Phó lí diệp biến hoán

Phó lí diệp biến hoán( pháp ngữ:Transformation de Fourier,Anh ngữ:Fourier transform,Súc tả: FT ) thị nhất chủngTuyến tính biến hoán,Thông thường định nghĩa vi nhất chủngTích phân biến hoán.Kỳ cơ bổn tư tưởng thị nhất cáHàm sổKhả dĩ dụng (Khả sổ hoặc bất khả sổ,Khả sổ đích tình huống đối ứng vuPhó lí diệp cấp sổ) vô cùng đa cáChu kỳ hàm sổĐích tuyến tính tổ hợp lai bức cận, tòng nhi giá ta tổ hợp hệ sổ tại bảo hữu nguyên hàm sổ đích kỉ hồ toàn bộ tín tức đích đồng thời, hoàn trực tiếp địa phản ánh liễu cai hàm sổ đích “Tần vựcĐặc chinh”.

Phó lí diệp biến hoán tương hàm sổ đích thời vực ( hồng sắc ) dữ tần vực ( lam sắc ) tương quan liên. Tần phổ trung đích bất đồng thành phân tần suất tại tần vực trung dĩ phong trị hình thức biểu kỳ.

Nhân kỳ cơ bổn tư tưởng thủ tiên doPháp quốcHọc giảƯớc sắt phu · phó lí diệpHệ thống địa đề xuất, sở dĩ dĩ kỳ danh tự lai mệnh danh dĩ kỳ kỷ niệm. Tại hiện đại sổ học lý luận trung, phó lí diệp tích phân biến hoán khả dĩ đắc đáo các chủng thôi quảng, tịnh tạiPhân tích họcTrung hữu quảng phiếm ứng dụng, cấu thành liễuĐiều hòa phân tíchGiá nhất sổ học lĩnh vực.

Kinh quá phó lí diệp biến hoán sinh thành đích hàm sổ${\hat {f}}$Xưng tác nguyên hàm sổ$f$Đích phó lí diệp biến hoán, ứng dụng ý nghĩa thượng xưng tácTần phổ.Tại đặc định tình huống hạ, phó lí diệp biến hoán thị khả nghịch đích, tức tương${\hat {f}}$Thông quá nghịch biến hoán khả dĩ đắc đáo kỳ nguyên hàm sổ$f$.Thông thường tình huống hạ,$f$Thị nhất cáThật hàm sổ,Nhi${\hat {f}}$Tắc thị nhất cáPhục sổTrị hàm sổ, kỳHàm sổ trịTác vi phục sổ khả đồng thời biểu kỳChấn phúcHòaTương vị.

Định nghĩa

Đối vu bất đồng chủng loại đích hàm sổ, hữu nhất ta bất đồng bản bổn đích phó lí diệp biến hoán đích định nghĩa. Đối vu định nghĩa tạiÂu kỉ lí đắc không gian$\mathbb {R} ^{d}$Thượng đích hàm sổ, khả cấp xuất thông thường đíchLiên tục phó lí diệp biến hoán;Đối vu định nghĩa tại$d$DuyHoàn diện$\mathbb {T} ^{d}$Thượng đích hàm sổ, hoặc giả thuyếtChu kỳ hàm sổ,Tựu cấp xuấtPhó lí diệp cấp sổ.Tiến hành phó lí diệp biến hoán đích hàm sổ đích định nghĩa vực khả dĩ thôi quảng đáoThác phác quần,NhưCục bộ khẩn giao hoán quần.

Nhược “Phó lí diệp biến hoán” nhất từ bất gia nhậm hà hạn định ngữ, tắc vãng vãng thị chỉ sở vị “Liên tục phó lí diệp biến hoán”, hạ văn ngã môn mặc nhận thảo luận liên tục phó lí diệp biến hoán. Kỳ tha đích thường kiến biến chủng liệt vuPhó lí diệp biến hoán đích kỳ tha biến chủngNhất tiết.

Phó lí diệp tích phân biến hoán

Đối vu nhất cá đa thật biến lượng đích phục hàm sổ$f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {C}$,Kỳ phó lí diệp biến hoán đích kết quả ( ký tác${\hat {f}}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {C}$Hoặc${\mathcal {F}}(f)$) tối quảng vi nhân tri đích định nghĩa phương thức thị hạ diện đích phó lí diệp tích phân

${\mathcal {F}}(f)(\mathbf {k} )={\hat {f}}(\mathbf {k} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {x} )\ e^{-2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\ \mathrm {d} \mathbf {x},$

Xưng viPhó lí diệp tích phân biến hoán.Trị đắc nhất đề đích thị, bất đồng đích tác giả khả năng tại định nghĩa trung đối tích phân hào tiền đích hệ sổ$1$Hòa chỉ sổ thượng đích hệ sổ$-2\pi i$Tiến hành điều chỉnh, bất đồng lĩnh vực hữu bất đồng đích quán dụng ước định,Tham kiếnBiến hoán tham sổ đích thường kiến ước định.

Hứa đa tình huống hạ, hoàn khả dĩ định nghĩa lánh nhất cá tích phân biến hoán${\mathcal {F}}^{-1}$:

${\mathcal {F}}^{-1}(f)(\mathbf {x} )={\check {f}}(\mathbf {x} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {k} )\ e^{2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {k} }\ \mathrm {d} \mathbf {k},$

Thả như ký hào sở ám kỳ đích na dạng, tha xưng tácPhó lí diệp tích phân nghịch biến hoán,Dã tựu thị thuyết mãn túc${\mathcal {F}}\circ {\mathcal {F}}^{-1}=\mathrm {id} ={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {F}}^{-1}$.

Dĩ thượng đích định nghĩa tịnh bất tổng thị hữu hiệu.

Bỉ như, nhược mỗ hàm sổ đích phó lí diệp tích phân bất thu liễm, tắc giá nhất bản bổn đích phó lí diệp biến hoán đối kỳ tựu vô pháp định nghĩa; tức tiện phó lí diệp tích phân thu liễm, sở đắc đích hàm sổ đích tích phân nghịch biến hoán dã khả năng bất thu liễm; hoặc giả giá lưỡng cá biến hoán bất thị thượng diện sở hi vọng đích hỗ nghịch quan hệ. Sở dĩ tu liễu giải đối vu thập ma dạng đích hàm sổ khả tiến hành phó lí diệp biến hoán, tịnh thả mãn túc bất đồng giả định đích hàm sổ đích phó lí diệp biến hoán khả năng hữu bất đồng tính chất.

