E ( sổ học thường sổ )

“Âu lạp thường sổ”Trọng định hướng chí thử. Quan ô kỳ tha ý nghĩa, thỉnh kiến “Âu lạp thường sổ ( tiêu kỳ nghĩa )”.

Đề kỳ:Thử điều mục hiệt đích chủ đề bất thịKhoa học ký sổ pháp.

$e$,Diệc xưngTự nhiên thường sổ,Tự nhiên để sổ,Hoặc thịÂu lạp sổ(Euler's number), thịVô lý sổĐíchSổ học thường sổ,Dĩ thụy sĩ sổ học giaÂu lạpMệnh danh; hoàn hữu cá giác thiếu kiến đích danh tựNạp bì nhĩ thường sổ,Dụng lai kỷ niệmTô cách lanSổ học giaƯớc hàn · nạp bì nhĩDẫn tiếnĐối sổ.Tha thị nhất cá vô hạn bất tuần hoàn tiểu sổ, sổ trị ước thị ( tiểu sổ điểm hậu 20 vị, A001113):

Âu lạp sổ

Sổ biểu—Vô lý sổ $\color {blue}{\sqrt {2}}$-$\color {blue}\varphi$-$\color {blue}{\sqrt {3}}$-$\color {blue}{\sqrt {5}}$-$\color {blue}\delta _{S}$-$\color {blue}e$-$\color {blue}\pi$
Mệnh danh
Danh xưng	Nạp bì nhĩ thường sổ
Thức biệt
Chủng loại	Vô lý sổ Siêu việt sổ
Phát hiện	Nhã các bố · bá nỗ lợi
Phù hào	$e$
Vị sổSổ liệt biên hào	A001113
Tính chất
Định nghĩa	$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ $e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}$
Liên phân sổ( tuyến tính biểu kỳ )	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...]
Dĩ thử viCănĐích đa hạng thức hoặc hàm sổ	$\int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1$
Biểu kỳ phương thức
Trị	2.7182818284
Vô cùng cấp sổ	$\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$
Nhị tiến chế	10.101101111110000101010001…
Bát tiến chế	2.557605213050535512465277…
Thập tiến chế	2.718281828459045235360287…
Thập nhị tiến chế	2.8752360698219BA71971009B…
Thập lục tiến chế	2.B7E151628AED2A6ABF715880…
Lục thập tiến chế	2;43,5,48,52,29,48,35,6,46,19,55…

$e$Thị sử tại$x=0$Điểm thượng  $f(x)=a^{x}$( lam sắc khúc tuyến ) đíchĐạo sổ( thiết tuyến đíchTà suất) trị vi 1 chi$a$Đích duy nhất trị. Đối bỉ nhất hạ, hàm sổ$2^{x}$( hư điểm khúc tuyến ) hòa$4^{x}$( hư tuyến khúc tuyến ) hòa tà suất vi 1,y- tiệt cự vi 1 đích trực tuyến ( hồng sắc ) tịnh bất tương thiết.

$e=2.71828182845904523536\cdots$,Cận tự trị vi${\frac {271801}{99990}}$.

Hữu hứa đa đích hàm sổ đô hòa$e$Hữu quan:Tự nhiên đối sổ hàm sổĐíchĐể sổTức vi$e$,Sổ học trung đíchChỉ sổ hàm sổDã thường thị chỉ dĩ$e$Vi để sổ đích chỉ sổ hàm sổ.

Lịch sử

Ước hàn · nạp bì nhĩ ô 1618 niên xuất bản đíchĐối sổTrứ tác phụ lục trung đích nhất trương biểu trung đệ nhất thứ đề đáoThường sổ$e$,Đãn tha một hữu ký lục giáThường sổ,Chỉ hữu do tha vi để kế toán xuất đích nhất trương tự nhiên đối sổ liệt biểu, thông thường nhận vi giá thị doUy liêm · áo đặc lôi đứcChế tác đích. Đệ nhất thứ bả$e$Khán vi thường sổ đích thịNhã các bố · bá nỗ lợi,Tha thường thí kế toán hạ thức đích trị:

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

Thượng thức đại biểu bả 1 dữVô cùng tiểuTương gia, tái tự thừaVô cùngĐa thứ.

