cácsố lẻ{1, 3, 5, 7, 9, 11,...}, là bởi vì số 9 không nguyên tố.
Tập hợp không giao nhau
[sửa|sửa mã nguồn]Ta nói tập hợpgiao với tập hợpnếu tồn tại phần tửvừa thuộcvừa thuộc.
Ngược lại, ta nói tập hợpvàkhông giao nhauhayrời nhaunếukhông giao vớiNghĩa là chúng không chung một phần tử nào cả. Tập hợpvàkhông giao nhau nếu giao của chúng làtập rỗng,được ký hiệu là
Ví dụ chẳng hạn, tậpvàkhông giao nhau, còn tập các số chẵn giao với tập của các sốchia hếtcho 3 tại các bội của 6.
Tính chất đại số
[sửa|sửa mã nguồn]Phép giao là phép toán cótính kết hợp;tức là, cho bất kỳ tậpvàta có
Do vậy, dấu ngoặc có thể bỏ đi mà không làm mất giá trị: cả hai cái trên đều có thể viết thành.Phép giao còn có tínhgiao hoán.Tức là cho bất kỳ tậpvàta có Giao của bất kỳ tập hợp vớitập rỗngsẽ ra tập rỗng; nghĩa là cho bất kỳ tập hợp, Ngoài ra, phép giao còn cótính lũy đẳng;tức là, cho bất kỳ tập,.Tất cả tính chất này đều đương tự vớiphép hội.
Phép giaophân phốitrênphép hợpvà ngược lại. Nghĩa là cho bất kỳ tậpvàta có Trong vũ trụta định nghĩaphần bùcủalà tập các phần tử thuộcnhưng không thuộcSử dụng định nghĩa này, giao củavàcó thể viết lại thành bù củahợpcủa bù của mỗi phần tử, dễ dàng suy ra từluật De Morgan:
Giao của họ tập hợp
[sửa|sửa mã nguồn]Giao của họ khác rỗng
[sửa|sửa mã nguồn]Dạng tổng quát nhất là giao của mộthọtập hợp. Nếulà tập hợp khác rỗng trong đó các phần tử là các tập hợp, thìlà phần tử củagiaocủakhi và chỉ khivới mọiphần tửthuộclà phần tử thuộc Viết bằng ký hiệu:
Ký hiệu này có nhiều các viết khác khác nhau. Cácnhà lý thuyết tập hợpsẽ đôi khi viết "",trong khi một số sẽ viết"". Ký hiệu sau có thể tổng quát hóa thành"",tức là giao của họ Trong đólàtập chỉ sốkhác rỗng vàlà tập hợp với mọi
Khi tập chỉ sốlà tập cácsố tự nhiên,ký hiệu giao có thể viết lại thành: giống với chuỗi.
Nếu khó khi định dạng, ta cũng có thể viết "".
Giao của họ rỗng
[sửa|sửa mã nguồn]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Variadic_logical_AND.svg/220px-Variadic_logical_AND.svg.png)
Hội của không tham số nào có giá trịhằng đúng(so sánh với:tích rỗng); tương tự như vậy, giao của họ không tập hợp nào sẽ là toànvũ trụ.
Trong phần trước, ta vẫn chưa xét trường hợplàtập hợp rỗng(). Lý do là bởi: Giao của họđược định nghĩa là tập (xemký pháp xây dựng tập hợp) Nếurỗng, thì không có tậpnào thuộc,nên câu hỏi trở thành "phần tửnào sẽ thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa? ". Câu trả lời có vẻ như làmọi phần tử.Khirỗng, điều kiện cho trên là một ví dụ củachân lý rỗng.Do đó, giao của họ rỗng phải làtập phổ dụng(phần tử đơn vịcho phép giao),[3] , song tronglý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel,tập phổ dụng không tồn tại.
Mặc dù vậy, nếu giới hạn về các tập con của một tậpcho trước, thì giao của họ rỗng các tập con củađược định nghĩa tốt. Trong trường hợp này, nếurỗng thì giao của nó sẽ là.Bởiđều thỏa mãn điều kiện, nên giao của họ rỗng các tập con củalà toàn bộ củaNói bằng công thức,Cách hiểu này khớp với ý nghĩ rằng khi họ các tập con càng ngày càng nhỏ đi thì giao tương ứng của chúng càng trở nên lớn hơn; và trong trường hợp đặc biệt, giao của họ rỗng sẽ là toàn bộ tập nền.
Xem thêm
[sửa|sửa mã nguồn]- Tập hợp
- Phép hợp
- Giao (Hình học Euclid)
- Đồ thị giao
- Lý thuyết giao
- Danh sách các định thức và quan hệ tập hợp
- Phép hội
- Lý thuyết tập hợp ngây thơ
- Hiệu đối xứng– Các phần tử chỉ thuộc duy nhất một trong hai tập hợp
Tham khảo
[sửa|sửa mã nguồn]- ^Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 10
- ^ab“Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product”.www.probabilitycourse.com.Truy cập ngày 4 tháng 9 năm 2020.
- ^Megginson, Robert E.(1998). “Chapter 1”.An introduction to Banach space theory.Graduate Texts in Mathematics.183.New York: Springer-Verlag. tr. xx+596.ISBN0-387-98431-3.
Thư mục
[sửa|sửa mã nguồn]- Nguyễn Tiến Quang (2008),Đại số đại cương,Nhà xuất bản giáo dục
- Hoàng Xuân Sính(1972),Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám),Nhà xuất bản giáo dục
- Devlin, K. J.(1993).The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory.New York, NY: Springer-Verlag.ISBN3-540-94094-4.
- Munkres, James R.(2000). “Set Theory and Logic”.Topology.Upper Saddle River: Prentice Hall.ISBN0-13-181629-2.
- Rosen, Kenneth (2007). “Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums”.Discrete Mathematics and Its Applications.Boston: McGraw-Hill.ISBN978-0-07-322972-0.
Liên kết ngoài
[sửa|sửa mã nguồn]![]() |
Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải vềPhép giao. |