Lánh ngoại, khả dĩ tiến hành thượng thuật tích phân biến hoán đích hàm sổ thái thiếu, như$1$Giá dạng đích thường trị hàm sổ hoặc các chủng đa hạng thức hàm sổ đô vô pháp sử dụng thượng diện đích tích phân định nghĩa, giá ta tình huống đối vu tín hào tần vực phân tích đẳng trực tiếp ứng dụng nhi ngôn dã thị thập phân trọng yếu đích, nhân nhi hi vọng thôi quảng kỳ định nghĩa. Giá tựu thị hạ diện kỉ cá tiểu tiết đích chủ đề.

Thu liễm tính

Đối vu nhất cá$\mathbb {R} ^{d}$Thượng đíchLiên tục hàm sổ$f$Nhi ngôn, yếu sử kỳLê mạn tích phânThu liễm, chủ yếu nhu hạn chế kỳ tại xu hướng vô cùng viễn thời đích suy giảm tốc độ. Vi sử tiền thuật phó lí diệp tích phân thu liễm, khả dĩ khảo lự sử đắc$|x^{d+\epsilon }||f(x)|$Hữu giớiĐích liên tục hàm sổ$f$,Kỳ trung$\epsilon >0$.Dung dịch nghiệm chứng giá ta hàm sổ tại thông thường gia pháp hòa sổ thừa hạ cấu thành nhất cáHướng lượng không gian,Ký tác${\mathcal {M}}_{\epsilon }$.Giá ta hàm sổ đô thịLê mạn khả tíchĐích,Tịnh thả thừa thượng mô vi 1 đích chỉ sổ hàm sổ sở đắc hàm sổ nhưng tại${\mathcal {M}}_{\epsilon }$Trung, dã tựu thị thuyết kỳ phó lí diệp tích phân dã thị thu liễm đích.

Tốc hàng hàm sổ

${\mathcal {M}}_{\epsilon }$Thượng đích phó lí diệp biến hoán dĩ cụ bị hứa đa lương hảo đích tính chất. Nhiên nhi, do vu vị tất hữu$f\in M_{\epsilon }\implies {\hat {f}}\in M_{\epsilon }$,Sở dĩ${\mathcal {F}}:{\mathcal {M}}_{\epsilon }\to {\mathcal {M}}_{\epsilon }$Khả năng bất cụ khả nghịch tính. Nhất ta phân tích biểu minh,${\hat {f}}$Xu hướng vô cùng viễn thời đích suy giảm hành vi dữ$f$Đích liên tục tính dữ khả vi tính hữu quan: Vi sử${\hat {f}}$Canh khoái địa suy giảm,$f$Ứng cụ hữu canh hảo đíchQuang hoạt tính,Phản quá lai dã nhất dạng.Giá khải phát ngã môn nghiên cứu sở vịTốc hàng hàm sổ,Kỳ nhậm ý giai đạo sổ đích suy giảm tốc độ đô khoái vu nhậm ý phụ mịch thứ hàm sổ, kỳ cấu thành đích hướng lượng không gian xưng viTốc hàng hàm sổ không gian,Ký tác${\mathcal {S}}$.Tốc hàng hàm sổ đích phó lí diệp biến hoán nhưng thị tốc hàng hàm sổ, na ma thượng diện đích tích phân nghịch biến hoán khả dĩ định nghĩa tại chỉnh cá${\mathcal {S}}$Thượng. Khả dĩ chứng minh cai tích phân xác thật thị nghịch biến hoán, vu thị phó lí diệp tích phân biến hoán thị${\mathcal {S}}$Thượng đích nhất cáTự đồng cấu.

Lặc bối cách tích phân dữ lặc bối cách khả tích hàm sổ

Thượng thuật tích phân biến hoán thị cơ vuLê mạn tích phânĐích. Nhiên nhi tương bỉ chi hạ, sử dụng cơ vuTrắc độĐíchLặc bối cách tích phânLai định nghĩa phó lí diệp tích phân biến hoán hữu hứa đa đích ưu thế. Hạ văn đề đáo phó lí diệp tích phân biến hoán thời đô mặc nhận thị lặc bối cách tích phân ý nghĩa thượng đích.

$\mathbb {R} ^{d}$Thượng toàn thểLặc bối cách khả tíchĐích hàm sổ cấu thành đích hướng lượng không gian ký tác$L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$Hoặc thử xử tỉnh lược địa ký vi$L^{1}$,Kỳ thịLp không gianĐích nhất chủng. Đối vu lặc bối cách khả tích hàm sổ$f\in L^{1}$Nhi ngôn, do vu$|f(x)e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }|=|f(x)||e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }|=|f(x)|$,$f(x)e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$Dã thị lặc bối cách khả tích đích, dã tựu thị thuyết phó lí diệp tích phân biến hoán tại$L^{1}$Thượng hữu định nghĩa.

Nhất bàn lai thuyết khả tích hàm sổ$f\in L^{1}$Đích phó lí diệp biến hoán${\hat {f}}$Vị tất thị khả tích đích. Đãn đối vu kỳ trung khả tích đích${\hat {f}}\in L^{1}$Khả dĩ chứng minh,Tích phân nghịch biến hoán

$\int _{\mathbb {R} _{d}}{\hat {f}}(\mathbf {k} )\ e^{2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {k} }\ \mathrm {d} \mathbf {k}$

Đối vu$\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$Kỉ hồ xử xửThu liễm vu$f(\mathbf {x} )$.

Bình phương khả tích hàm sổ

Đối vu lặc bối cách tích phân định nghĩa đích phó lí diệp tích phân biến hoán nhi ngôn, tha nhưng thị tốc hàng hàm sổ không gian${\mathcal {S}}$Thượng đích tự đồng cấu. Canh cụ thể địa thuyết, giá thị nhất cáLiên tụcTuyến tínhĐẳng cựTự đồng cấu ( khả tra duyệtLiên tục tuyến tính toán tửDĩ liễu giải khả năng đạo xuất đích kỳ tha tính chất; lánh, giá lí sở thiệp cập đíchPhạm sổThịL²Phạm sổ).

Nhất cá trọng yếu đích sự thật thị,${\mathcal {S}}$TạiBình phương khả tích hàm sổKhông gian$L^{2}$TrungTrù mật,Nhi$L^{2}$Thị nhất cáHi nhĩ bá đặc không gian.Giá ý vị trứ${\mathcal {S}}$Thượng đích nhậm nhất liên tục tuyến tính toán tử khả dĩKhoách trươngĐáo$L^{2}$Thượng thả bảo trì liên tục tính, thả giá dạng đích khoách trương duy nhất. Dã tựu thị thuyết, nhược khả trảo đáo tốc hàng hàm sổTự liệt$f_{n}$Thu liễm vu nhất cá bình phương khả tích hàm sổ$f$,Na ma$f$Đích phó lí diệp biến hoán khả định nghĩa vi tự liệt${\hat {f_{n}}}$ĐíchCực hạn,Nhi bất sản sinh thu liễm tính dữ đối$f_{n}$Tuyển trạch đích y lại vấn đề.