Dĩ tri đích đệ nhất thứ dụng đáo thường sổ$e$,ThịLai bố ni tìÔ 1690 niên hòa 1691 niên cấpHuệ canh tưĐích thông tín, dĩ$b$Biểu kỳ. 1727 niênÂu lạpKhai thủy dụng$e$Lai biểu kỳ giá thường sổ; nhi$e$Đệ nhất thứ tại xuất bản vật dụng đáo, thị 1736 niên âu lạp đích 《 lực học 》 (Mechanica). Tuy nhiên vãng hậu niên nhật hữu nghiên cứu giả dụng tự mẫu$c$Biểu kỳ, đãn$e$Giác thường dụng, chung ô thành vi tiêu chuẩn.

Dụng$e$Biểu kỳ đích nguyên nhân xác thật bất minh, đãn khả năng nhân vi$e$ThịChỉ sổ hàm sổ(exponential) nhất tự đích thủ tự mẫu. Lánh nhất khán pháp tắc xưng$a,b,c,d$Hữu kỳ tha kinh thường dụng đồ, nhi$e$Thị đệ nhất cá khả dụng tự mẫu.

Định nghĩa

Tựu tượngViên chu suất$\pi$HòaHư sổ đan vịi,$e$Thị sổ học trung tối trọng yếu đích thường sổ chi nhất. Tha hữu kỉ chủng đẳng giới định nghĩa, hạ diện liệt xuất nhất bộ phân.

1. Định nghĩa$e$Vi hạ liệtCực hạnTrị:

   $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

   $e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}$

2. Định nghĩa$e$ViGiai thừa đảo sổChiVô cùng cấp sổĐích hòa:

   $e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

   Kỳ trung$n!$Đại biểu$n$ĐíchGiai thừa.

3. Định nghĩa$e$Vi duy nhất đích chính sổ$x$Sử đắc

   $\int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1$

4. Định nghĩa$e$Vi duy nhất đích thật sổ$x$Sử đắc

   $\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1$

Giá ta định nghĩa khả chứng minh thị đẳng giới đích, thỉnh tham kiến văn chươngChỉ sổ hàm sổ đích đặc chinh miêu thuật.

Tính chất

${\sqrt[{x}]{x}}$Đích cực đại trị tại$x=e$.

Ngận đa tăng trường hoặc suy giảm quá trình đô khả dĩ dụng chỉ sổ hàm sổ mô nghĩ.Chỉ sổ hàm sổ$e^{x}$Đích trọng yếu tính tại ô, duy độc cai hàm sổ ( hoặc kỳ thường sổ bội, tức$x\mapsto ke^{x}$,Kỳ trung$k$Vi nhậm ý thường sổ ) dữ tự thânĐạo sổTương đẳng. Tức:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$.

$e^{x}$ĐíchThái lặc cấp sổVi$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x$

$=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...$

$x$Vi phục sổ thời y nhiên thành lập, nhân thử căn cư$\sin x$Cập$\cos x$Đích thái lặc cấp sổ, đắc xuất tại sổ học trung nhất điều xưng viÂu lạp công thứcĐích trọng yếu đẳng thức:

$e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x$

Đương$x=\pi$Đích đặc lệ thịÂu lạp hằng đẳng thức:

$e^{\mathrm {i} \pi }+1=0$

Thử thức bịLý tra đức · phí mạnXưng vi “Âu lạp đích bảo thạch”.

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)$

TứcĐệ mạc phất công thức.

