科學人 6月號/2023 第256期

數感天生

大部份的人一眼可看出小數目的物品數量，且能不假
  思索進行粗淺的數學運算;而研究發現，未受過
數學教育的幼兒也能辦到，顯示我們具有天生的數感。

撰文/貝克(Jacob Beck)、克拉克(Sam Clarke) 
繪圖/鍾(Jamie Chung) 
翻譯/謝伯讓

想像你正在舉辦一場派對。你買好零 食、準備好音樂，並在冰箱中擺放了各種啤酒。第一位客人到場，他帶來半打啤酒，並自己拿走一瓶。第二位客人又帶來幾瓶啤酒，然後也喝了一瓶。當你也想喝啤酒時，打開冰箱，結果發現裡面只有八瓶啤酒。你並沒有精確去計數到底有多少瓶啤酒進出冰箱，但知道裡面應該不只有八瓶。於是你開始東翻西找，果然在冰箱保鮮抽屜中，還有好幾瓶啤酒躲在爛掉的蘿蔓萵苣後面。

你怎麼會想到要在冰箱中尋找消失的啤酒呢?你並不是冰箱旁的守衛，也沒有隨時在記錄有幾瓶啤酒進進出出。你使用的能力，其實是認知科學家所說的「數感」(number sense)，也就是一種能在不自覺情況下進行簡單數學運算的心智功能。當你沉浸在與賓客的交談中時，你的數感仍在監測冰箱中有多少瓶啤酒。

長久以來，科學家、數學家和哲學家一直在爭辯這種數感是天生的還是習得的。在西方傳統中，柏拉圖最先主張人類具有天生的數學能力。在柏拉圖的對話錄《米諾篇》(Meno)中，蘇格拉底透過幾個簡單的問題，就可以引導未受過教育的男孩得出畢達哥拉斯定理 (Pythagorean Theorem)。蘇格拉底認為，男孩天生就具有畢達哥拉斯定理的知識，而他的問題只是幫助男孩把知識表達出來而已。

17 世紀的洛克(John Locke)對這種看法表示反對，認為人的心智一開始就是白板一塊，而所有知識幾乎都是經由後天經驗習得。這種與柏拉圖先天論的對立觀點稱為經驗論，彌爾(John Stuart Mill)後來更進一步發展此理論，認為我們學會 2+3=5，就是因為看過許多支持此算式的例子，例如兩個蘋果加三個蘋果等於五個，以及兩瓶啤酒加三瓶啤酒等於五瓶。

簡而言之，經驗論主宰了哲學和心理學直到 20 世紀後半葉，然後才由親先天論的學者喬姆斯基(Noam Chomsky)扭轉了局面，宛如鐘擺般盪回了柏拉圖的方向。喬姆斯基研究語言，主張孩童天生具有語言本能， 使其能在幾乎沒有明確指導的情況下快速習得母語。

其他人更把喬姆斯基的假說延伸至數學領域。1970 年代末期，認知科學家加利斯塔(C. R. Gallistel)和吉爾曼(Rochel Gelman)主張:孩童學習數數的方式， 就是把語言中的數字和天生的「前語言」(preverbal) 算數系統進行配對，而這套系統是人類和許多生物共有的能力。法國神經科學家狄昂(Stanislas Dehaene)在他 1997 年發表的知名著作《數感》中，就透過多方證據讓大眾注意到這套前語言系統，讓各領域(動物認知、發展心理學、認知心理學、神經科學與教育)的許多研究人員都意識到，他們正在探索同一事物。

我們(本文作者)團隊在 2021 年發表於《行為與腦科學》的論文中主張:目前沒有任何有力的競爭理論，可以反駁人類和許多非人類動物都已演化出處理數字的能力。和柏拉圖不同的是，他認為人類天生具有數學知識(思考數字的能力)，我們則認為人類天生具有數學知覺(可以看見或感知數字)的能力。你打開冰箱判斷啤酒大約有幾瓶的方式並非推論(好比看到海尼根標籤就推論出有人帶來荷蘭產的淺色拉格啤酒)，你判斷數量的方式其實更像是在感知形狀和顏色。

但對於這種逐漸形成的共識，仍有人表示反對，新一波的經驗論也在過去十年開始復甦。反對存在天生數感能力的學者強調另一個更廣闊且重要的科學難題: 如何知道嬰兒或非人類動物的心智?身為認知科學哲學家，我們團隊將從過去無法得到的眾多實驗證據中做出推論，讓幾千年的哲學思考能夠更進一步.....

