Toán học

Toán họcLà nghiên cứuSố lượng,Kết cấuCùng vớiKhông gianChờ khái niệm vàBiến hóaMột mônNgành học,Thuộc vềHình thức khoa họcMột loại.Toán học lợi dụngTrừu tượng hóaCùngLogicTrinh thám,TừĐếm hết,Tính toán,Mức đo lường,Đối vật thểHình dạngCậpVận độngQuan sát phát triển mà thành.Toán học giaNhóm mở rộng này đó khái niệm, lấy công thức hoá tânPhỏng đoán,Cùng với từ tuyển địnhCông lýCậpĐịnh nghĩaXuất phát,Nghiêm cẩnMà suy luận ra một ít định lý.

Euclid,Tây nguyên tiền tam thế kỷCổ Hy LạpToán học gia,Mà hiện tại bị cho rằng làBao nhiêuChi phụ, này họa vìRaphaelTác phẩm 《Athens học viện》

Cơ sở toán học tri thức cùng vận dụng là trong sinh hoạt không thể thiếu một vòng. Đối số học cơ bản khái niệm hoàn thiện, sớm tạiCổ Ai Cập,MesopotamiaCậpCổ Ấn ĐộTrong lịch sử cổ đại toán học văn bản liền có thể xem thấy, mà ởCổ Hy LạpNơi đó có càng vì nghiêm cẩn xử lý. Từ khi đó bắt đầu, toán học phát triển liền liên tục không ngừng mà tiểu phúc tiến triển, đến 16 thế kỷVăn hoá phục hưngThời kỳ, bởi vì tânKhoa học phát hiệnCùng toán học cách tân hai người lẫn nhau, khiến toán học gia tốc phát triển, cho đến hôm nay.Toán học cũng trở thành rất nhiều quốc gia chấm đất khu giáo dục trung một bộ phận.

Toán học ở rất nhiều lĩnh vực đều có ứng dụng, bao gồmKhoa học,Công trình,Y học,Kinh tế họcCùngTài chính họcChờ. Toán học đối này đó lĩnh vực ứng dụng thông thường được xưng làỨng dụng toán học,Có khi cũng sẽ kích khởi tân toán học phát hiện, cũng dẫn tới hoàn toàn mới ngành học phát triển, tỷ như vật lý học thực chất tính phát triển trung thành lập nào đó lý luận kích phát toán học gia đối với nào đó vấn đề bất đồng góc độ tự hỏi. Toán học gia cũng nghiên cứuThuần túy toán học,Chính là toán học bản thân thực chất tính nội dung, mà không lấy bất luận cái gì thực tế ứng dụng vì mục tiêu. Rất nhiều nghiên cứu tuy rằng lấy thuần túy toán học bắt đầu, nhưng quá trình của nó trung cũng phát hiện rất nhiều nhưng dùng chỗ.

Từ nguyên

Phương tây ngôn ngữTrung “Toán học” (Hy Lạp ngữ:μαθηματικά) một từ nguyên tự vớiCổ Hy Lạp ngữμάθημα(máthēma), này có “Học tập”, “Học vấn”, “Khoa học”,Còn có cái so nghĩa hẹp thả tính kỹ thuật ý tứ － “Toán học nghiên cứu”, cho dù ở này ngữ nguyên nội. Này hình dung từμαθηματικός(mathēmatikós), ý tứ vì “Cùng học tập có quan hệ” hoặc “Dụng công”, cũng sẽ bị dùng để chỉ “Toán học”. Này ởTiếng AnhBà con cô cậu trên mặt số nhiều hình thức, cập ởTiếng PhápTrung mặt ngoài số nhiều hình thứcles mathématiques,Nhưng tố đếnTiếng LatinTrung tính số nhiềumathematica,TừCiceroDịch tự Hy Lạp văn số nhiềuτα μαθηματικά(ta mathēmatiká), này một Hy Lạp ngữ bịAristotleLấy tới chỉ “Vạn vật toàn số”Khái niệm.

Chữ HánTỏ vẻ “Toán học” một từ ước chừng sinh ra với Trung QuốcTốngNguyênThời kỳ. Nhiều chỉ tượng số chi học, nhưng có khi cũng đựng hôm nay thượng toán học ý nghĩa, tỷ như,Tần chín thiều《Toán học chín chương》 ( 《Vĩnh Nhạc đại điển》 nhớ, tức 《 số thư chín chương 》 cũng bị thời Tống chu đáo chặt chẽ sở 《 quý tân tạp thức 》 nhớ vi 《 toán học mơ hồ 》 ), 《 toán học thông quỹ 》 ( đời MinhKha thượng dời), 《 toán học chìa khóa 》 ( đời ThanhĐỗ biết cày), 《 toán học nhặt của rơi 》 ( đời ThanhĐinh lấy trungSoạn ). Thẳng đến 1939 năm, trải qua Trung Quốc toán học danh từ thẩm tra ủy ban nghiên cứu “Toán học” cùng “Toán học” hai từ sử dụng trạng huống sau, xác nhận lấy “Toán học” tỏ vẻ hôm nay ý nghĩa thượng toán học hàm nghĩa.