• $e$ThịVô lý sổHòaSiêu việt sổ( kiếnLâm đức mạn － ngụy nhĩ tư đặc lạp tư định lý). Giá thị đệ nhất cá hoạch chứng vi siêu việt sổ đích sổ, nhi phi cố ý cấu tạo đích ( bỉ giácLưu duy nhĩ sổ); doHạ nhĩ · ai nhĩ mễ đặc(Charles Hermite) ô 1873 niên chứng minh. Hữu sai tưởng tha viChính quy sổ.
• Đương$x=e$Thời hàm sổ$f(x)={\sqrt[{x}]{x}}$Hữu tối đại trị.
• $e$Đích vô cùngLiên phân sổTriển khai thức hữu cá hữu thú đích mô thức, khả dĩ biểu kỳ như hạ ( A003417)

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots ]$

Tựu tượng dĩ hạ đích triển khai thức:

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Vô lý sổ chứng minh

Phản chứng pháp

Chứng minh$e$Thị vô lý sổ khả dĩ dụngPhản chứng pháp.Giả thiết$e$ThịHữu lý sổ,Tắc khả dĩ biểu kỳ thành${\frac {a}{b}}$ , kỳ trung$a,b$Vi chính chỉnh sổ. Dĩ$e$Đích vô cùng cấp sổ triển khai thức khả dĩ đắc xuất mâu thuẫn.

Khảo lự sổ tự

$x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)$,

Dĩ hạ tương thôi đạo xuất$x$Thị tiểu ô 1 đích chính chỉnh sổ; do ô bất tồn tại giá dạng đích chính chỉnh sổ, đắc xuất mâu thuẫn, sở dĩ đắc chứng$e$Thị vô lý sổ.

• $x$Thị chỉnh sổ, nhân vi

  $0<x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)=b!\left({a \over b}-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)$

  $=a(b-1)!-\sum _{i=0}^{b}{b! \over i!}$

  $=a(b-1)!-\left[1+\sum _{n=0}^{b-1}b(b-1)\cdots (n+1)\right]$.

• $x$Thị tiểu ô 1 đích chính sổ, nhân vi

  $0<x=b!\sum _{n=b+1}^{\infty }{1 \over n!}$

  $={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots$

  $<{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={1 \over b}\leq 1$.

Đãn thị 0 dữ 1 chi gian ( bất hàm 0 dữ 1 ) bất tồn tại hữu chỉnh sổ, cố nguyên tiên giả thiết mâu thuẫn, đắc xuất$e$Vi vô lý sổ.

Nhị hạng thức định lý

Thị$n$Vi tồn tại đích sổ trị, sở dĩ dụngNhị hạng thức định lýKhả chứng xuất:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left({\frac {1}{n}}\right)^{i}$

$=\lim _{n\to \infty }\left[C_{0}^{n}1^{n}\left({\frac {1}{n}}\right)^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\right)^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+C_{3}^{n}1^{n-3}\left({\frac {1}{n}}\right)^{3}+...+C_{n}^{n}1^{0}\left({\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]$

$=\lim _{n\to \infty }\left[1\times 1+n\times {\frac {1}{n}}+{\frac {n!}{\left(n-2\right)!2!}}\times {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n!}{\left(n-3\right)!3!}}\times {\frac {1}{n^{3}}}+...+1\times {\frac {1}{n^{n}}}\right]$

$=\lim _{n\to \infty }\left[1+1+{\frac {n\times \left(n-1\right)}{2n^{2}}}+{\frac {n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^{3}}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}\right]$