自然之書以數學寫成 —— 我們天生都是數學家

伽利略認為，自然與科學離不開數學，但數學確實是現代許多人求學時期的噩夢。我們的生活脫離不了數學，幸 好，我們天生就有一種「數感」。

文／孫維新

這期「總編輯的話」是一篇笑話集錦，是一篇有關數學和數學家的笑話集錦。

一輛火車飛馳在英國的原野上，車廂中有三個人，一位工程師、一位物理學家，以及一位數學家。 他們同時看到外面草原上站著一隻黑色的羊，一動也不動，工程師說話了:「沒有想到，英國的羊是黑色的！」物理學家說話了：「我要糾正你，你應該說: 『英國的羊，這一隻，是黑色的！』。」數學家說話了:「我要糾正你，你應該說:『英國的羊，這一隻，這一面，是黑色的！』」數學家最嚴謹，因為他們只能在觀察到的事實範圍內作評論，雖然我們從來沒有看過一隻羊，一面是黑色的，另一面是白色的。

數學上有一個著名的「芝諾悖論」(Zeno’s paradox)，說的是「一名賽跑選手永遠跑不到終點」，因為他如果要跑完全程，假設是100米，他必須先跑完1/2 的路程，也就是50米，剩下的50米他需要先跑完1/2，也就是25米，剩下的25米他需要先跑完12.5米，這樣細分下去，他前面有無數個1/2等著他超越，所以他永遠也跑不到終點。這個悖論影響深遠，一個數學系的男生和一個物理系的男生站在文學院的長廊這一端，看到長廊彼端站著一個漂亮的女孩子，物理系的男生就提議過去找她搭訕，數學系的男生剛一聽很高興，但一下子就轉為失望，說:「根據芝諾悖論，我們永遠也走不到她那裡。」物理系的男生仍然很積極，說:「沒有關係，只要夠近就好了！」

有三個人站在一棟房子前面認真觀察，一位是生物學家，一位是物理學家，還有一位是數學家，他們都被告知這棟房子是空的，但沒過多久看到一個人走進去，過了一會兒又看到兩個人走出來，三個人看了困惑莫名，生物學家最快得到結論：「這個現象就叫 做『繁殖』!」物理學家說:「不，不，這叫『量子測量』，你根本不知道進去幾個人，出來幾個人！」 只有數學家最淡定，說:「現在要是再進去一個人， 這個屋子就空無一人了！」

如果您看到這裡就哈哈大笑，那我要說您的數學功力真高！若您還不知道這個笑話已經結束，那您的 數學程度⋯⋯還是有不少進步的空間。數學家不管實際的「人」，只管形而上的「數」，進去一個人出來兩個人，屋裡就剩下「負1人」，此時要再進去「正1人」，互相抵消，屋裡就空無一人了！

笑話部份到此結束，您可別覺得是不是科學界對數學家不友善，怎麼會有這麼多數學和數學家的笑話？其實有關物理和物理學家的笑話更多，改日再敘。

您要是認為經過數學的嚴格訓練，數學家的生活一定嚴肅枯燥、缺乏樂趣，那您就錯了，他們可快樂得很呢！我高中念建國中學，同學中有不少奇人異士，在班上坐我前面和坐我後面的兩位同學就是數學天才，我們高一的時候，他們就在看大一的微積分， 我們高三的時候，他們就在看大四的拓撲學。兩人的數學功底如此深厚，高中的數學內容自然無啥可聽，上數學課時兩人就下圍棋， 在白紙上畫上橫19豎19的棋盤，前面一人畫上一子，傳給我，我看看再傳給後面一人，後面一人畫上一子，傳給我，我看看再往前傳，我基本就扮演一個「棋評」的角色。老師在講台上看到這一幕，心生不爽，就在黑板上寫了一個極難的題目，叫我前面那位同學上去解題，這位同學平常動作緩慢，外號「海龜」，他慢條斯理地走上台去，看看題目，拿起粉筆三下兩下算出答案，放下粉筆，慢慢走 回座位，繼續低頭下棋，老師在台上氣得吹鬍子瞪眼。

