Trung quốc thặng dư định lý

Trung quốc thặng dư định lý,Hựu xưngTôn tử định lýHoặcTrung quốc dư sổ định lý,ThịSổ luậnTrung đích nhất cá quan vu nhất nguyên tuyến tínhĐồng dưPhương trình tổ đích định lý, thuyết minh liễu nhất nguyên tuyến tính đồng dư phương trình tổ hữu giải đích chuẩn tắc dĩ cập cầu giải phương pháp. Cai định lý tại trung quốc cổ đại dã bị xưng vi “Hàn tínĐiểm binh”, “Cầu nhất thuật” ( tốngThẩm quát), “Quỷ cốc toán” ( tốngChu mật), “Cách tường toán” ( tống chu mật ), “Tiễn quản thuật” ( tốngDương huy), “Tần vươngÁm điểm binh”, “Vật bất tri sổ” đẳng.

Vật bất tri sổ

Nhất nguyên tuyến tính đồng dư phương trình tổ vấn đề tối tảo khả kiến vu trung quốcNam bắc triềuThời kỳ ( công nguyên 5 thế kỷ ) đích sổ học trứ tác 《Tôn tử toán kinh》 quyển hạ đệ nhị thập lục đề, khiếu tố “Vật bất tri sổ” vấn đề, nguyên văn như hạ:

Hữu vật bất tri kỳ sổ, tam tam sổ chi thặng nhị, ngũ ngũ sổ chi thặng tam, thất thất sổ chi thặng nhị. Vấn vật kỉ hà?

Tức, nhất cá chỉnh sổTrừ dĩ tamDư nhị, trừ dĩ ngũ dư tam, trừ dĩ thất dư nhị, cầu giá cá chỉnh sổ. 《Tôn tử toán kinh》 trung thủ thứ đề đáo liễu đồng dư phương trình tổ vấn đề, dĩ cập dĩ thượng cụ thể vấn đề đích giải pháp, nhân thử tại trung văn sổ học văn hiến trung dã hội tương trung quốc thặng dư định lý xưng vi tôn tử định lý. Tôn tử một chính thức chứng minh, đãn hậu lai ấn độ sổ học gia cập thiên văn học giaA gia ba đaCấp xuất cụ thể quá trình, triệt để giải quyết liễu thử định lý đích nhậm hà cấp định thật lệ.

Tối sơ đối “Vật bất tri sổ” vấn đề tác xuất hoàn chỉnh hệ thống giải đáp đích thị tống triều sổ học giaTần cửu thiều,Tái vu 1247 niên 《Sổ thư cửu chương》 quyển nhất, nhị 《 đại diễn loại 》 trung, tòng nhi sử giá nhất vấn đề biến vi định lý. Minh triều sổ học giaTrình đại vịTại 《Toán pháp thống tông》 trung tương giải pháp biên thành dịch vu thượng khẩu đích 《 tôn tử ca quyết 》:

Tam nhân đồng hành thất thập hi, ngũ thụ mai hoa nhập nhất chi, thất tử đoàn viên chính bán nguyệt, trừ bách linh ngũ tiện đắc tri

Giá cá ca quyết cấp xuất liễu mô sổ vi 3, 5, 7 thời hầu đích đồng dư phương trình đích tần cửu thiều giải pháp. Ý tư thị: TươngTrừ dĩ 3Đắc đáo đích dư sổ thừa dĩ 70, tương trừ dĩ 5 đắc đáo đích dư sổ thừa dĩ 21, tương trừ dĩ 7 đắc đáo đích dư sổ thừa dĩ 15, toàn bộ gia khởi lai hậu tái giảm khứ 105 hoặc giả 105 đích chỉnh sổ bội, đắc đáo đích sổ tựu thị đáp án ( trừ dĩ 105 đắc đáo đích dư sổ tắc vi tối tiểu đáp án ). Bỉ như thuyết tại dĩ thượng đích vật bất tri sổ vấn đề lí diện, sử dụng dĩ thượng đích phương pháp kế toán tựu đắc đáo

$70\times 2+21\times 3+15\times 2=233=2\times 105+23.$

Nhân thử án ca quyết cầu xuất đích kết quả tựu thị 23.