Lịch sử

Chủ điều mục:Toán học sử

Kỳ phổ,Ấn thêm đế quốcKhi sở sử dụng đếm hết công cụ

MayaCon số, điểm đen đại biểu một, hắc thẳng tắp đại biểu năm

Toán học có xa xăm lịch sử. Nó bị cho rằng khởi nguyên vớiNhân loạiLúc đầu sinh sản hoạt động:Trung QuốcCổ đạiLục nghệChi nhất liền có “Số”,Toán học một từ ở phương tây cóHy LạpNgữTừ nguyênμαθηματικός( mathematikós ), ý tứ là “Học vấn cơ sở”, nguyên vớiμάθημα( máthema, “Khoa học,Tri thức, học vấn” ).

Tiền sửNhân loại đã nếm thử dùng tự nhiên pháp tắc tới cân nhắc vật chất nhiều ít, thời gian dài ngắn chờ trừu tượng số lượng quan hệ, tỷ nhưThời gian đơn vịCóNgày,MùaCùngNămChờ.Số học(ThêmGiảmThừaTrừ) cũng tự nhiên mà vậy sản sinh. Cổ đại tấm bia đá cập bùn bản cũng chứng thực lúc ấy đã cóBao nhiêuTri thức.

Càng tiến thêm một bước tắc yêu cầuViết làmHoặc mặt khác nhưng ký lục con số hệ thống, nhưPhù mộcHoặc vớiẤn thêm đế quốcNội dùng để chứa đựng số liệuKỳ phổ.Trong lịch sử từng có quá rất nhiều bất đồngNhớ số hệ thống.

Ở lúc ban đầu có lịch sử ký lục thời điểm, toán học nội chủ yếu nguyên lý là vì làmThuế vụCùngMậu dịchChờ tương quan tính toán, vì hiểu rõ con số gian quan hệ, vìĐo lường thổ địa,Cùng với vì đoán trướcThiên văn sự kiệnMà hình thành. Này đó có thể đơn giản mà bị khái quát vì toán học đối số lượng, kết cấu,Không gianCậpThời gianPhương diện nghiên cứu.

Tới rồi 16 thế kỷ,Số học,Sơ đẳng đại sốCùng vớiLượng giác họcChờSơ đẳng toán họcĐã lớn thể hoàn bị.17 thế kỷLượng biến đổiKhái niệm sinh ra làm mọi người bắt đầu nghiên cứu biến hóa trung lượng cùng lượng cho nhau quan hệ cùngĐồ hìnhGian cho nhau biến hóa,Vi phân và tích phânKhái niệm cũng vào lúc này hình thành. Theo toán học chuyển hướng hình thức hóa, vì nghiên cứuToán học cơ sởMà sinh ra tập hợp luận cùngSố lý logicChờ cũng bắt đầu phát triển. Toán học trọng tâm từ cầu giải thực tế vấn đề chuyển biến đến đối giống nhau hình thức thượng tự hỏi.

Tự cổ chí kim, toán học liền vẫn luôn không ngừng mà kéo dài tới, thả cùng khoa học có phong phú hỗ trợ lẫn nhau, hai người phát triển đều chịu huệ với lẫn nhau. Trong lịch sử có rất nhiều toán học phát hiện, hơn nữa cho đến hôm nay đều không ngừng mà có tân phát hiện. Theo Mikhail ·B· tắc phủ lưu khắc ( Mikhail B. Sevryuk ) vớiHiệp hội toán học Mỹ thông báo2006 năm 1 nguyệt tập san trung theo như lời, “Gửi vớiToán học bình luậnCơ sở dữ liệu trung luận văn cùng thư tịch số lượng tự 1940 năm ( toán học bình luận ra đời niên đại ) hiện đã vượt qua 190 vạn phân, hơn nữa mỗi năm còn gia tăng vượt qua bảy vạn 5000 phân. Này một học hải tuyệt đại bộ phận vì tân toán họcĐịnh lýVàChứng minh.”

Hình thành, thuần toán học cùng ứng dụng toán học cập mỹ học

Newton( 1643-1727 ),Vi phân và tích phânPhát minh giả chi nhất

Chủ điều mục:Toán học chi mỹ

Mỗi khi có đề cập số lượng, kết cấu, không gian cập biến hóa chờ phương diện vấn đề khi, thông thường liền yêu cầu dùng đến toán học đi giải quyết vấn đề, mà này thường thường cũng mở rộng toán học nghiên cứu phạm trù. Ngay từ đầu, toán học vận dụng có thể thấy được vớiMậu dịch,Thổ địa đo lườngCập lúc sauThiên văn học.Hôm nay, sở hữu khoa học đều tồn tại đáng giá toán học gia nghiên cứu vấn đề, thả toán học bản thân cũng cấp ra rất nhiều vấn đề.NewtonCùngLai bố ni tưLàVi phân và tích phânPhát minh giả,Phí mạnPhát minhPhí mạn đường nhỏ tích phân,Đây là trinh thám cập vật lý thấy rõ hai người sản vật, mà nay ngàyLý thuyết dâyCũng nghĩa rộng ra tân toán học. Một ít toán học chỉ cùng sinh thành nó lĩnh vực có quan hệ, thả dùng để giải đáp này lĩnh vực càng nhiều vấn đề. Nhưng giống nhau bị một lĩnh vực sinh thành toán học ở mặt khác rất nhiều bên trong lĩnh vực cũng thập phần hữu dụng, thả có thể trở thành giống nhau toán học khái niệm. Cho dù là “Nhất thuần” toán học thông thường cũng có thực tế sử dụng, này một không tầm thường sự thật, bị 1963 năm Nobel vật lý thưởng đoạt huy chươngDuy cách nạpXưng là “Toán học ở khoa học tự nhiên trung không thể tưởng tượng hữu hiệu tính”.