Canh tiến nhất bộ địa, giá cá khoách trương hoàn khả dĩ bảo trì đẳng cự đồng cấu tính chất, tại$L^{2}$Thượng mãn túc giá nhất tính chất ý vị trứ phó lí diệp biến hoán thị nhất cáYêu chính toán tử,Giá tựu thịPhổ lãng hiết nhĩ định lýĐích nội dung.

Giá nhất biến hoán tịnh bất đối vu sở hữu đích bình phương khả tích hàm sổ đô cụ hữu nhất cá tích phân định nghĩa thức, đối vuBổ tập$L^{2}\setminus L^{1}$Trung đích hàm sổ tắc nhu yếu thông quá cực hạn lai định nghĩa. Cố bất tái xưng kỳ vi tích phân biến hoán, nhi thị xưng viPhó lí diệp - phổ lãng hiết nhĩ biến hoánHoặc giản đan xưng viPhó lí diệp biến hoánHoặcPhổ lãng hiết nhĩ biến hoán.

Hoãn tăng phân bố

Chủ điều mục:Hoãn tăng phân bốHòaPhân bố ( sổ học phân tích )

Như tiền diện sở đề đáo đích, phi linh đa hạng thức hàm sổ bất thị khả tích hoặc bình phương khả tích đích, tòng nhi vô pháp sử dụng thượng diện đích phương pháp lai định nghĩa phó lí diệp biến hoán. Giá nhất điểm khả dĩ thông quá khảo lựHoãn tăng phân bốLai giải quyết.

Phân bố( dã xưng vi thị nhất chủngQuảng nghĩa hàm sổ) thịTrắc thí hàm sổ không gianThượng đíchLiên tục tuyến tính phiếm hàm( tức, cai không gian đíchLiên tục đối ngẫu không gianĐích thành viên ). Nhi hoãn tăng phân bố tắc thị dĩ tốc hàng hàm sổ vi trắc thí hàm sổ đích tình huống.

Hoãn tăng phân bố$f$Đích phó lí diệp biến hoán${\hat {f}}$Định nghĩa vi

${\hat {f}}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {C}:\varphi \mapsto f({\hat {\varphi }}).$

Dã tựu thị thuyết, nhược ký${\mathcal {S}}$Thượng đích phó lí diệp biến hoán vi${\mathcal {F}}_{0}$,${\mathcal {S}}$Đích liên tục đối ngẫu không gian vi${\mathcal {S}}'$,Tắc${\mathcal {F}}_{0}$ĐíchCộng ách toán tử${\mathcal {F}}_{0}^{*}$Tại${\mathcal {S}}'$Thượng đíchHạn chếTựu thị hoãn tăng phân bố đích phó lí diệp biến hoán.

Giá cá biến hoán dã thị khả nghịch đích, tịnh thảTại mỗ chủng ý nghĩa thượngThị${\mathcal {F}}_{0}$Đích khoách trương, dã tựu thị thuyết khả dĩ dụng tha lai biến hoán đích hàm sổ bỉ${\mathcal {S}}$Trung đích canh đa. Vi thuyết minh giá nhất điểm, hạ diện tại nhất duy tình huống hạ cử ta lệ tử.

Lệ tử

Đối vu tốc hàng hàm sổ$g\in {\mathcal {S}}$,Kỳ hữu giá dạng duy nhất nhất cá do tích phân định nghĩa đích liên tục tuyến tính phiếm hàm$g'$Dữ chi đối ứng ( giá nhất điểm thật tế thượng chỉ nhuCục bộ khả tích hàm sổ):

$g':\varphi \mapsto \int _{\mathbb {R} }\varphi (x)g(x)\ \mathrm {d} x,$

Hiện tại đối kỳ tố phó lí diệp biến hoán, đắc đáo

${\hat {g'}}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }{\hat {\varphi }}(x)g(x)\ \mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x){\hat {g}}(x)\mathrm {d} x,$

Kỳ trung đệ nhị cá đẳng hào nguyên vu${\mathcal {F}}_{0}$Đích như hạ tính chất ( doPhú bỉ ni định lýDịch chứng ):

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\hat {\psi }}(\mathbf {x} )\phi (\mathbf {x} )\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{d}}\psi (\mathbf {x} ){\hat {\phi }}(\mathbf {x} )\mathrm {d} \mathbf {x}.$

Do thử khả khán xuất tuyến tính phiếm hàm${\hat {g'}}$Dĩ tiền thuật đích phương thức duy nhất đối ứng vu hàm sổ${\hat {g}}$( duy nhất tính tại giá dạng ý nghĩa thượng lý giải: Đối ứng tương đồng tuyến tính phiếm hàm đích hàm sổ kỉ hồ xử xử tương đẳng ). Tại giá cá ý nghĩa thượng tha đối vu$g\in {\mathcal {S}}$Thị dữ${\mathcal {F}}_{0}$Đích định nghĩa tương trọng hợp đích.

Nhiên nhi tịnh phi sở hữu liên tục tuyến tính phiếm hàm đô hữu giá dạng đích tích phân biểu kỳ, như sở vị cầu trị phiếm hàm. 0 xử đích cầu trị phiếm hàm tác dụng vu mỗi cá hàm sổ thời, đô cấp xuất cai hàm sổ tại 0 xử đích trị:

$\delta _{0}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {C}:\varphi \mapsto \varphi (0),$

Tha chính thị sở vịĐịch lạp khắc δ hàm sổ,Kỳ phó lí diệp biến hoán mãn túc

${\hat {\delta _{0}}}(\varphi )=\delta _{0}({\hat {\varphi }})={\hat {\varphi }}(0)=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)\ \mathrm {d} x,$

Nhi giá chính thị thường trị hàm sổ$1$Như tiền thuật phương thức đối ứng đích tuyến tính phiếm hàm$1'$.Dã tựu thị thuyết tại giá cá ý nghĩa thượng, địch lạp khắc δ “Hàm sổ” đích phó lí diệp biến hoán thị$1$.Tòng tần phổ ý nghĩa thượng lý giải, giá ý vị trứ thường trị hàm sổ đíchTần phổTập trung tại linh tần suất xử ( hoặc giả thuyết chu kỳ vô cùng đại )$\exp \left(ikx\right)|_{k=0}=1$Đích tình huống.