$=2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+...$

$=2.71828...$

Dĩ tri vị sổ

$e$Đích dĩ tri vị sổ

Nhật kỳ	Vị sổ	Kế toán giả
1748 niên	18	Lý ngang cáp đức · âu lạp
1853 niên	137	William Shanks
1871 niên	205	William Shanks
1884 niên	346	J. M. Boorman
1946 niên	808	?
1949 niên	2,010	Ước hàn · phùng · nặc y mạn
1961 niên	100,265	Daniel Shanks &Ước hàn · uy liêm · luân kỳ
1978 niên	116,000	Sử đế phân · cái thụy · ốc tư ni khắc
1994 niên	10,000,000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1997 niên 5 nguyệt	18,199,978	Patrick Demichel
1997 niên 8 nguyệt	20,000,000	Birger Seifert
1997 niên 9 nguyệt	50,000,817	Patrick Demichel
1999 niên 2 nguyệt	200,000,579	Sebastian Wedeniwski
1999 niên 10 nguyệt	869,894,101	Sebastian Wedeniwski
1999 niên 11 nguyệt 21 nhật	1,250,000,000	Xavier Gourdon
2000 niên 7 nguyệt 10 nhật	2,147,483,648	Cận đằng mậu, Xavier Gourdon
2000 niên 7 nguyệt 16 nhật	3,221,225,472	Colin Martin, Xavier Gourdon
2000 niên 8 nguyệt 2 nhật	6,442,450,944	Cận đằng mậu, Xavier Gourdon
2000 niên 8 nguyệt 16 nhật	12,884,901,000	Cận đằng mậu, Xavier Gourdon
2003 niên 8 nguyệt 21 nhật	25,100,000,000	Cận đằng mậu, Xavier Gourdon
2003 niên 9 nguyệt 18 nhật	50,100,000,000	Cận đằng mậu, Xavier Gourdon
2007 niên 4 nguyệt 27 nhật	100,000,000,000	Cận đằng mậu, Steve Pagliarulo
2009 niên 5 nguyệt 6 nhật	200,000,000,000	Cận đằng mậu, Steve Pagliarulo
2010 niên 2 nguyệt 21 nhật	500,000,000,000	Dư trí hằng ( Alexander J. Yee )
2010 niên 7 nguyệt 5 nhật	1,000,000,000,000	Cận đằng mậu, dư trí hằng ( Alexander J. Yee )
2014 niên 11 nguyệt 15 nhật	1,048,576,000,000	David Galilei Natale

Hài thủ

• TạiGoogle2004 niên đíchThủ thứ công khai mộ cổ,Tập tư ngạch bất thị thông thường đích chỉnh đầu sổ, nhi thị $2,718,281,828, giá đương nhiên thị thủ tối tiếp cận chỉnh sổ đích$e$Thập ứcMỹ nguyên.Google2005 niên đích nhất thứ công khai mộ cổ trung, tập tư ngạch thị $14,159,265, dữViên chu suấtHữu quan.
• GoogleDã thị thủ tiên tạiTịch cốcTâm tạng địa đái, tiếp trứ tạiMa tát chư tắc châu kiếm kiềuXuất hiện đích thần bíQuảng cáo bảnĐích mạc hậu hắc thủ, tha tả trứ {first 10-digit prime found in consecutive digits ofe}.com ( tại$e$Đích liên tục sổ tự trung đệ nhất cá phát hiện đích thập vị chất sổ.com ). Giải quyết liễu giá vấn đề ( đệ nhất cá$e$Trung đích thập vị chất sổ thị 7427466391, xuất kỳ địa đáo ngận hậu tài xuất hiện, do đệ 100 cá sổ tự khai thủy ), tiến nhập võng trạm hậu hoàn hữu cá canh nan đích đề mục yếu giải quyết, tối hậu hội đáo đạt Google đích chiêu sính hiệt. Đãn giá cá thiêu chiến dĩ kết thúc, thượng thuật võng trạm đô dĩ quan bế.
• Trứ danhĐiện não khoa học giaCao đức nạpĐích nhuyễn kiệnMetafontĐíchNhuyễn thể bản bổn hàoXu hướng$e$( tựu thị thuyết bản bổn hào mã thị 2, 2.7, 2.71, 2.718 đẳng ), dữ chi tương đối đích hữuTeXĐíchNhuyễn thể bản bổn hàoHào thị xu hướng vuViên chu suấtĐích.

Tham kiến

• e đích π thứ phương
• Vô lý sổ
• Siêu việt sổ
• Âu lạp sổ
• Viên chu suất
• Chỉ sổ hàm sổ
• Tự nhiên đối sổ