Giống như đại đa số nghiên cứu lĩnh vực, khoa học tri thức bùng nổ dẫn tới toán học chuyên nghiệp hóa. Chủ yếu khác nhau vìThuần toán họcCùngỨng dụng toán học.Ở ứng dụng toán học nội, lại bị phân thành hai đại lĩnh vực, hơn nữa biến thành chúng nó tự thân ngành học ——Môn thống kêCùngMáy tính khoa học.

Rất nhiều toán học gia đàm luận toán họcTuyệt đẹp,Này nội tạiMỹ họcCậpMỹ.“Đơn giản” cùng “Chung chung” tức vì mỹ một loại. Mặt khác cũng bao gồm xảo diệu chứng minh, nhưEuclidĐối tồn tại vô hạn nhiềuSố nguyên tốChứng minh; lại hoặc là nhanh hơn tính toán trị số phương pháp, nhưNhanh chóng phó lập diệp biến hóa.Cao đức phỉ · Harold · ha đạiỞ 《Một nhà toán học tự bạch》 một cuốn sách trung cho thấy hắn tin tưởng chỉ cần là mỹ học thượng ý nghĩa, cũng đã cũng đủ trở thành toán học nghiên cứu lý do chính đáng.

Ký hiệu, ngôn ngữ cùng chính xác tính

Chủ điều mục:Toán học ký hiệu

Ở hiện đại ký hiệu trung, đơn giản tỏ vẻ thức khả năng miêu tả ra phức tạp khái niệm. Này một hình ảnh tức sinh ra tự x=cos (yarccos sin〡x〡 +xarcsin cos〡y〡)

Chúng ta hiện nay sở sử dụng đại bộ phận toán học ký hiệu ở 16 thế kỷ sau mới bị phát minh ra tới. Trước đó, toán học lấy văn tự hình thức viết ra tới, loại này hình thức sẽ hạn chế toán học phát triển. Hiện nay ký hiệu khiến cho toán học đối với chuyên gia mà nói càng dễ dàng nắm giữ, nhưng người mới học lại thường đối này chùn bước. Nó bị cực độ áp súc: Chút ít ký hiệu bao hàm đại lượng tin tức. Giống như âm nhạc ký hiệu giống nhau, hiện nay toán học ký hiệu có minh xác ngữ pháp, hơn nữa hữu hiệu mà đối tin tức làm mã hóa, đây là mặt khác viết phương thức khó có thể làm được. Ký hiệu hóa cùng hình thức hóa khiến cho toán học nhanh chóng phát triển, cũng trợ giúp các khoa học lĩnh vực thành lập cơ sở chống đỡ lý luận.

Toán học ngôn ngữ cũng đối người mới học mà nói cảm thấy khó khăn. Như “Hoặc” cùng “Chỉ” này đó tự có so hằng ngày dùng từ càng chính xác ý tứ. Cũng vây bực người mới học, như “Mở ra”Cùng “Vực”Chờ tự ở toán học có đặc biệt ý tứ.Toán học thuật ngữCũng bao gồm như “Cùng phôi”Cập “Nhưng tích tính”Chờ danh từ riêng. Nhưng sử dụng này đó đặc biệt ký hiệu cùng đặc biệt thuật ngữ là có này nguyên nhân: Toán học yêu cầu so hằng ngày dùng từ càng nhiều chính xác tính. Toán học gia tướng này đối ngôn ngữ cập logic chính xác tính yêu cầu xưng là “Nghiêm cẩn”. Nhưng ở hiện thực ứng dụng trung, vứt bỏ một ít nghiêm cẩn tính thường thường sẽ được đến càng tốt kết quả.

Nghiêm cẩnLàToán học chứng minhTrung rất quan trọng thả cơ bản một bộ phận. Toán học gia hy vọng bọn họ định lý lấy hệ thống hóa trinh thám dựa vào công lý bị suy luận đi xuống. Đây là vì tránh cho dựa vào không đáng tin trực quan mà đẩy ra sai lầm “Định lý”,Mà này tình hình trong lịch sử từng xuất hiện quá rất nhiều ví dụ.Ở toán học trung bị mong đợi nghiêm cẩn trình độ bởi vì thời gian mà bất đồng: Người Hy Lạp mong đợi cẩn thận luận chứng, nhưng ởNewtonThời đại, sở sử dụng phương pháp tắc so không nghiêm cẩn. Newton vì giải quyết vấn đề sở làm định nghĩa, tới rồi thế kỷ 19 mới một lần nữa lấy cẩn thận phân tích cập chính thức chứng minh tới xử lý. Hôm nay, toán học gia nhóm tắc liên tục mà ở tranh luậnMáy tính hiệp trợ chứng minhNghiêm cẩn độ. Đương đại lượng tính toán khó có thể bị nghiệm chứng khi, này chứng minh cũng rất khó nói là cũng đủ mà nghiêm cẩn.