Biến hoán tham sổ đích thường kiến ước định

Như tiền diện đề đáo đích, phó lí diệp tích phân biến hoán trung hữu khả điều chỉnh đích tham sổ, đối tha môn đích điều chỉnh bất hội tạo thành biến hoán tính chất đích hiển trứ biến hóa, nhi cận cận thị đối biến hoán kết quả đích định nghĩa vực hoặc trị vực tiến hành liễu phóng súc. Thông quá hiển thức địa dẫn nhập tham sổ$a,b$,Phó lí diệp tích phân biến hoán đích thông thức khả dĩ tả vi

${\hat {f}}(\mathbf {k} ):=\left({\frac {|b|}{(2\pi )^{1-a}}}\right)^{d/2}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {x} )e^{ib\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\mathrm {d} \mathbf {x},$

Tương ứng đích mãn túc${\mathcal {F}}\circ {\mathcal {F}}^{-1}=\mathrm {id} ={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {F}}^{-1}$Đích nghịch biến hoán định nghĩa vi

${\check {f}}(\mathbf {x} ):=\left({\frac {|b|}{(2\pi )^{1+a}}}\right)^{d/2}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {k} )e^{-ib\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\mathrm {d} \mathbf {k}.$

Đặc thù tham sổ tuyển trạch đích đặc tính

Biên hào	Tuyển trạch	Đặc tính
1	$a=0$	Biến hoán dữ nghịch biến hoán hữu tương đồng đích tiền trí nhân tử, thả biến hoán thịYêu chínhĐích
2	$(2\pi )^{1-a}=|b|$	Chính biến hoán một hữu tiền trí nhân tử
3	$(2\pi )^{1+a}=|b|$	Nghịch biến hoán một hữu tiền trí nhân tử
4	$|b|=1$	Biến hoán đích tự biến lượng$k$Đối ứng vuGiác tần suất
5	$|b|=2\pi$	Biến hoán đích tự biến lượng$k$Đối ứng vuTần suất
6	$b<0$	$\exp(ix)$Cống hiến chính tần suất bộ phân đích phổ
7	$b>0$	$\exp(-ix)$Cống hiến chính tần suất bộ phân đích phổ

Nhất ta tuyển trạch tổ hợp nhân đồng thời mãn túc thượng diện đa cá đặc tính hoặc tại đặc định lĩnh vực trung tự nhiên xuất hiện nhi biến đắc thường kiến, liệt tại hạ biểu.

Nhất ta thường kiến tuyển trạch

Biên hào	a	b	Mãn túc đặc tính	Tràng cảnh
1	0	1	1, 4, 7	Hiện đại vật lý
2	1	-1	2, 4, 6	Thuần sổ học, hệ thống công trình
3	-1	1	3, 4, 7	Truyện thống vật lý
4	0	$-2\pi$	1, 2, 3, 5, 6	Tín hào xử lý

Bổn tiết trung sử dụng đích ước định thị$(a,b)=(0,-2\pi )$.

Ứng dụng

Phó lí diệp biến hoán tạiY học,Sổ cư khoa học,Vật lý học,Thanh học,Quang học,Kết cấu lực học,Lượng tử lực học,Sổ luận,Tổ hợp sổ học,Khái suất luận,Thống kế học,Tín hào xử lý,Mật mã học,Đại khí khoa học,Hải dương học,Thông tấn,Kim dungĐẳng lĩnh vực đô hữu trứ quảng phiếm đích ứng dụng.

Sổ học

• Phó lí diệp biến hoán khả dụng vu tươngTác bá liệt phu không gian$W^{s,p}$Thượng đích phạm sổ tòng$s\in \mathbb {Z}$Đích tình huống thôi quảng chí vi$s\in \mathbb {R}$Đích tình huống.
• Nhất cá tùy cơ biến lượng đíchĐặc chinh hàm sổThịCơ suất mật độ hàm sổĐích phó lí diệp biến hoán$E(e^{it\cdot X})=\int e^{it\cdot x}d\mu _{X}(x)$,Tẫn quản kỹ thuật thượng vãng vãng sử dụngPhó lí diệp - tư đế nhĩ thiết tư biến hoánĐích hình thức.

Vật lý học

Tại xử lý cụ hữuBa động phương trìnhBối cảnh đích hàm sổ thời, tần vực đích tín tức xử lý khởi lai thông thường canh vi phương tiện, thả tín hào đíchLự baĐẳng tần vực thao tác tại khí kiện phương diện hữu giản đan đích thật hiện.

Trừ liễu lực học chấn động, chấn đãng điện lộ đẳng hữu minh hiển ba động phương trình bối cảnh đích vấn đề ngoại, dã hữu nhất ta kỳ tha tình huống sử đắc phó lí diệp biến hoán tại lý luận trung tự nhiên địa xuất hiện, như:

• Quang họcTrung, cận trục cận tự hạ đíchPhỉ niết nhĩ diễn xạ tích phânThị nhất cá phó lí diệp biến hoán.
• Lượng tử lực họcTrung,Vị trí biểu tượngDữĐộng lượng biểu tượngChi gian đích biến hoán thị nhất cá phó lí diệp biến hoán.
• Lượng tử tràng luậnTrung, nhất cá cụ hữu lương hảo tính chấtĐích tràng toán tử thông thường doSang sinh cập yên diệt toán phùĐích phó lí diệp biến hoán cấu tạo nhi lai.

Cơ bổn tính chất

Hạ diện tính chất đích canh trực quan đích tả pháp khả tham kiếnThường dụng phó lí diệp biến hoán biểu.

Tuyến tính tính chất

Phó lí diệp biến hoán thịTuyến tính ánh xạ.Dã tựu thị thuyết đối vu${\textstyle \forall \alpha,\beta \in \mathbb {R},\quad \forall f,g\in \operatorname {Dom} ({\mathcal {F}}),}$Dã tồn tại${\mathcal {F}}(\alpha f+\beta g)=\alpha {\mathcal {F}}(f)+\beta {\mathcal {F}}(g).$

Bình di tính chất

Khả định nghĩa hàm sổ gian đích ánh xạ$\tau _{\alpha }$Mãn túc

$\tau _{\alpha }(f)(x)=f(x-\alpha ),$

Xưng viBình di toán tử.Kỳ khả dĩ thôi quảng đáoHoãn tăng phân bốThượng, định nghĩa viCộng ách toán tử${\tilde {\tau }}_{\alpha }=\tau _{-\alpha }^{*}$,Dã tựu thị thuyết đối vu

$\forall \phi \in {\mathcal {S}}',\varphi \in {\mathcal {S}},\quad \phi (\tau _{-\alpha }\varphi )={\tilde {\tau }}_{\alpha }f(\varphi ),$

Kỳ trung tỉnh lược liễu biểu kỳ bình di toán tử tác dụng vu hàm sổ sở nhu đích quát hào. Hạ văn bất tái khu phân hàm sổ dữ phân bố đích bình di, thải dụng tương đồng ký hào.

