Octonion

Trongtoán học,cácoctonionlà một đại số chia định chuẩn trên cácsố thực.Hệ quả: nó là mộthệ thống sốsiêu phức.Octonion thường được biểu thị bằng chữ in hoa O, chữ đậmOhoặc chữ đậm bảng đen$\mathbb {O}$.Octonion có tám chiều; gấp đôi các quaternion. Nókhông giao hoánvàkhông kết hợp,nhưng thỏa mãn một hình thức kết hợp yếu hơn gọi là kết hợp thay phiên.

Định nghĩa

Các octonions có thể được coi như là các octet (bộ tám) của các số thực. Mỗi octonion là mộttổ hợp tuyến tínhcủa cácocton đơn vị:

$\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},$

Nếu ta đồng nhất$e_{0}$với số 1, ta cũng có thể viết

$x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,$

với các hệ số thực$\{x_{i}\}$.

Phép cộng được cho bởi cộng từng số hạng. Phép nhân đựoc cho bởibảng nhâncủa các đơn vị (Cayley, 1845 và Graves, 1843):

		$e_{j}$
	$e_{i}e_{j}$	$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
$e_{i}$	$e_{0}$	$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
	$e_{1}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{5}$	$-e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$
	$e_{2}$	$e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$-e_{4}$	$-e_{5}$
	$e_{3}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$-e_{4}$
	$e_{4}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$
	$e_{5}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{3}$	$e_{2}$
	$e_{6}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{2}$	$e_{3}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$
	$e_{7}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{1}$	$-e_{0}$

Phương pháp xây dựng Cayley-Dickson

Một octonion có thể được xác định như một cặp hai số phức. Tích của hai cặp(a,b)và(c,d)được xác định bởi

$(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}),$

Ở đây$z^{*}$biểu thị liên hợp quaternion củaz.Định nghĩa này tương đương với định nghĩa được đưa ra ở trên.