Công lýỞ truyền thống tư tưởng trung là “Không chứng hiển nhiên chân lý”, nhưng loại này ý tưởng là có vấn đề. Ở hình thức thượng, công lý chỉ là một chuỗi ký hiệu, này chỉ đối có thể từCông lý hệ thốngĐạo ra công thức chi nội dung có ý nghĩa.Hilbert kế hoạchTức là muốn đem sở hữu toán học đặt ở kiên cố công lý cơ sở thượng, nhưng căn cứGödel định lý bất toàn,Mỗi mộtTương dungThả có thể ẩn dấuPeano công lýCông lý hệ thống tất đựng một không nhưng quyết định công thức; cho nên sở hữu toán học cuối cùngCông lý hóaLà không có khả năng. Cứ việc như thế, toán học thường thường bị tưởng tượng thành chỉ là nào đó công lý hóaTập hợp luận,Tại đây ý nghĩa hạ, sở hữu toán học tự thuật hoặc chứng minh đều có thể viết thành tập hợp luận công thức.

Toán học làm khoa học

Carl · Friedrich · cao tư

Carl · Friedrich · cao tưXưng toán học vì “Khoa họcHoàng Hậu”.Ở Latin nguyên vănRegina Scientiarum,Cùng với nàyTiếng ĐứcKönigin der WissenschaftenTrung, đối ứng với “Khoa học” một chữ độc nhất ý tứ toàn vì tri thức ( lĩnh vực ). Mà trên thực tế, science một từ ở tiếng Anh nội vốn dĩ chính là ý tứ này, thả không thể nghi ngờ hỏi mà toán học tại đây ý nghĩa hạ xác thật là một môn “Khoa học”. Đem khoa học hạn định ởKhoa học tự nhiênCòn lại là sau đó sự. Nếu cho rằng khoa học là chỉ chỉ vật lý thế giới khi, tắc toán học, hoặc ít nhất làThuần toán học,Không phải là một môn khoa học.EinsteinTừng như thế miêu tả: “Toán học định luật càng cùng hiện thực có quan hệ, chúng nó càng không xác định; nếu chúng nó càng là xác định nói, chúng nó cùng hiện thực càng sẽ không có quan.”Rất nhiều triết học gia tin tưởng toán học ở kinh nghiệm thượng không thấu đáoCó không chứng tính,Thả bởi vậy không phảiCarl · sóng phổ ngươiSở định nghĩa khoa học. Nhưng ở 1930 niên đại khi, ở số lý logic thượng tiến triển to lớn biểu hiện toán học không thể gộp vào đến logic nội, thả sóng phổ ngươi suy đoán “Đại bộ phận toán học định luật, như vật lý cập sinh vật học giống nhau, là giả thiết suy diễn: Thuần toán học bởi vậy trở nên càng tiếp cận này giả thiết vì suy đoán khoa học tự nhiên, so nó hiện tại thoạt nhìn càng tiếp cận.”Nhưng mà, mặt khác nhà tư tưởng, như so trứ danhKéo tạp thác tư,Liền cung cấp một cái về toán học bản thân có không chứng tính phiên bản.

Một khác quan điểm tắc vì nào đó khoa học lĩnh vực ( nhưLý luận vật lý) là này công lý vì thử phù hợp hiện thực toán học. Mà trên thực tế, lý luận vật lý học giaTề mạn( John Ziman ) tức cho rằng khoa học là một loại công chúng tri thức, bởi vậy cũng bao hàm nước cờ học. Ở bất luận cái gì dưới tình huống, toán học cùng vật lý khoa học rất nhiều lĩnh vực đều có rất nhiều tương đồng địa phương, đặc biệt là từ giả thiết đoạt được logic suy luận chi thăm dò.Trực giácCùngThực nghiệmỞ toán học cùng khoa họcPhỏng đoánKiến cấu thượng toàn sắm vai quan trọng nhân vật.Thực nghiệm toán họcỞ toán học trung tầm quan trọng chính liên tục mà ở gia tăng, thảTính toánCùng bắt chước ở khoa học cập toán học trung sở sắm vai nhân vật cũng càng ngày càng tăng thêm, giảm bớt toán học không sử dụngKhoa học phương phápKhuyết điểm. ỞStephen · Wolf lặc mỗ2002 năm tác phẩm 《Một loại tân khoa học》 trung hắn đưa ra, tính toán toán học ứng bị coi là sở hữu một khoa học lĩnh vực tới thăm dò.