《 sổ thư cửu chương 》 tối sơ doVĩ liệt á lựcTại 19 thế kỷ sơ dịch vi anh văn, nhiTây phương thế giớiTối tảo đích hoàn chỉnh hệ thống giải pháp doCao tưTại 1801 niên đề xuất.

Hình thức miêu thuật

Dụng hiện đại sổ học đích ngữ ngôn lai thuyết minh đích thoại, trung quốc thặng dư định lý cấp xuất liễu dĩ hạ đích nhất nguyên tuyến tính đồng dư phương trình tổ:

$(S):\quad \left\{{\begin{matrix}x\equiv a_{1}{\pmod {m_{1}}}\\x\equiv a_{2}{\pmod {m_{2}}}\\\vdots \qquad \qquad \qquad \\x\equiv a_{n}{\pmod {m_{n}}}\end{matrix}}\right.$

Hữu giải đích phán định điều kiện, tịnh dụngCấu tạo phápCấp xuất liễu tại hữu giải tình huống hạ giải đích cụ thể hình thức.

Trung quốc thặng dư định lý thuyết minh: Giả thiếtChỉnh sổm₁,m₂,...,m_nKỳ trung nhậm lưỡng sổHỗ chất,Tắc đối nhậm ý đích chỉnh sổ:a₁,a₂,...,a_n,Phương trình tổ$(S)$Hữu giải, tịnh thả thông giải khả dĩ dụng như hạ phương thức cấu tạo đắc đáo:

1. Thiết$M=m_{1}\times m_{2}\times \cdots \times m_{n}=\prod _{i=1}^{n}m_{i}$Thị chỉnh sổm₁,m₂,...,m_nĐích thừa tích, tịnh thiết$M_{i}=M/m_{i},\;\;\forall i\in \{1,2,\cdots,n\}$,Tức$M_{i}$Thị trừ liễum_iDĩ ngoại đíchn− 1Cá chỉnh sổ đích thừa tích.
2. Thiết$t_{i}=M_{i}^{-1}$Vi$M_{i}$Mô$m_{i}$ĐíchSổ luận đảo sổ:$t_{i}M_{i}\equiv 1{\pmod {m_{i}}},\;\;\forall i\in \{1,2,\cdots,n\}.$
3. Phương trình tổ$(S)$Đích thông giải hình thức vi:$x=a_{1}t_{1}M_{1}+a_{2}t_{2}M_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}M_{n}+kM=kM+\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i},\quad k\in \mathbb {Z}.$Tại mô$M$Đích ý nghĩa hạ, phương trình tổ$(S)$Chỉ hữu nhất cá giải:$x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i}.$

Chứng minh

Tòng giả thiết khả tri, đối nhậm hà$i\in \{1,2,\cdots,n\}$,Do vu$\forall j\in \{1,2,\cdots,n\},\;j\neq i,\;\;\operatorname {gcd} (m_{i},m_{j})=1$,Sở dĩ$\operatorname {gcd} (m_{i},M_{i})=1.$Giá thuyết minh tồn tại chỉnh sổ$t_{i}$Sử đắc$t_{i}M_{i}\equiv 1{\pmod {m_{i}}}.$Giá dạng đích$t_{i}$Khiếu tố$M_{i}$Mô$m_{i}$Đích sổ luận đảo sổ. Quan sát thừa tích$a_{i}t_{i}M_{i}$Khả tri:

$a_{i}t_{i}M_{i}\equiv a_{i}\cdot 1=a_{i}{\pmod {m_{i}}},$

$\forall j\in \{1,2,\cdots,n\},\;j\neq i,\;\;a_{j}t_{j}M_{j}\equiv 0{\pmod {m_{i}}}.$