Phó lí diệp biến hoán dữ bình di toán tử mãn túc như hạ quan hệ:

${\widehat {\tau _{\alpha }f}}(k)=\exp(-2\pi i\alpha k){\hat {f}}(k),$

Phản quá lai, đối vu hàm sổ$g(x):=\exp(2\pi i\alpha x)f(x)$,Dã hữu${\hat {g}}(k)=\tau _{\alpha }{\hat {f}}(k)$.

Dã tựu thị thuyết bình di dữTương diTương quan liên.

Phóng súc tính chất

$f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right),\quad \ a\neq 0$

$a=-1$Đích tình huống tức cấp xuất sở vịPhản xạ tính chất.

Đạo sổ quan hệ

Phó lí diệp biến hoán dữĐạo sổ toán tửMãn túc như hạ quan hệ:

${\widehat {\partial ^{\alpha }(f)}}(k)=\exp(2\pi ik)^{\alpha }{\hat {f}}(k),$

Kỳ trung$\alpha$Thị cao giai đạo sổ, đa nguyên tình huống tắc nhất bàn hóa viĐa trọng chỉ tiêu.

Phản quá lai, đối vu hàm sổ$g(x):=(-2\pi ix)^{\alpha }f(x)$,Dã hữu${\hat {g}}(k)=\partial ^{\alpha }({\hat {f}})(k)$.

Dã tựu thị thuyết cầu đạo tại thừa thượng tần suất thị tương quan liên đích.

Giá lí đích đạo sổ toán tử dã khả dĩ thị hoãn tăng phân bố đích đạo sổ toán tử, đồng dạng do cộng ách toán tử định nghĩa vi${\tilde {\partial }}^{\alpha }=(-1)^{\alpha }(\partial ^{\alpha })^{*}$.

Quyển tích định lý

Canh đa tín tức:Quyển tích

Nhược hàm sổ$f,g$Hữu phó lí diệp biến hoán, thả tồn tại quyển tích$f\star g:x\mapsto \int _{\mathbb {R} }f(x-\xi )g(\xi )d\xi$,Tắc cai quyển tích đích phó lí diệp biến hoán tức${\hat {f}}{\hat {g}}$.

Dã khả dĩ thôi quảng địa định nghĩa phân bố$\phi$Dữ trắc thí hàm sổ$\varphi$Đích quyển tích, giá thời đồng dạng hữu${\widehat {\phi \star \varphi }}={\hat {\varphi }}{\hat {\phi }}$.

Mạt tắc ngõa nhĩ định lý

Chủ điều mục:Mạt tắc ngõa nhĩ định lýHòaPhổ lãng hiết nhĩ định lý

$L^{2}$Thượng đích phó lí diệp biến hoán thị đẳng cự ánh xạ. Hoặc giả thuyết, nhược hàm sổ$f\left(x\right)$Bình phương khả tích,Tắc$\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}dx=\int _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {f}}(\omega )|^{2}d\omega$.

Lê mạn - lặc bối cách định lý

Chủ điều mục:Lê mạn - lặc bối cách định lý

Phó lí diệp biến hoán đích kỳ tha biến chủng

Phó lí diệp cấp sổ

Chủ điều mục:Phó lí diệp cấp sổ

Liên tục hình thức đích phó lí diệp biến hoán kỳ thật thị phó lí diệp cấp sổ ( Fourier series ) đích thôi quảng, nhân vi tích phân kỳ thật thị nhất chủng cực hạn hình thức đích cầu hòa toán tử nhi dĩ. Đối vu chu kỳ hàm sổ, kỳ phó lí diệp cấp sổ thị tồn tại đích:

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx},$

Kỳ trung$F_{n}$Vi phục chấn phúc. Đối vu thật trị hàm sổ, hàm sổ đích phó lí diệp cấp sổ khả dĩ tả thành:

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right]$

Kỳ trunga_nHòab_nThịThậtTần suất phân lượng đích chấn phúc.

Phó lí diệp phân tíchTối sơ thị nghiên cứuChu kỳ tínhHiện tượng, tức phó lí diệp cấp sổ đích, hậu lai thông quá phó lí diệp biến hoán tương kỳ thôi quảng đáo liễu phi chu kỳ tính hiện tượng. Lý giải giá chủng thôi quảng quá trình đích nhất chủng phương thức thị tương phi chu kỳ tính hiện tượng thị vi chu kỳ tính hiện tượng đích nhất cá đặc lệ, tức kỳChu kỳVi vô hạn trường.

Ly tán thời gian phó lí diệp biến hoán

Chủ điều mục:Ly tán thời gian phó lí diệp biến hoán

Ly tán phó lí diệp biến hoán thịLy tán thời gian phó lí diệp biến hoán( DTFT ) đích đặc lệ ( hữu thời tác vi hậu giả đích cận tự ). DTFT tại thời vực thượng ly tán, tại tần vực thượng tắc thị chu kỳ đích. DTFT khả dĩ bị khán tác thị phó lí diệp cấp sổ đích nghịch chuyển hoán.

Ly tán phó lí diệp biến hoán

Chủ điều mục:Ly tán phó lí diệp biến hoán

Vi liễu tại khoa học kế toán hòaSổ tự tín hào xử lýĐẳng lĩnh vực sử dụng kế toán cơ tiến hành phó lí diệp biến hoán, tất tu tương hàm sổx_nĐịnh nghĩa tạiLy tánĐiểm nhi phi liên tục vực nội, thả tu mãn túcHữu hạn tínhHoặcChu kỳ tínhĐiều kiện. Giá chủng tình huống hạ, sử dụng ly tán phó lí diệp biến hoán, tương hàm sổx_nBiểu kỳ vi hạ diện đích cầu hòa hình thức:

$X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}\qquad k=0,\dots,N-1$

Kỳ trung$X_{k}$Thị phó lí diệp chấn phúc. Trực tiếp sử dụng giá cá công thức kế toán đíchKế toán phục tạp độVi${\mathcal {O}}(n^{2})$,NhiKhoái tốc phó lí diệp biến hoán( FFT ) khả dĩ tương phục tạp độ cải tiến vi${\mathcal {O}}(n\log n)$.Kế toán phục tạp độ đích hàng đê dĩ cập sổ tự điện lộ kế toán năng lực đích phát triển sử đắc DFT thành vi tại tín hào xử lý lĩnh vực thập phân thật dụng thả trọng yếu đích phương pháp.

