Mịch

Thử điều mục hiệt đích chủ đề thị đại sổ khái niệm. Quan vu kỉ hà định lý, thỉnh kiến “Viên mịch định lý”.

bn
Ký hào
Để sổ$b$Dữ chỉ sổ$n$

TạiSổ họcTrung, trọng phục liên thừa đích vận toán khiếu tốThừa phương,Thừa phương đích kết quả xưng viMịch( anh ngữ:mathematical power,power ); do thử, nhược$n$ViChính chỉnh sổ,$n$Cá tương đồng đích sổ$b$Liên tục tương thừa ( tức$b$Tự thừa$n$Thứ ), tựu khả tương$b^{n}$Khán tác thừa phương đích kết quả —— “Mịch”.

$b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$

Mịch vận toán(exponentiation) hựu xưngChỉ sổ vận toán,Thủ mịch,ThịSổ họcVận toán,Biểu đạt thứcVi$b^{n}$,Độc tác “$b$Đích$n$Thứ phương” hoặc “$b$Đích$n$Thứ mịch”. Kỳ trung,$b$Xưng viĐể sổ,Nhi$n$Xưng viChỉ sổ,Thông thường chỉ sổ tả thànhThượng tiêu,Phóng tại để sổ đíchHữu biên.Tại thuần văn tự cách thức đẳng bất năng dụng thượng tiêu đích tình huống, lệ như tạiBiên trình ngữ ngônHoặcĐiện tử bưu kiệnTrung,$b^{n}$Thông thường tả thànhb^nHoặcb**n;Dã khả thị viSiêu vận toán,Ký vib[3]n;Diệc khả dĩ dụngCao đức nạp tiễn hào biểu kỳ pháp,Tả thànhb↑n.

Đương chỉ sổ vi 1 thời, thông thường bất tả xuất lai, nhân vi vận toán xuất đích trị hòa để sổ đíchSổ trịNhất dạng; chỉ sổ vi 2 thời, khả dĩ độc tác “$b$ĐíchBình phương”;Chỉ sổ vi 3 thời, khả dĩ độc tác “$b$ĐíchLập phương”.

Do ô tạiThập tiến chếTrung,Thập đích mịchNgận dung dịch kế toán, chỉ nhu tại hậu diện gia linh tức khả, sở dĩKhoa học ký sổ phápTá thửGiản hóaKý lụcĐích sổ tự;Nhị đích mịchTắc tạiKế toán cơ khoa họcTrung tương đương trọng yếu.

Khởi thủy trị 1 ( thừa pháp đíchĐan vị nguyên) thừa thượng để sổ ($b$) tự thừa chỉ sổ ($n$) giá ma đa thứ.Giá dạngĐịnh nghĩaLiễu hậu, ngận dịch tưởng đáo như hà nhất bàn hóa chỉ sổ 0 hòa phụ sổ đích tình huống: Chỉ sổ thị linh thời, để sổ bất vi linh, mịch quân vi nhất ( tức trừ 0 ngoại, sở hữu sổ đích 0 thứ phương đô thị 1 ); chỉ sổ thị phụ sổ thời, tựu đẳng ô trọng phụcTrừ dĩĐể sổ ( hoặc để sổ đíchĐảo sổTự thừa chỉ sổ giá ma đa thứ ), tức:

$b^{0}=1\qquad (b\neq 0)$

$b^{-n}={1 \over \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}={\frac {1}{b^{n}}}=\left({\frac {1}{b}}\right)^{n}\qquad (b\neq 0)$.

Nhược dĩPhân sổVi chỉ sổ đích mịch, tắc định nghĩa:

$b^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}$,

Tức$b$Đích$n$Thứ phương tái khai$m$ThứPhương căn.

0 đích 0 thứ phương($0^{0}$) mục tiền một hữuSổ học giaCấp dư chính thức đích định nghĩa; tại bộ phânSổ học lĩnh vựcTrung, nhưTổ hợp sổ học,Thường dụng đích quán lệ thị định nghĩa vi 1.

