Nhị giai đạo hàm sổ đích ý nghĩa

Hàm sổ tại nhất điểm khả đạo, chỉ biểu kỳ tại cai điểm liên tục, tịnh bất năng bảo chứng chỉnh cá hàm sổ đô liên tục

Khả đạo hàm sổ tựu thị tại định nghĩa vực nội, mỗi cá trị đô hữu đạo sổ.
Khả đạo hàm sổ đích điều kiện thị tại định nghĩa vực nội, tất tu thị liên tục đích. Khả đạo hàm sổ đô thị liên tục đích, đãn thị liên tục hàm sổ bất nhất định thị khả đạo hàm sổ.
Lệ như,y=|x|, tại x=0 thượng bất khả đạo. Tức sử giá cá hàm sổ thị liên tục đích, đãn thị lim(x xu hướng 0+)y'=1,lim(x xu hướng 0-)y'=-1, lưỡng cá trị bất tương đẳng, sở dĩ bất thị khả đạo hàm sổ.
Dã tựu thị thuyết tại mỗi nhất cá điểm thượng đạo sổ đích tả hữu cực hạn đô tương đẳng đích hàm sổ thị khả đạo hàm sổ, phản chi bất thị

Ngã giác đắc thị một hữu giá chủng hàm sổ đích. Đãn thị chứng minh chỉ dụng vi phân học đích tri thức khủng phạ thị bất hành đích.
Kiến nghị phiên nhất phiên thật biến hàm sổ đích thư, na thượng diện khả năng hữu quan vu đạo hàm sổ gian đoạn điểm tập đích thế đích giới thiệu hoặc giả cấu tạo, lợi dụng thật biến hàm sổ đích kết luận ứng cai năng chứng minh đạo sổ đích gian đoạn điểm tập bất hội thị chỉnh cá định nghĩa vực, nhân thử đạo sổ tất nhiên hữu liên tục điểm.

Định nghĩa:
Thiết hàm sổ f(x) tại khu gian I thượng định nghĩa, nhược đối I trung đích nhậm ý lưỡng điểm x1 hòa x2, hòa nhậm ý λ∈(0,1), đô hữu
f(λx1+(1-λ)x2) tắc xưng f(x) thị I thượng đích ao hàm sổ.
Nhược bất đẳng hào nghiêm cách thành lập, tức "Như quả" = "Tựu thị đột hàm sổ. Loại tự dã hữu nghiêm cách đột hàm sổ.

Giá cá định nghĩa tòng kỉ hà thượng khán tựu thị:
Tại hàm sổ f(x) đích đồ tượng thượng thủ nhậm ý lưỡng điểm, như quả hàm sổ đồ tượng tại giá lưỡng điểm chi gian đích bộ phân tổng tại liên tiếp giá lưỡng điểm đích tuyến đoạn đích hạ phương, na ma giá cá hàm sổ tựu thị ao hàm sổ.

Trực quan thượng khán, đột hàm sổ tựu thị đồ tượng hướng thượng đột xuất lai đích. Bỉ như y=-x^2,y=lnx.

Như quả hàm sổ f(x) tại khu gian I thượng nhị giai khả đạo, tắc f(x) tại khu gian I thượng thị ao hàm sổ đích sung yếu điều kiện thị f''(x)>=0;f(x) tại khu gian I thượng thị đột hàm sổ đích sung yếu điều kiện thị f''(x) tham khảo tư liêu: 《 sổ học phân tích 》

f(x)=x² thị ao hàm sổ.