Tại a bối nhĩ quần thượng đích thống nhất miêu thuật

Chủ điều mục:Bàng đặc lí á kim đối ngẫu tính

Dĩ thượng đích phó lí diệp biến hoán đô khả dĩ bị thống nhất miêu thuật vi nhậm ýCục bộ khẩn tríĐíchA bối nhĩ quầnThượng đích phó lí diệp biến hoán. Giá nhất vấn đề chúc vuĐiều hòa phân tíchĐích phạm trù. Tại điều hòa phân tích trung, nhất cá biến hoán tòng nhất cá quần biến hoán đáo tha đíchĐối ngẫu quần.Thử ngoại, tương phó lí diệp biến hoán dữ quyển tích tương liên hệ đích quyển tích định lý tại điều hòa phân tích trung dã hữu loại tự đích kết luận. Phó lí diệp biến hoán đích quảng nghĩa lý luận cơ sở tham kiếnBàng đặc lí á kim đối ngẫu tínhTrung đích giới thiệu.

Thời tần phân tích biến hoán

Chủ điều mục:Thời tần phân tích biến hoán

Tiểu ba biến hoán,Chirplet biến hoánHòaPhân sổ phó lí diệp biến hoánĐích đô thị vi liễu đắc đáo thời gian tín hào đích tần suất tín tức. Đồng thời giải tích tần suất hòa thời gian đích năng lực tại sổ học thượng thụBất xác định tính nguyên lýĐích hạn chế.

Phó lí diệp biến hoán gia tộc

Chủ điều mục:Phó lập diệp biến hoán gia tộc trung đích quan hệ

Hạ biểu liệt xuất liễu phó lí diệp biến hoán gia tộc đích thành viên. Dung dịch phát hiện, hàm sổ tại thời ( tần ) vực đích ly tán đối ứng vu kỳ tượng hàm sổ tại tần ( thời ) vực đích chu kỳ tính. Phản chi liên tục tắc ý vị trứ tại đối ứng vực đích tín hào đích phi chu kỳ tính. Hạ biểu cấp xuất tường tế đích tình hình:

Biến hoán	Thời gian	Tần suất
Liên tục phó lí diệp biến hoán	Liên tục, phi chu kỳ tính	Liên tục, phi chu kỳ tính
Phó lí diệp cấp sổ	Liên tục, chu kỳ tính	Ly tán, phi chu kỳ tính
Ly tán thời gian phó lí diệp biến hoán	Ly tán, phi chu kỳ tính	Liên tục, chu kỳ tính
Ly tán phó lí diệp biến hoán	Ly tán, chu kỳ tính	Ly tán, chu kỳ tính

Thường dụng phó lí diệp biến hoán biểu

Hạ diện đích biểu ký lục liễu nhất ta phong bế hình thức đích phó lập diệp biến hoán. Đối vu hàm sổ$f(x)$,$g(x)$Hòa$h(x)$,Tha môn đích phó lập diệp biến hoán phân biệt biểu kỳ vi${\hat {f}}$,${\hat {g}}$Hòa${\hat {h}}$.Chỉ bao hàm liễu tam chủng tối thường kiến đích hình thức. Chú ý điều mục 105 cấp xuất liễu nhất cá hàm sổ đích phó lí diệp biến hoán dữ kỳ nguyên hàm sổ, giá khả dĩ khán tác thị phó lí diệp biến hoán cập kỳ nghịch biến hoán đích quan hệ.

Hàm sổ quan hệ

Hạ biểu liệt xuất đích thường dụng đích phó lí diệp biến hoán đối khả dĩ tạiErdélyi (1954) hoặcKammler (2000,appendix) trung trảo đáo.

	Hàm sổ	Phó lập diệp biến hoán Ma chính, phổ thông đích tần suất	Phó lập diệp biến hoán Ma chính, giác tần suất	Phó lập diệp biến hoán Phi ma chính, giác tần suất	Chú thích
	$\displaystyle f(x)\,$	$\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=$ $\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx$	$\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=$ $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$	$\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=$ $\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx$	Cơ bổn định nghĩa
101	$\displaystyle a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\,$	$\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )\,$	$\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )\,$	$\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\nu )+b\cdot {\hat {g}}(\nu )\,$	Tuyến tính tính chất
102	$\displaystyle f(x-a)\,$	$\displaystyle e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )\,$	$\displaystyle e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )\,$	$\displaystyle e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )\,$	Thời vực bình di
103	$\displaystyle e^{2\pi iax}f(x)\,$	$\displaystyle {\hat {f}}\left(\xi -a\right)\,$	$\displaystyle {\hat {f}}(\omega -2\pi a)\,$	$\displaystyle {\hat {f}}(\nu -2\pi a)\,$	Tần vực bình di, biến hoán 102 đích tần vực đối ứng
104	$\displaystyle f(ax)\,$	$\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,$	$\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	$\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)\,$	Tại thời vực trung định tiêu. Như quả$\displaystyle |a|\,$Trị giác đại, tắc$\displaystyle f(ax)\,$Hội thu súc đáo nguyên điểm phụ cận, nhi$\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$Hội khoách tán tịnh biến đắc biển bình. Đương$\displaystyle |a|\,$Xu hướng vô cùng thời,$\displaystyle f(ax)\,$Thành viĐịch lạp khắc δ hàm sổ.
105	$\displaystyle {\hat {f}}(x)\,$	$\displaystyle f(-\xi )\,$	$\displaystyle f(-\omega )\,$	$\displaystyle 2\pi f(-\nu )\,$	Phó lí diệp biến hoán đích nhị nguyên tính tính chất. Giá lí${\hat {f}}$Đích kế toán nhu yếu vận dụng dữ phó lí diệp biến hoán na nhất liệt đồng dạng đích phương pháp. Thông quá giao hoán biến lượng$x$Hòa$\xi$Hoặc$\omega$Hoặc$\nu$Đắc đáo.
106	$\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}\,$	$\displaystyle (2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )\,$	$\displaystyle (i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )\,$	$\displaystyle (i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )\,$	Phó lí diệp biến hoán đích vi phân tính chất
107	$\displaystyle x^{n}f(x)\,$	$\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\,$	$\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	$\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}}$	Biến hoán 106 đích tần vực đối ứng
108	$\displaystyle (f*g)(x)\,$	$\displaystyle {\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )\,$	$\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )\,$	$\displaystyle {\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )\,$	Ký hào$\displaystyle f*g\,$Biểu kỳ$f$Hòa$g$Đích quyển tích — giá tựu thịQuyển tích định lý
109	$\displaystyle f(x)g(x)\,$	$\displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\xi )\,$	$\displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,$	$\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}({\hat {f}}*{\hat {g}})(\nu )\,$	Biến hoán 108 đích tần vực đối ứng.
110	Đương$\displaystyle f(x)$Thị thật biến hàm sổ	$\displaystyle {\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,$	$\displaystyle {\hat {f}}(-\omega )={\overline {{\hat {f}}(\omega )}}\,$	$\displaystyle {\hat {f}}(-\nu )={\overline {{\hat {f}}(\nu )}}\,$	Ai nhĩ mễ đặc đối xưng.$\displaystyle {\overline {z}}\,$Biểu kỳPhục cộng ách.
111	Đương$\displaystyle f(x)$Thị thậtNgẫu hàm sổ	$\displaystyle {\hat {f}}(\omega )$,$\displaystyle {\hat {f}}(\xi )$Hòa$\displaystyle {\hat {f}}(\nu )\,$Đô thị thậtNgẫu hàm sổ.
112	Đương$\displaystyle f(x)$Thị thậtKỳ hàm sổ	$\displaystyle {\hat {f}}(\omega )$,$\displaystyle {\hat {f}}(\xi )$Hòa$\displaystyle {\hat {f}}(\nu )$Đô thịHưKỳ hàm sổ.
113	$\displaystyle {\overline {f(x)}}$	$\displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}$	$\displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\omega )}}$	$\displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\nu )}}$	Phục cộng ách,110 đích nhất bàn hóa