Toán học gia đối này thái độ cũng không nhất trí. Một ít nghiên cứuỨng dụng toán họcToán học gia cảm thấy bọn họ là nhà khoa học, mà những cái đó nghiên cứu thuần toán học toán học gia tắc thường xuyên cảm thấy bọn họ là ở một môn so tiếp cậnLogicBên trong lĩnh vực công tác, thả bởi vậy trên cơ bản là cáiTriết học gia.Rất nhiều toán học gia cho rằng xưng bọn họ công tác là một loại khoa học, là xem nhẹ này mỹ học phương diện tầm quan trọng, cùng với này làm bảy đạiBác nhã giáo dụcChi nhất lịch sử; mặt khác cũng có người cho rằng nếu xem nhẹ này cùng khoa học chi gian liên hệ, là làm bộ không thấy được toán học cùng này ở khoa học cùngCông trìnhChi gian lẫn nhau ảnh hưởng, tiến tới xúc tiến toán học ở rất nhiều khoa học thượng phát triển này một chuyện thật. Này hai loại quan điểm chi gian sai biệt ở triết học thượng sinh ra toán học là “Bị sáng tạo” ( như nghệ thuật ) hoặc là “Bị phát hiện” ( như khoa học ) tranh luận.Đại họcViện hệ phân chia thường thấy “Khoa học cùng toán học hệ”, này chỉ ra này hai cái lĩnh vực bị coi như có chặt chẽ liên hệ mà phi giống nhau. Trên thực tế, toán học gia thông thường sẽ ở về cơ bản cùng nhà khoa học hợp tác, nhưng ở chi tiết thượng lại sẽ tách ra. Này tranh luận cũng làToán học triết họcĐông đảo đề tài thảo luận trong đó một cái.

Toán học các lĩnh vực

Tham kiến:Toán học lĩnh vực

Lúc đầu toán học hoàn toàn cường điệu ở tính toán thực tế giải toán yêu cầu thượng, giống như phản ánh ở Trung QuốcBàn tínhThượng giống nhau

Như trên sở thuật, toán học chủ yếu ngành học trước hết sinh ra với thương nghiệp thượng tính toán yêu cầu, hiểu biết con số gian quan hệ, đo lường thổ địa cập đoán trướcThiên vănSự kiện. Này bốn loại yêu cầu đại khái mà cùng số lượng, kết cấu, không gian cập biến hóa ( tứcSố học,Đại số,Bao nhiêuCậpPhân tích) chờ toán học thượng rộng khắp tử lĩnh vực tương quan hợp với. Trừ bỏ kể trên chủ yếu chú ý ở ngoài, cũng hữu dụng tới thăm dò từ toán học trung tâm đến mặt khác lĩnh vực thượng chi gian liên kết tử lĩnh vực: ĐếnLogic,ĐếnTập hợp luận(Cơ sở), đến bất đồng khoa học kinh nghiệm thượng toán học (Ứng dụng toán học), cập so cận đại đếnKhông xác định tínhNghiêm khắc nghiên cứu.

Cơ sở cùng triết học

Vì tỏ rõToán học cơ sở,Toán học logicCùngTập hợp luậnChờ lĩnh vực bị phát triển ra tới.

Toán học logic chuyên chú với đem toán học trí ở một kiên cốCông lýGiá cấu thượng, cũng nghiên cứu này một trận cấu kết quả. Liền toán học logic bản thân mà nói, này vìGödel đệ nhị định lý bất toànTương ứng lĩnh vực, mà này có lẽ là logic học trung lưu truyền rộng nhất thành quả: Luôn là tồn tại không thể bị chứng minh chân mệnh đề.

Hiện đại logic bị phân thànhĐệ quy luận,Mô hình luậnCùngChứng minh luận,Thả cùngLý luận máy tính khoa họcCó chặt chẽ liên quan tính,Năm Thiên Hi giải thưởng lớn nan đềTrungP/NP vấn đềChính là lý luận máy tính khoa học trung trứ danh vấn đề.

$P\Rightarrow Q\,$
Toán học logic	Tập hợp luận	Phạm trù luận

Thuần túy toán học

Số lượng

Số lượng nghiên cứu khởi vớiSố,Ngay từ đầu vì quen thuộcSố tự nhiênCậpSố nguyênCùng bị miêu tả ởSố họcNội số tự nhiên cập số nguyên số học giải toán. Số nguyên càng sâu tính chất vớiSố luậnTrung có kỹ càng tỉ mỉ nghiên cứu, này một lý luận bao gồm nhưPhí mã cuối cùng định lýChờ danh kết quả. Số luận còn bao gồm hai cái bị quảng vì tham thảo chưa giải vấn đề:Sinh đôi số nguyên tố phỏng đoánCậpGoldbach phỏng đoán.

Đương số hệ càng tiến thêm một bước phát triển khi, số nguyên bị coi làSố hữu tỷTử tập,Mà số hữu tỷ tắc bao hàm vớiSố thựcTrung, liên tục lượng tức là lấy số thực tới tỏ vẻ. Số thực tắc có thể bị tiến thêm một bước nghĩa rộng hóa thànhSố nhiều.Số tiến thêm một bước nghĩa rộng hóa có thể liên tục đến bao hàmBốn nguyên sốCậpTám nguyên số.Từ số tự nhiên cũng có thể mở rộng đếnSiêu hạn số,Nó hình thức hóa đếm hết đến vô hạn này một khái niệm. Một cái khác nghiên cứu lĩnh vực vì lớn nhỏ, cái này dẫn tớiSố đếmCùng lúc sau đối vô hạn mặt khác một loại khái niệm:A liệt phu số,Nó cho phép vô hạn tập hợp chi gian lớn nhỏ có thể làm có ý nghĩa tương đối.