後來他們兩位都是第一志願上了台大數學系，我在物理系，大一寒假就聽說了「海龜」的驚人事蹟， 所有和數學相關的科目都是100分，所有和數學無關的科目都被當。

數學不只是傑出人士的心智遊戲，它存在於我們 生活中的每一個層面，我們若能培養一些簡單的數學估算能力，就會讓生活更為順遂，而且不容易受騙上當。我在美國航太總署(NASA)做研究時是在紫外線衛星部門，在隔壁棟X射線部門有一位資深科學家墨索斯基 ( Richard Mushotzky ) ，人很聰明又溫和， 有一天他跟我說，昨天去法庭當公民陪審員，我好奇他怎麼會被選上？因為一般而言，候選的陪審員人數是正式上台聽審所需的兩倍，訴訟雙方的律師要先面談篩選一遍，淘汰掉律師認為不合適的人，例如有碩博士學歷的人，因為知識太豐富就不好引導思想。沒想到墨索斯基這個NASA的大科學家竟然通過篩選上堂聽審。這次是一戶居民控告鄰居的建設公司，在蓋房子的過程中排水管破裂淹了自家後院，控方律師的表演充滿戲劇性，說排水管的口徑多大、水的流速多快，短短幾分鐘就把他當事人的後院變成了一座奧林匹克標準池！墨索斯基的數學能力極佳，心中計算排水管的管徑，加上單位時間的流量，再和奧運標準池對比，馬上發現律師在胡扯。本著科學的良知，他溫和地指出律師數學上的錯誤，就看到律師臉上三條線，一定在想怎麼沒有篩掉這個白目的傢伙？

《科學人》的讀者對中世紀的科學家如伽利略、 克卜勒，和牛頓應該都耳熟能詳，知道他們是傑出的天文學家和物理學家，但其實他們生平擔任的重要職務都和數學有關，伽利略是義大利比薩大學和帕多瓦大學的數學教授，克卜勒是神聖羅馬帝國的皇室數學家，牛頓則是英國劍橋大學的盧卡斯數學講座教授， 足見自然科學的思考和發展離不開數學。

這一期《科學人》的封面故事〈數感天生〉，說明經由研究和實驗，發現人類出生不久的嬰兒就已經有了對「數量」的感知能力，並不需要從後天經驗和教育習得，這對於我們如何看待「數學」幫助很大， 因為數學能力天生就在我們心中！

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自2002年創刊以來共11年榮獲出版界最高榮譽雜誌出版金鼎獎！身為全球科普雜誌的第一品牌，《科學人》一直領先報導全球最先進的科學脈動與產業趨勢，除生命演化及天文奧秘的探索外，也包括成就未來經濟創新的各種工具：「NBIC，Nano-Bio-Info-Cogno（奈米科技、生物科技、資訊科技與神經科技）」，及其聚合衍生的「長壽醫學」、「未來能源」、「淨化科技」、「即時通訊」、「人工智慧」及「前進太空」等產業趨勢內容。除了原Scientific American文章精確編譯外，台灣延伸企劃採訪篇章更佔40%以上，藉由淺顯易懂的編輯呈現方式，帶給產業精英、知識家庭、高中及大專院校師生最具未來性的知識力。

《科學人》雜誌即將於2017年2月滿15週年！15年來，在「廣」的方面，《科學人》月月帶給台灣讀者科學新知、科學新聞、重要科學研究；而在「精」的方面，《科學人》推出15週年特別獻禮：「博學誌」系列文集，滿足您在單一領域更深入、更全方位的知識渴望。

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窺探大腦（2016/10/20修訂版）  中央研究院院士 曾志朗 專文導讀

發現天文之美（2016/11/20修訂版） 國立自然科學博物館館長 孫維新 專文導讀

掌握數位生活（2016/12/20全新出版） 台灣大學資工系教授 林守德專文導讀 活靈活現動物行為（2017/1/20全新出版）金鼎獎科普作家 張東君 專文導讀