Hàm sổ đạo sổ công thức
Giá lí tương liệt cử kỉ cá cơ bổn đích hàm sổ đích đạo sổ dĩ cập tha môn đích thôi đạo quá trình:
1.y=c(c vi thường sổ )
y'=0
2.y=x^n
y'=nx^(n-1)
3.y=a^x
y'=a^xlna
y=e^x
y'=e^x
4.y=logax
y'=logae/x
y=lnx
y'=1/x
5.y=sinx
y'=cosx
6.y=cosx
y'=-sinx
7.y=tanx
y'=1/cos^2x
8.y=cotx
y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx
y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
y'=1/1+x^2
12.y=arccotx
y'=-1/1+x^2
Tại thôi đạo đích quá trình trung hữu giá kỉ cá thường kiến đích công thức nhu yếu dụng đáo:
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]&8226;g'(x)『f'[g(x)] trung g(x ) khán tác chỉnh cá biến lượng, nhi g'(x) trung bả x khán tác biến lượng 』
2.y=u/v,y'= ( u'v-uv' ) /v^2
3.y=f(x) đích phản hàm sổ thị x=g(y ), tắc hữu y'=1/x'
Chứng: 1. Hiển nhi dịch kiến, y=c thị nhất điều bình hành vu x trục đích trực tuyến, sở dĩ xử xử đích thiết tuyến đô thị bình hành vu x đích, cố tà suất vi 0. Dụng đạo sổ đích định nghĩa tố dã thị nhất dạng đích: y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0.
2. Giá cá đích thôi đạo tạm thả bất chứng, nhân vi như quả căn cư đạo sổ đích định nghĩa lai thôi đạo đích thoại tựu bất năng thôi quảng đáo n vi nhậm ý thật sổ đích nhất bàn tình huống. Tại đắc đáo
y=e^x
y'=e^x hòa y=lnx
y'=1/x giá lưỡng cá kết quả hậu năng dụng phục hợp hàm sổ đích cầu đạo cấp dư chứng minh.
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
Như quả trực tiếp lệnh ⊿x→0, thị bất năng đạo xuất đạo hàm sổ đích, tất tu thiết nhất cá phụ trợ đích hàm sổ β＝a^⊿x-1 thông quá hoán nguyên tiến hành kế toán. Do thiết đích phụ trợ hàm sổ khả dĩ tri đạo: ⊿x=loga(1+β).
Sở dĩ (a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
Hiển nhiên, đương ⊿x→0 thời, β dã thị xu hướng vu 0 đích. Nhi limβ→0(1+β)^1/β=e, sở dĩ limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
Bả giá cá kết quả đại nhập lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x hậu đắc đáo lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.
Khả dĩ tri đạo, đương a=e thời hữu y=e^x
y'=e^x.
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
Nhân vi đương ⊿x→0 thời, ⊿x/x xu hướng vu 0 nhi x/⊿x xu hướng vu ∞, sở dĩ lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae, sở dĩ hữu
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x.
Khả dĩ tri đạo, đương a=e thời hữu y=lnx
y'=1/x.
Giá thời khả dĩ tiến hành y=x^n
y'=nx^(n-1) đích thôi đạo liễu. Nhân vi y=x^n, sở dĩ y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
Sở dĩ y'=e^nlnx&8226;(nlnx)'=x^n&8226;n/x=nx^(n-1).
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
Sở dĩ lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)&8226;lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6. Loại tự địa, khả dĩ đạo xuất y=cosx
y'=-sinx.
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
Lánh ngoại tại đối song khúc hàm sổ shx,chx,thx đẳng dĩ cập phản song khúc hàm sổ arshx,archx,arthx đẳng hòa kỳ tha giác phục tạp đích phục hợp hàm sổ cầu đạo thời thông quá tra duyệt đạo sổ biểu hòa vận dụng khai đầu đích công thức dữ
4.y=u thổ v,y'=u' thổ v'
5.y=uv,y=u'v+uv'

Đề mục khán bất thái thanh

Hàm sổ liên tục bất nhất định khả đạo. Nhất cá ngận hảo đích lệ tử: y = |x|, kỳ tại x = 0 điểm liên tục, đãn bất khả đạo.

Đạo hàm sổ khả năng hữu hữu chấn đãng gian đoạn điểm, giá cá bất liên tục đích hữu phản lệ.

Đạo sổ giá cá từ khả dĩ thuyết thị hữu lưỡng cá hàm nghĩa.
1, mỗ cá khả đạo hàm sổ tại mỗ nhất cá cụ thể điểm đích thiết tuyến đích tà suất. Giá cá tà suất trị tựu thị nguyên hàm sổ tại cai điểm đích đạo sổ, dã khả dĩ thành vi đạo sổ trị.
2, mỗ cá khả đạo hàm sổ đích đạo hàm sổ, dã tựu thị thuyết đạo hàm sổ tại nhậm hà điểm đích trị, đô thị nguyên hàm sổ tại tương ứng điểm đích đạo sổ. Tại bất dẫn khởi ngộ hội đích tình huống hạ, đạo hàm sổ dã khả dĩ giản xưng vi đạo sổ.
Trừ liễu trực tuyến dĩ ngoại đích kỳ tha hàm sổ, bất đồng điểm đích đạo sổ trị nhất bàn thị bất nhất dạng đích.
Chỉ hữu trực tuyến, tài thị các cá điểm đích đạo sổ trị đô nhất dạng. Tức trực tuyến hàm sổ đích đạo hàm sổ thị thường sổ hàm sổ.

Bỉ như y đối x cầu nhất giai đạo, na ma y đích nhị giai đạo tựu thị tại nhất giai đạo đích cơ sở thượng đối x tái cầu nhất thứ đạo.