Bình phương khả tích hàm sổ

	Thời vực tín hào	Giác tần suất biểu kỳ đích Phó lí diệp biến hoán	Hồ tần suất biểu kỳ đích Phó lí diệp biến hoán	Chú thích
	$g(t)\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}\mathrm {d} \omega \,$	$G(\omega )\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}\mathrm {d} t\,$	$G(f)\!\equiv$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}\mathrm {d} t\,$
10	$\mathrm {rect} (at)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {f}{a}}\right)$	Củ hình mạch trùngHòa quy nhất hóa đíchsinc hàm sổ
11	$\mathrm {sinc} (at)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {f}{a}}\right)\,$	Biến hoán 10 đích tần vực đối ứng. Củ hình hàm sổ thị lý tưởng đích đê thông lự ba khí,sinc hàm sổThị giá loại lự ba khí đốiPhản nhân quảTrùng kích đích hưởng ứng.
12	$\mathrm {sinc} ^{2}(at)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \mathrm {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \mathrm {tri} \left({\frac {f}{a}}\right)$	triThịTam giác hình hàm sổ
13	$\mathrm {tri} (at)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {f}{a}}\right)\,$	Biến hoán 12 đích tần vực đối ứng
14	$e^{-\alpha t^{2}}\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {(\pi f)^{2}}{\alpha }}}$	Cao tư hàm sổ$\exp(-\alpha t^{2})$Đích phó lí diệp biến hoán thị kỳ bổn thân; chỉ hữu đương$\mathrm {Re} (\alpha )>0$Thời, cai hàm sổ khả tích đích
15	$e^{iat^{2}}=\left.e^{-\alpha t^{2}}\right|_{\alpha =-ia}\,$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cdot e^{-i\left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cdot e^{-i\left({\frac {\pi ^{2}f^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	Quang họcLĩnh vực ứng dụng giác đa
16	$\cos(at^{2})\,$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}f^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$
17	$\sin(at^{2})\,$	${\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}f^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$
18	$\mathrm {e} ^{-a|t|}\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	${\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}f^{2}}}$	a>0
19	${\frac {1}{\sqrt {|t|}}}\,$	${\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}$	${\frac {1}{\sqrt {|f|}}}$	Biến hoán bổn thân tựu thị nhất cá công thức
20	$J_{0}(t)\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2\cdot \mathrm {rect} (\pi f)}{\sqrt {1-4\pi ^{2}f^{2}}}}$	J0(t)Thị0 giai đệ nhất loại bối tắc nhĩ hàm sổ.
21	$J_{n}(t)\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi f)\mathrm {rect} (\pi f)}{\sqrt {1-4\pi ^{2}f^{2}}}}$	Thượng nhất cá biến hoán đích thôi quảng hình thức;Tn(t)ThịĐệ nhất loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức.
22	${\frac {J_{n}(t)}{t}}\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\omega )\,$ $\cdot \ {\sqrt {1-\omega ^{2}}}\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)$	${\frac {2\mathrm {i} }{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(2\pi f)\,$ $\cdot \ {\sqrt {1-4\pi ^{2}f^{2}}}\mathrm {rect} (\pi f)$	Un(t)ThịĐệ nhị loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức.

Phân bố

	Thời vực tín hào	Giác tần suất biểu kỳ đích Phó lí diệp biến hoán	Hồ tần suất biểu kỳ đích Phó lí diệp biến hoán	Chú thích
	$g(t)\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}d\omega \,$	$G(\omega )\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}dt\,$	$G(f)\!\equiv$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}dt\,$	Cơ bổn định nghĩa
23	$1\,$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )\,$	$\delta (f)\,$	$\delta (\omega )$Đại biểuĐịch lạp khắc δ hàm sổPhân bố. Giá cá biến hoán triển kỳ liễu địch lạp khắc δ hàm sổ đích trọng yếu tính: Cai hàm sổ thị thường hàm sổ đích phó lập diệp biến hoán
24	$\delta (t)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,$	$1\,$	Biến hoán 23 đích tần vực đối ứng
25	$e^{iat}\,$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)\,$	$\delta (f-{\frac {a}{2\pi }})\,$	Do biến hoán 103 hòa 23 đắc đáo
26	$\cos(at)\,$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega \!-\!a)\!+\!\delta (\omega \!+\!a)}{2}}\,$	${\frac {\delta (f\!-\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})\!+\!\delta (f\!+\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})}{2}}\,$	Do biến hoán 101 hòa 25 đắc đáo, ứng dụng liễuÂu lạp công thức:$\cos(at)=(e^{iat}+e^{-iat})/2.$
27	$\sin(at)\,$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega \!-\!a)\!-\!\delta (\omega \!+\!a)}{2i}}\,$	${\frac {\delta (f\!-\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})\!-\!\delta (f\!+\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})}{2i}}\,$	Do biến hoán 101 hòa 25 đắc đáo
28	$t^{n}\,$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(f)\,$	Giá lí,$n$Thị nhất cáTự nhiên sổ.$\delta ^{(n)}(\omega )$Thị địch lạp khắc δ hàm sổ phân bố đích$n$Giai vi phân. Giá cá biến hoán thị căn cư biến hoán 107 hòa 24 đắc đáo đích. Tương thử biến hoán dữ 101 kết hợp sử dụng, ngã môn khả dĩ biến hoán sở hữuĐa hạng thứcHàm sổ.
29	${\frac {1}{t}}\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	$-i\pi \cdot \operatorname {sgn}(f)\,$	Thử xử$\operatorname {sgn}(\omega )$ViPhù hào hàm sổ;Chú ý thử biến hoán dữ biến hoán 107 hòa 24 thị nhất trí đích.
30	${\frac {1}{t^{n}}}\,$	$-i{\begin{matrix}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\end{matrix}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	$-i\pi {\begin{matrix}{\frac {(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}}\end{matrix}}\operatorname {sgn}(f)\,$	Biến hoán 29 đích thôi quảng
31	$\operatorname {sgn}(t)\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\ \omega }}\,$	${\frac {1}{i\pi f}}\,$	Biến hoán 29 đích tần vực đối ứng
32	$u(t)\,$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)\,$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi f}}+\delta (f)\right)\,$	Thử xử$u(t)$ThịĐan vị giai dược hàm sổ;Thử biến hoán căn cư biến hoán 101 hòa 31 đắc đáo.
33	$e^{-at}u(t)\,$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}$	${\frac {1}{a+i2\pi f}}$	$u(t)$ThịĐan vị giai dược hàm sổ,Thả$a>0$.
34	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\,$	${\begin{matrix}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\end{matrix}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{T}}\end{matrix}}\right)\,$	${\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\,$	Địch lạp khắc sơ trạng hàm sổ—— hữu trợ vu giải thích hoặc lý giải tòng liên tục đáoLy tán thời gianĐích chuyển biến.

