Hỗ chất

Hỗ chất(Anh văn:Coprime,Phù hào:⊥, hựu xưngHỗ tố,relatively prime, mutually prime, co-prime )^[1].TạiSổ luậnTrung, như quả lưỡng cá hoặc lưỡng cá dĩ thượng đíchChỉnh sổĐíchTối đại công nhân sổThị1,Tắc xưng tha môn viHỗ chất^[2].Y thử định nghĩa:

Như quảSổ vựcThịChính chỉnh sổ $\mathbb {N^{+}}$ ,Na ma1Dữ sở hữu chính chỉnh sổ hỗ chất^[3].
Như quảSổ vựcThịChỉnh sổ $\mathbb {Z}$ ,Na ma1Hòa-1Dữ sở hữu chỉnh sổ hỗ chất^[4],Nhi thả tha môn thị cận hữu dữ0Hỗ chất đích chỉnh sổ^[5].

Lưỡng cá chỉnh sổaDữbHỗ chất, ký via⊥b.

Hỗ chất đích lệ tử

Lệ như8Dữ10Đích tối đại công nhân sổ thị2,Bất thị1,Nhân thử tha môn tịnh bất hỗ chất.
Hựu lệ như7,10,13Đích tối đại công nhân sổ thị1,Nhân thử tha môn hỗ chất.

Tối đại công nhân sổ khả dĩ thông quáTriển chuyển tương trừ phápĐắc đáo.

Chỉnh tập hỗ chất dữ lưỡng lưỡng hỗ chất

Tam cá hoặc tam cá dĩ thượng đích chỉnh sổ hỗ chất hữu lưỡng chủng bất đồng đích tình huống:

Giá ta chỉnh sổ đích tối đại công nhân sổ thị1,Ngã môn trực tiếp xưng giá ta chỉnh sổ hỗ chất^[6],Dã xưng viChỉnh tập hỗ chất( anh ngữ:setwise coprime)^[7].Dĩ $\{6,8,9\}$ Vi lệ:

\gcd(6,8,9)=\gcd(\gcd(6,8),9)=\gcd(2,9)=1

Giá ta chỉnh sổ thị lưỡng lưỡng hỗ chất đích ( anh ngữ:pairwise coprime). Dĩ $\{7,8,9\}$ Vi lệ:

\gcd(7,8)=\gcd(7,9)=\gcd(8,9)=1\Rightarrow \gcd(7,8,9)=\gcd(\gcd(7,8),9)=\gcd(7,\gcd(8,9))=\gcd(\gcd(7,9),8)=1

Lưỡng lưỡng hỗ chất thị giác vi nghiêm cách đích hỗ chất, như quả nhất cá chỉnh sổ tập hợp thị lưỡng lưỡng hỗ chất đích, tha dã tất định thị chỉnh tập hỗ chất, đãn thị chỉnh tập hỗ chất bất tất nhiên thị lưỡng lưỡng hỗ chất, thậm chí khả năng lưỡng lưỡng giai bất hỗ chất, lệ như $\gcd(6,15,10)=1$ ,Thị chỉnh tập hỗ chất, đãn $\gcd(6,15)=3$ , $\gcd(15,10)=5$ , $\gcd(10,6)=2$ ,Nhậm lưỡng giả giai bất hỗ chất.

Tính chất

Tính chất chi nhất: Chỉnh sổ a hòa b hỗ chất đương thả cận đương tồn tại chỉnh sổ x,y sử đắc xa+yb=1. Hoặc giả, nhất bàn đích, hữu tồn tại chỉnh sổ x,y sử đắc xa+yb=d, kỳ trung d thị a hòa b đích tối đại công nhân sổ. (Bối tổ đẳng thức)

Phán biệt phương pháp

Lưỡng cá bất đồng đích chất sổ nhất định hỗ chất. Lệ như, 2 dữ 7, 13 dữ 19.
Nhất cá chất sổ, lánh nhất cá bất vi tha đích bội sổ, giá lưỡng cá sổ hỗ chất. Lệ như, 3 dữ 10, 5 dữ 26.
1 hòa nhậm hà nhất cá tự nhiên sổ đô hỗ chất. Như 1 hòa 9908.
Tương lân lưỡng cá tự nhiên sổ hỗ chất. Như 15 dữ 16.
Tương lân lưỡng cá kỳ sổ hỗ chất. Như 49 dữ 51.
Giác đại sổ thị chất sổ, tắc lưỡng cá sổ hỗ chất. Như 97 dữ 88.
Lưỡng sổ đô thị hợp sổ ( nhị sổ soa giác đại ), giác tiểu sổ sở hữu đích chất nhân sổ, đô bất thị giác đại sổ đích nhân sổ, giá lưỡng cá sổ hỗ chất. Như 357 dữ 715, 357=3×7×17, nhi 3, 7 hòa 17 đô bất thị 715 đích nhân sổ, cố giá lưỡng sổ hỗ chất.
Lưỡng sổ đô thị hợp sổ ( nhị sổ soa giác tiểu ), giá lưỡng sổ chi soa đích sở hữu chất nhân sổ đô bất thị giác tiểu sổ đích nhân sổ, giá lưỡng cá sổ hỗ chất. Như 85 hòa 78. 85－78=7, 7 bất thị 78 đích nhân sổ, cố giá lưỡng sổ hỗ chất.
Lưỡng sổ đô thị hợp sổ, giác đại sổ trừ dĩ giác tiểu sổ đích dư sổ ( đại vu “1” ) đích sở hữu chất nhân sổ, đô bất thị giác tiểu sổ đích nhân sổ, tắc lưỡng sổ hỗ chất. Như 462 dữ 221, 462÷221=2...20, 20=2×2×5. 2, 5 đô bất thị 221 đích nhân sổ, cố giá lưỡng sổ hỗ chất.
Triển chuyển tương trừ pháp. Như 255 dữ 182. 255－182=73,182－ ( 73×2 ) =36,73－ ( 36×2 ) =1, tắc ( 255, 182 ) =1. Cố giá lưỡng sổ hỗ chất.

Tham khảo lai nguyên

^Eaton, James S. Treatise on Arithmetic. 1872. May be downloaded from:http://archive.org/details/atreatiseonarit05eatogoog
^Number Theory in Science and Communication, p.28.[2014-10-19].( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2014-10-19 ).
^Wiktionary - coprime(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán) dĩ chính chỉnh sổ vi sổ vực lai định nghĩa hỗ chất.
^ProofWiki > Definition:Coprime/Integers.[2014-10-19].( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2020-03-27 ).
^ProofWiki > Integers Coprime to Zero.[2014-10-19].( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2020-03-27 ).
^StackExchange > a problem with coprime numbers.[2014-10-19].( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2020-09-21 ).
^Algebra II: Chapters 4-7,p.14

Ngoại bộ tham khảo

[1] Eaton, James S. Treatise on Arithmetic. 1872. May be downloaded from:http://archive.org/details/atreatiseonarit05eatogoog

[2] Number Theory in Science and Communication, p.28.[2014-10-19].( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2014-10-19 ).

[3] Wiktionary - coprime(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán) dĩ chính chỉnh sổ vi sổ vực lai định nghĩa hỗ chất.

[4] ProofWiki > Definition:Coprime/Integers.[2014-10-19].( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2020-03-27 ).

[5] ProofWiki > Integers Coprime to Zero.[2014-10-19].( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2020-03-27 ).

[6] StackExchange > a problem with coprime numbers.[2014-10-19].( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2020-09-21 ).

[7] Algebra II: Chapters 4-7,p.14

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]