$1,2,3\,\!$	$-2,-1,0,1,2\,\!$	$-2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!$	$-e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!$	$2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!$
Số tự nhiên	Số nguyên	Số hữu tỷ	Số thực	Số nhiều
$\mathbb {N}$	$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Q}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {C}$

Kết cấu

Rất nhiều đủ số cậpHàm sốTập hợp chờToán học đồ vậtĐều có ở trong chứa kết cấu. Này đó đồ vật kết cấu tính chất bị tham thảo vớiĐàn,Hoàn,VựcChờ trừu tượng hệ thống trung, nên chút đồ vật trên thực tế cũng chính là như vậy hệ thống. Đây làĐại sốLĩnh vực. Tại đây có một cái rất quan trọng khái niệm, tức nghĩa rộng hóa đếnVector không gianVector,Nó vớiTuyến tính đại sốTrung bị nghiên cứu. Vector nghiên cứu kết hợp toán học ba cái cơ bản lĩnh vực: Số lượng, kết cấu cập không gian.Vector phân tíchTắc đem này mở rộng đến cái thứ tư cơ bản bên trong lĩnh vực, tức biến hóa.

Sáng lập với hai mươi thế kỷ ba mươi năm đạiNước PhápBourbaki học pháiCho rằng: Thuần túy toán học, là nghiên cứuTrừu tượng kết cấuLý luận. Kết cấu, chính là lấy mới bắt đầu khái niệm cùng công lý xuất phát suy diễn hệ thống. Bourbaki học pháiCho rằng, có ba loại cơ bản trừu tượng kết cấu:Đại số kết cấu(Đàn,Hoàn,Vực…… ),Tự kết cấu(Thiên tự,Toàn tự…… ),Topology kết cấu(Lân vực,Cực hạn,Liên thông tính,Duy số…… ).

Số luận	Đàn luận	Đồ luận	Tự lý luận

Không gian

Không gian nghiên cứu nguyên tự vớiBao nhiêu－ đặc biệt làHình học Euclid.Lượng giác họcTắc kết hợp không gian cập số, thả bao hàm có danhĐịnh lý Pitago.Hiện nay đối không gian nghiên cứu càng mở rộng tới rồi càng cao duy bao nhiêu,Phi Hình học Euclid( này ởThuyết tương đối rộngTrung sắm vai trung tâm nhân vật ) cậpTô-pô.Số cùng không gian ởHình học giải tích,Hình học vi phânCùngHình học đại sốTrung đều có rất quan trọng nhân vật. Ở hình học vi phân trung cóBó sợiCậpLưu hìnhThượng vi phân và tích phân chờ khái niệm. Ở hình học đại số trung có nhưĐa thứcPhương trình giải tập chờ bao nhiêu đồ vật miêu tả, kết hợp số cùng không gian khái niệm; cũng cóTopology đànNghiên cứu, kết hợp chấm dứt cấu cùng không gian.Lý đànBị dùng để nghiên cứu không gian, kết cấu cập biến hóa. Ở này rất nhiều chi nhánh trung, tô-pô có thể là hai mươi thế kỷ toán học trung có lớn nhất tiến triển lĩnh vực, cũng bao hàm có tồn tại đã lâuGiả thuyết Poincare,Cùng với có tranh luậnBốn màu định lý.Giả thuyết Poincare đã ở 2006 năm xác nhận từ Nga toán học giaGrigori · PerelmanChứng minh,Mà bốn màu định lý đã ở 1976 năm từKhải Nice · A Bội ngươiCùngWolf cương · ha chịuDùng máy tính chứng minh,Mà chưa từng có từ nhân lực tới nghiệm chứng quá.

Bao nhiêu	Lượng giác học	Hình học vi phân	Tô-pô	Toái hình	Suy đoán luận

Biến hóa

Hiểu biết cập miêu tả biến hóa ởKhoa học tự nhiênLà một phổ biến đề tài thảo luận, màVi phân và tích phânCàng vì nghiên cứu biến hóa có lợi công cụ.Hàm sốRa đời với này, làm miêu tả biến hóa lượng trung tâm khái niệm. Đối với số thực cập thật biến hàm số nghiêm khắc nghiên cứu vìThật phân tích,MàPhục phân tíchTắc vì số nhiều đồng giá lĩnh vực.Giả thuyết Riemann—— toán học cơ bản nhất chưa quyết vấn đề chi nhất —— đó là lấy phục phân tích tới miêu tả.Phiếm hàm phân tíchChú trọng ở hàm số ( giống nhau vì vô hạn duy )Không gianThượng. Phiếm hàm phân tích đông đảo ứng dụng chi nhất vìLượng tử cơ học.Rất nhiều vấn đề thực tự nhiên mà sẽ đạo ra một cái lượng cùng với biến hóa suất chi gian quan hệ, mà này ởVi phân phương trìnhTrung bị nghiên cứu. Ở trong giới tự nhiên rất nhiều hiện tượng có thể bịHệ thống động lựcSở miêu tả;Hỗn độn lý luậnCòn lại là đối hệ thống vừa không nhưng đoán trước mà lại là quyết định hành vi làm minh xác miêu tả.