Sở dĩ$x=a_{1}t_{1}M_{1}+a_{2}t_{2}M_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}M_{n}$Mãn túc:

$\forall i\in \{1,2,\cdots,n\},\;\;x=a_{i}t_{i}M_{i}+\sum _{j\neq i}a_{j}t_{j}M_{j}\equiv a_{i}+\sum _{j\neq i}0=a_{i}{\pmod {m_{i}}}.$

Giá thuyết minh$x$Tựu thị phương trình tổ$(S)$Đích nhất cá giải.

Lánh ngoại, giả thiết$x_{1}$Hòa$x_{2}$Đô thị phương trình tổ$(S)$Đích giải, na ma:

$\forall i\in \{1,2,\cdots,n\},\;\;x_{1}-x_{2}\equiv 0{\pmod {m_{i}}}.$

Nhi$m_{1},m_{2},\ldots,m_{n}$Lưỡng lưỡng hỗ chất, giá thuyết minh$M=\prod _{i=1}^{n}m_{i}$Chỉnh trừ$x_{1}-x_{2}$.Sở dĩ phương trình tổ$(S)$Đích nhậm hà lưỡng cá giải chi gian tất nhiên tương soa$M$Đích chỉnh sổ bội. Nhi lánh nhất phương diện,$x=a_{1}t_{1}M_{1}+a_{2}t_{2}M_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}M_{n}$Thị nhất cá giải, đồng thời sở hữu hình thức vi:

$a_{1}t_{1}M_{1}+a_{2}t_{2}M_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}M_{n}+kM=kM+\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i},\quad k\in \mathbb {Z}$

Đích chỉnh sổ dã thị phương trình tổ$(S)$Đích giải. Sở dĩ phương trình tổ$(S)$Sở hữu đích giải đích tập hợp tựu thị:

$\{kM+\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i}\;;\quad k\in \mathbb {Z} \}.$

Lệ tử

Sử dụng trung quốc thặng dư định lý lai cầu giải thượng diện đích “Vật bất tri sổ” vấn đề, tiện khả dĩ lý giải 《 tôn tử ca quyết 》 trung đích sổ tự hàm nghĩa. Giá lí đích tuyến tính đồng dư phương trình tổ thị:

$(S):\quad \left\{{\begin{matrix}x\equiv 2{\pmod {3}}\\x\equiv 3{\pmod {5}}\\x\equiv 2{\pmod {7}}\end{matrix}}\right.$

Tam cá mô sổm₁$=$3,m₂$=$5,m₃$=$7 đích thừa tích thịM$=$105, đối ứng đíchM₁$=$35,M₂$=$21,M₃$=$15. Nhi khả dĩ kế toán xuất tương ứng đích sổ luận đảo sổ:t₁$=$2,t₂$=$1,t₃$=$1. Sở dĩ 《 tôn tử ca quyết 》 trung đích 70, 21 hòa 15 kỳ thật thị giá cá “Vật bất tri sổ” vấn đề đích cơ sở giải:

$70=2\times 35\equiv \left\{{\begin{matrix}1{\pmod {3}}\\0{\pmod {5}}\\0{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.21=1\times 21\equiv \left\{{\begin{matrix}0{\pmod {3}}\\1{\pmod {5}}\\0{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.15=1\times 15\equiv \left\{{\begin{matrix}0{\pmod {3}}\\0{\pmod {5}}\\1{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.$

Nhi tương nguyên phương trình tổ trung đích dư sổ tương ứng địa thừa đáo giá tam cá cơ sở giải thượng, tái gia khởi lai, kỳ hòa tựu thị nguyên phương trình tổ đích giải:

$2\times 70+3\times 21+2\times 15\equiv \left\{{\begin{matrix}2\times 1+3\times 0+2\times 0\equiv 2{\pmod {3}}\\2\times 0+3\times 1+2\times 0\equiv 3{\pmod {5}}\\2\times 0+3\times 0+2\times 1\equiv 2{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.$

Giá cá hòa thị 233, thật tế thượng nguyên phương trình tổ đích thông giải công thức vi:

$x=233+k\times 105,\;k\in \mathbb {Z}$

《 tôn tử toán kinh 》 trung thật tế thượng cấp xuất liễu tối tiểu chính chỉnh sổ giải, dã tựu thị$k=-2$Thời đích giải:$x=23$.

Giao hoán hoàn thượng đích thôi quảng

Chủ lý tưởng chỉnh hoàn

ThiếtRThị nhất cáChủ lý tưởng chỉnh hoàn,m₁,m₂,..., m_kThị kỳ trung đíchkCá nguyên tố, tịnh thả lưỡng lưỡng hỗ chất. LệnhM$=$m₁m₂...m_nVi giá ta nguyên tố đích thừa tích, na ma khả dĩ định nghĩa nhất cá tòngThương hoànR/MRÁnh xạ đáo hoàn thừa tíchR/m₁R ×… × R/m_kRĐíchĐồng thái:

$\phi:\;\;\mathrm {R} {\big /}M\mathrm {R} \longrightarrow \mathrm {R} {\big /}m_{1}\mathrm {R} \times \mathrm {R} {\big /}m_{2}\mathrm {R} \times \cdots \times \mathrm {R} {\big /}m_{k}\mathrm {R}$

$\left.\;\;x+M\mathrm {R} \;\mapsto \;(x+m_{1}\mathrm {R},x+m_{2}\mathrm {R},\cdots,x+m_{k}\mathrm {R} )\right.$

Tịnh thả$\phi$Thị nhất cáHoàn đồng cấu.Nhân thử$\phi$Đích nghịch ánh xạ dã tồn tại. Nhi giá cá nghịch ánh xạ đích cấu tạo phương thức tựu như đồng trung quốc thặng dư định lý cấu tạo nhất nguyên tuyến tính đồng dư phương trình tổ đích giải nhất dạng. Do vum_iHòaM_i$=$M/m_iHỗ chất, sở dĩ tồn tạis_iHòat_iSử đắc

$s_{i}m_{i}+t_{i}M_{i}=1_{\mathrm {R} }.$

Nhi ánh xạ

$\varphi:\;\;\mathrm {R} {\big /}m_{1}\mathrm {R} \times \mathrm {R} {\big /}m_{2}\mathrm {R} \times \cdots \times \mathrm {R} {\big /}m_{k}\mathrm {R} \longrightarrow \mathrm {R} {\big /}M\mathrm {R}$

$\left.\;(a_{1}+m_{1}\mathrm {R},a_{2}+m_{2}\mathrm {R},\cdots,a_{k}+m_{k}\mathrm {R} )\;\mapsto \;\sum _{i=1}^{k}a_{i}t_{i}M_{i}+M\mathrm {R} \right.$

Tựu thị$\phi$Đích nghịch ánh xạ.

$\mathbb {Z}$Dã thị nhất cá chủ lý tưởng chỉnh hoàn. Tương dĩ thượng đíchRHoán thành$\mathbb {Z}$,Tựu năng đắc đáo trung quốc thặng dư định lý. Nhân vi

$a_{i}+m_{i}\mathrm {R} =\{x;\;x\;\equiv \;a_{i}{\pmod {m_{i}}}\}$

Nhất bàn đích giao hoán hoàn

ThiếtRThị nhất cá hữuĐan vị nguyênĐíchGiao hoán hoàn,I₁,I₂,...,I_kThị vi hoàn$\mathbf {R}$ĐíchLý tưởng,Tịnh thả đương$i\neq j$Thời,$I_{i}+I_{j}=\mathbf {R}$,Tắc hữuĐiển phạmĐích hoànĐồng cấu:

$\psi:\;\;\mathbf {R} /(I_{1}\cap \cdots \cap I_{k})\longrightarrow \mathbf {R} /I_{1}\times \cdots \times \mathbf {R} /I_{k}$

$x+I_{1}\cap \cdots \cap I_{n}\longmapsto (x+I_{1},x+I_{2},\cdots,x+I_{k}).$

Mô bất lưỡng lưỡng hỗ chất đích đồng dư thức tổ

Mô bất lưỡng lưỡng hỗ chất đích đồng dư thức tổ khả hóa vi mô lưỡng lưỡng hỗ chất đích đồng dư thức tổ, tái dụng tôn tử định lý trực tiếp cầu giải.

84=2²×3×7,160=2⁵×5,63=3²×7, do thôi quảng đích tôn tử định lý khả đắc ${\begin{cases}x\equiv 23{\pmod {84}}\\x\equiv 7{\pmod {160}}\\x\equiv 2{\pmod {63}}\end{cases}}$ Dữ ${\begin{cases}x\equiv 7{\pmod {2^{5}}}\\x\equiv 2{\pmod {3^{2}}}\\x\equiv 7{\pmod {5}}\\x\equiv 23{\pmod {7}}\end{cases}}$ Đồng giải.

Giải pháp

${\begin{cases}x\equiv 7{\pmod {2^{5}}}\\x\equiv 2{\pmod {3^{2}}}\\x\equiv 7{\pmod {5}}\\x\equiv 23{\pmod {7}}\end{cases}}$ $\rightarrow$ ${\begin{cases}x\equiv 7{\pmod {2^{5}}}\\x\equiv 2{\pmod {3^{2}}}\\x\equiv 2{\pmod {5}}\\x\equiv 2{\pmod {7}}\end{cases}}$ $\rightarrow$ ${\begin{cases}x\equiv 7{\pmod {2^{5}}}\\x\equiv 2{\pmod {3^{2}\times 5\times 7}}\\\end{cases}}$

$2^{5}=32$Dĩ cập$3^{2}\times 5\times 7=315$

$315a\equiv 1{\pmod {32}}\rightarrow (315-32\times 10)a\equiv 1{\pmod {32}}\rightarrow -5a\equiv 1{\pmod {32}}$,Thủ sổ luận đảo sổ$a=-13$

$32b\equiv 1{\pmod {315}}\rightarrow 32b\equiv 1+315\times 13{\pmod {315}}\rightarrow 32b\equiv 4096{\pmod {315}}$,Nhân$\gcd(32,315)=1$,Cố lưỡng biên khả đồng trừ dĩ 32, thủ sổ luận đảo sổ$b={\frac {4096}{32}}=128$

$315\times (-13)\times 7+32\times 128\times 2=-20473$

$-20473\equiv 9767{\pmod {32\times 315}}$

Sở dĩ tối tiểu chính chỉnh sổ giải vi$9767$,Thông giải vi$x=9767+10080k,k\in \mathbb {Z}$.

Chú ý cầu giải quá trình trung ứng tiên kiểm tra đồng dư thức tổ thượng thị phủ tồn tại mâu thuẫn, tồn tại mâu thuẫn đích đồng dư thức tổ vô giải.

${\begin{cases}x\equiv 3{\pmod {6}}\\x\equiv 4{\pmod {10}}\\\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{\color {Red}x\equiv 1{\pmod {2}}}\\x\equiv 0{\pmod {3}}\\{\color {Red}x\equiv 0{\pmod {2}}}\\x\equiv 4{\pmod {5}}\\\end{cases}}$

Tham kiến

• Cáp sắt nguyên tắc

Tham khảo tư liêu

Tham khảo thư mục

• Sổ học đích 100 cá cơ bổn vấn đề,Cận bình chủ biên,ISBN 7-5377-2171-8