Nhị nguyên hàm sổ

	Thời vực tín hào	Phó lập diệp biến hoán Đan nhất, phổ thông tần suất	Phó lập diệp biến hoán Ma chính, giác tần suất	Phó lập diệp biến hoán Phi ma chính, giác tần suất
400	$\displaystyle f(x,y)$	$\displaystyle {\hat {f}}(\xi _{x},\xi _{y})=$ $\displaystyle \iint f(x,y)e^{-2\pi i(\xi _{x}x+\xi _{y}y)}\,dx\,dy$	$\displaystyle {\hat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})=$ $\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy$	$\displaystyle {\hat {f}}(\nu _{x},\nu _{y})=$ $\displaystyle \iint f(x,y)e^{-i(\nu _{x}x+\nu _{y}y)}\,dx\,dy$
401	$\displaystyle e^{-\pi \left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\right)}$	$\displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{-\pi \left(\xi _{x}^{2}/a^{2}+\xi _{y}^{2}/b^{2}\right)}$	$\displaystyle {\frac {1}{2\pi \cdot |ab|}}e^{\frac {-\left(\omega _{x}^{2}/a^{2}+\omega _{y}^{2}/b^{2}\right)}{4\pi }}$	$\displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{\frac {-\left(\nu _{x}^{2}/a^{2}+\nu _{y}^{2}/b^{2}\right)}{4\pi }}$
402	$\displaystyle \mathrm {circ} ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$	$\displaystyle {\frac {J_{1}\left(2\pi {\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}$	$\displaystyle {\frac {J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}$	$\displaystyle {\frac {2\pi J_{1}\left({\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}}$

Chú thích

400:Biến lượng$\xi _{x}$,$\xi _{y}$,$\omega _{x}$,$\omega _{y}$,$\nu _{x}$,$\nu _{y}$Vi thật sổ. Nhị trọng tích phân thị đối chỉnh cá bình diện tích phân.

401:Giá lưỡng cá hàm sổ đô thịCao tư hàm sổ,Nhi thả khả năng bất cụ hữu đan vị thể tích.

402:Thử viên hữu đan vị bán kính, như quả bả${\text{circ}}(t)$Nhận tác giai thê hàm sổ$u(1-t)$;Airy phân bố dụng$J_{1}$(Nhất giai đệ nhất loại bối tắc nhĩ hàm sổ) biểu đạt. (Stein & Weiss 1971,Thm. IV.3.3 )

Tam nguyên hàm sổ

Thời vực tín hào	Giác tần suất biểu kỳ đích Phó lí diệp biến hoán	Hồ tần suất biểu kỳ đích Phó lí diệp biến hoán	Chú thích
$\mathrm {circ} ({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\sin[\omega ]-2\pi f_{r}\cos[\omega ]}{\omega ^{3}}}$	$4\pi {\frac {\sin[2\pi f_{r}]-2\pi f_{r}\cos[2\pi f_{r}]}{(2\pi f_{r})^{3}}}$	Thử cầu hữu đan vị bán kính; frThị tần suất thỉ lượng đích lượng trị {fx,fy,fz}.

Tham kiến

• Chính giao biến hoán
• Phó lí diệp cấp sổ
• Liên tục phó lí diệp biến hoán
• Ly tán thời gian phó lí diệp biến hoán
• Ly tán phó lí diệp biến hoán
• Phó lí diệp phân tích
• Điều hòa phân tích
• Bàng đặc lí á kim đối ngẫu tính
• Lạp phổ lạp tư biến hoán
• Tiểu ba biến hoán
• Hán khắc nhĩ biến hoán

Tham khảo tư liêu

Lai nguyên

• Ronald Newbold Bracewell. The Fourier Transform and Its Applications [ phó lí diệp biến hoán cập kỳ ứng dụng ] 3. Boston:McGraw Hill.2000( anh ngữ ).
• Trần tích quan, tằng trí hoàng. Công trình sổ học. Cao lập xuất bản xã.ISBN957-584-377-0( trung văn ( đài loan ) )..
• Erdélyi, Arthur ( biên ), Tables of Integral Transforms [ tích phân biến hoán biểu ]1,New York: McGraw-Hill, 1954( anh ngữ )
• Kammler, David, A First Course in Fourier Analysis [ phó lập diệp phân tích nhập môn khóa trình ],Prentice Hall,2000,ISBN0-13-578782-3( anh ngữ )
• Stein, Elias;Weiss, Guido,Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces [ âu kỉ lí đắc không gian thượng đích phó lập diệp phân tích đạo luận ],Princeton, N.J.:Princeton University Press,1971[2014-10-31],ISBN978-0-691-08078-9,( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2014-03-28 )( anh ngữ ).
• Stein, Elias; Rami, Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction [ phó lập diệp phân tích: Đạo luận ], Princeton Lectures in Analysis 1, Princeton University Press, 2003,ISBN0-691-11384-X( anh ngữ ).
  • Stein, Elias; Rami, Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction [ phó lập diệp phân tích đạo luận ], sổ học kinh điển anh văn giáo tài hệ liệt 1, trung quốcThế giới đồ thư xuất bản công tư,2006,ISBN9787506272872( anh ngữ )( ảnh ấn bản ).

Ngoại bộ liên kết

• Duy cơ cộng hưởng tư nguyênThượng đích tương quan đa môi thể tư nguyên:Phó lí diệp biến hoán
• Encyclopedia of Mathematics(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán)( anh văn )
• Ai lí khắc · vi tư thản nhân.Fourier Transform.MathWorld.