Vi phân và tích phân	Vector phân tích	Vi phân phương trình	Hệ thống động lực	Hỗn độn lý luận	Phục phân tích

Ly tán toán học

Ly tán toán họcLà chỉ đốiLý luận máy tính khoa họcNhất chỗ hữu dụng toán học lĩnh vực chi gọi chung là, này bao hàm cóNhưng tính toán lý luận,Tính toán phức tạp tính lý luậnCậpTin tức lý luận.Nhưng tính toán lý luận kiểm nghiệm máy tính bất đồng lý luận mô hình chi cực hạn, này bao hàm hiện biết nhất hữu lực mô hình ——Đồ linh cơ.Phức tạp tính lý luận nghiên cứu có thể từ máy tính làm so dễ xử lý trình độ; có chút vấn đề cho dù lý luận là có thể lấy máy tính giải ra tới, nhưng lại bởi vì sẽ tiêu phí quá nhiều thời giờ hoặc không gian mà khiến cho này giải đáp vẫn cứ không vì trên thực tế được không, cứ việc máy tính ngạnh thể nhanh chóng tiến bộ. Cuối cùng, tin tức lý luận chuyên chú ở có thể chứa đựng ở riêng môi giới nội tư liệu tổng sản lượng, thả bởi vậy cóÁp súcCậpEntropyChờ khái niệm.

Làm một tương đối so tân lĩnh vực, ly tán toán học có rất nhiều cơ bản chưa giải vấn đề. Trong đó nổi tiếng nhất vìP/NP vấn đề——Năm Thiên Hi giải thưởng lớn nan đềChi nhất.Giống nhau tin tưởng này vấn đề giải đáp là phủ định.

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
Tổ hợp toán học	Tính toán lý luận	Mật mã học	Đồ luận

Ứng dụng toán học

Ứng dụng toán họcTự hỏi đem trừu tượng toán học công cụ vận dụng ở giải đápKhoa học,Công thương nghiệpCùng mặt khác lĩnh vực thượng chi hiện thực vấn đề. Ứng dụng toán học trung một quan trọng lĩnh vực vìMôn thống kê,Nó lợi dụngCơ suất luậnVì này công cụ cũng cho phép đối đựng cơ hội thành phần hiện tượng tiến hành miêu tả, phân tích cùng đoán trước. Đại bộ phận thực nghiệm, điều tra cập quan sát nghiên cứu yêu cầu thống kê đối này tư liệu phân tích. ( rất nhiều môn thống kê gia cũng không cho rằng bọn họ là toán học gia, mà tương đối cảm thấy là hợp tác đoàn thể một phần tử. )Trị số phân tíchNghiên cứu có cái gì tính toán phương pháp, có thể hữu hiệu mà giải quyết những người đó lực có hạn mà tính không ra toán học vấn đề; nó cũng bao hàm đối tính toán trungXá nhập khác biệtHoặc mặt khác nơi phát ra khác biệt chi nghiên cứu.

• 
  Toán học vật lý
• 
  Toán học thuỷ động học
• 
  Trị số phân tích
• 
  Tốt nhất hóa
• 
  Xác suất luận
• 
  Môn thống kê
• 
  Đo tài chính
• 
  Đánh cờ luận
• 
  Số lý kinh tế học
• 
  Sinh vật toán học
• 
  Tác nghiệp nghiên cứu
• 
  Khống chế luận

Toán học giải thưởng

Giải thưởng Fields bài chính diện

Toán học thưởng thông thường cùng mặt khác khoa học giải thưởng tách ra. Toán học thượng nổi tiếng nhất thưởng vìGiải thưởng Fields,Sáng lập với 1936 năm, mỗi bốn năm trao giải một lần. Nó thông thường bị cho rằng là toán học lĩnh vựcGiải Nobel.Một cái khác quốc tế thượng chủ yếu giải thưởng vìAbel thưởng,Sáng lập với 2003 năm. Hai người đều trao giải với riêng công tác chủ đề, bao gồm toán học tân lĩnh vực sáng tạo hoặc đã thành thục trong lĩnh vực chưa giải quyết vấn đề giải đáp. Trứ danh 23 cái vấn đề, xưng làHilbert 23 cái vấn đề,Với 1900 năm từ nước Đức toán học giaDavid · HilbertSở đưa ra. Này liên tiếp vấn đề ở toán học gia chi gian có cực cao danh vọng, thả ít nhất có chín vấn đề đã bị giải đáp ra tới. Một khác tân bảy cái vấn đề quan trọng, xưng làNăm Thiên Hi giải thưởng lớn nan đề,Phát biểu với 2000 năm. Đối này mỗi một vấn đề giải đáp đều có 100 vạn đôla tiền thưởng, mà giữa chỉ có một vấn đề (Giả thuyết Riemann) cùng Hilbert vấn đề lặp lại.

• Giải thưởng Fields,TừQuốc tế toán học liên minhQuốc tế toán học gia đại hộiBan phát giải thưởng. Mỗi bốn năm trao giải một lần, cấp cho có trác tuyệt cống hiến tuổi trẻToán học gia,Mỗi lần nhiều nhất bốn người đoạt giải. Đoạt giải giả cần ở nên năm Nguyên Đán trước không đầy 40 tuổi, là tuổi trẻ toán học gia có thể đạt được lớn nhất giải thưởng.Nó là theoCanadaToán học giaJohan · Charles · FieldsYêu cầu thiết lập. Giải thưởng Fields bị coi là toán học giớiGiải Nobel.
• Wolf thưởng,TừWolf quỹ hộiBan phát, nên quỹ hội với 1976 năm ởIsraelSáng lập, 1978 năm bắt đầu trao giải.Người sáng lậpTạp nhiều · WolfLàNhà ngoại giao,Nhà công nghiệpCùngTừ thiện gia.MàWolf toán học thưởngLà Wolf thưởng một cái giải thưởng, nó cùng giải thưởng Fields bị cộng đồng dự vì toán học gia tối caoVinh dự.
• Abel thưởng,TừNa UyVương thất hướng kiệt xuất toán học gia ban phát một loại giải thưởng, mỗi năm ban phát một lần. 2001 năm, vì kỷ niệm 2002 năm Na Uy trứ danh toán học giaNiels · Henry khắc · Abel200 đầy năm sinh nhật, Na Uy chính phủ tuyên bố đem bắt đầu ban phát này loại tiền thưởng.Tiền thưởng mức đại khái cùng giải Nobel gần. Thiết lập này thưởng một nguyên nhân cũng là vì giải Nobel không có toán học giải thưởng. 2001 năm Na Uy chính phủ chi ngân sách 2 trăm triệu Na UyCu-ronLàm tài chính khởi đầu. Mở rộng toán học ảnh hưởng, hấp dẫn người trẻ tuổi làm toán học nghiên cứu là thiết lập Abel thưởng chủ yếu mục đích.

Tham kiến

• Toán học triết học
• Toán học trò chơi
• Toán học gia danh sách
• Giáo dục
• Tính kinh mười thư
• Toán học thi đua
• Toán học đề

Sách tham khảo mục

• Benson, Donald C.,The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies,Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000).ISBN 978-0-19-513919-8.
• Boyer, Carl B.,A History of Mathematics,Wiley; 2 edition (March 6, 1991).ISBN 978-0-471-54397-8.—A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
• Courant, R. and H. Robbins,What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods,Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996).ISBN 978-0-19-510519-3.
• Davis, Philip J. and Hersh, Reuben,The Mathematical Experience.Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999).ISBN 978-0-395-92968-1.—A gentle introduction to the world of mathematics.
• Gullberg, Jan,Mathematics—From the Birth of Numbers.W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997).ISBN 978-0-393-04002-9.—An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
• Hazewinkel, Michiel (ed.),Encyclopedia of Mathematics.Kluwer Academic Publishers 2000.—A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online[1].
• Kline, Morris,Mathematical Thought from Ancient to Modern Times,Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990).ISBN 978-0-19-506135-2.
• Monastyrsky, Michael.Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal(PDF).Canadian Mathematical Society. 2001[2006-07-28].( nguyên thủy nội dungLưu trữ(PDF)Với 2006-08-13 ).
• Pappas, Theoni,The Joy Of Mathematics,Wide World Publishing; Revised edition (June 1989).ISBN 978-0-933174-65-8.
• Paulos, John Allen.A Mathematician Reads the Newspaper.Anchor. 1996.ISBN 978-0-385-48254-7.
• Ziman, J.M., F.R.S.Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science.1968[2006-10-25].(Nguyên thủy nội dungLưu trữ với 2006-09-09 ).

Phần ngoài liên tiếp

• Rusin, Dave:The Mathematical Atlas( tiếng Anh bản ) hiện đại toán học dạo chơi.
• Weisstein, Eric:World of Mathematics(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán), một cái tại tuyến toán học bách khoa toàn thư.
• Toán học(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán), một cái khác tại tuyến toán học bách khoa toàn thư.
• MathForge(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán), một cái bao hàm toán học, vật lý, máy tính khoa học cùng giáo dục chờ phạm trù tin tức võng chí.
• EpisteMath｜ toán học tri thức(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán).
• Hong Kong khoa học kỹ thuật đại học:Toán học võng,Một cái lấy toán học sử là chủ trang web.
• Như thế nào nghiên tập thuần toán học ( hoặc môn thống kê )(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán): Khoa chính quy cùng cơ sở nghiên cứu chương trình học sách tham khảo mục.
• Toán học văn hóa(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán): Chủ yếu phát biểu cao chất lượng có chứa phổ cập tính văn chương; chủ yếu mặt hướng sinh viên, đại học lão sư cùng nghiên cứu sinh, cùng với trung học lão sư cùng học sinh.
• Toán học học tập tài nguyên:Internet thượng toán học học tập tài nguyên cùng dạy học video.
• "Anh hán đối chiếu toán học dùng từ"( (Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán); anh hán đối chiếu toán học dùng từ ).New York State Education Dept.,Albany. Bureau of Bilingual Education. 1988. --See profile at( (Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán) )ERIC