Thử ngoại, đương$n$ThịPhục sổ,Thả$b$Thị chínhThật sổThời,

$b^{n}=\exp(n\ln(b))$

exp thịChỉ sổ hàm sổ,Nhi ln thịTự nhiên đối sổ.

Trọng yếu đíchHằng đẳng thức

Vận toán pháp tắc

• Đồng để sổ mịch tương thừa, để sổ bất biến, chỉ sổ tương gia:

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$

• Đồng để sổ mịch tương trừ, để sổ bất biến, chỉ sổ tương giảm:

$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$

• Đồng chỉ sổ mịch tương trừ, chỉ sổ bất biến, để sổ tương trừ ($b$Bất vi 0):

${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}$

Kỳ tha đẳng thức

• $x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}$
• $x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)$
• $x^{0}=1\qquad (x\neq 0)$
• $x^{1}=x\,\!$
• $x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)$

Vận toán luật

Gia pháp hòa thừa pháp tồn tạiGiao hoán luật,Bỉ như:$2+3=5=3+2$,$2\times 3=6=3\times 2$,Đãn thị mịch đích vận toán bất tồn tại giao hoán luật,$2^{3}=8$,Đãn thị$3^{2}=9$.

Đồng dạng, gia pháp hòa thừa pháp tồn tạiKết hợp luật,Bỉ như:$(2+3)+4=9=2+(3+4)$,$(2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)$.Bất quá, mịch vận toán một hữu kết hợp luật:$(2^{3})^{4}=8^{4}=4096$,Nhi$2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352$,Sở dĩ$(2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}$.

Đãn thị mịch vận toán nhưng nhiên hữu kỳ vận toán luật, xưng viChỉ sổ luật:

• $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
• ${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$
• $(a^{m})^{n}=a^{mn}$
• ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$
• $a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$
• ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}$

Chỉnh sổ chỉ sổ mịch

Chỉnh sổ chỉ sổ mịch đích vận toán chỉ nhu yếuSơ đẳng đại sổĐích tri thức.

Chính chỉnh sổ chỉ sổ mịch

Biểu đạt thức$a^{2}=a\cdot a$Bị xưng tác$a$ĐíchBình phương,Nhân vi biên trường vi$a$Đích chính phương hình diện tích thị$a^{2}$.

Biểu đạt thức$a^{3}=a\cdot a\cdot a$Bị xưng tác$a$ĐíchLập phương,Nhân vi biên trường vi$a$Đích chính phương thể thể tích thị$a^{3}$.

Sở dĩ$3^{2}$Độc tác “3 đích bình phương”,$2^{3}$Độc tác “2 đích lập phương”.

Chỉ sổ biểu kỳ đích thị để sổ phản phục tương thừa đa thiếu thứ. Bỉ như$3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243$,Chỉ sổ thị 5, để sổ thị 3, biểu kỳ 3 phản phục tương thừa 5 thứ.

Hoặc giả, chỉnh sổ chỉ sổ mịch khả dĩĐệ quyĐịa định nghĩa thành:

$a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}$

Chỉ sổ thị 1 hoặc giả 0

Chú ý$3^{1}$Biểu kỳ cận cận 1 cá 3 đích thừa tích, tựu đẳng vu 3.

Chú ý$3^{5}=3\times 3^{4}$,$3^{4}=3\times 3^{3}$,$3^{3}=3\times 3^{2}$,$3^{2}=3\times 3^{1}$,

Kế tục, đắc đáo$3^{1}=3\times 3^{0}=3$,Sở dĩ$3^{0}=1$

Lánh nhất cá đắc đáo thử kết luận đích phương pháp thị: Thông quá vận toán pháp tắc${\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}$

Đương$m=n$Thời,$1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}$

• Nhậm hà sổ đích1Thứ phương thị tha bổn thân.

Linh đích linh thứ phương

Chủ điều mục:Linh đích linh thứ phương

$0^{0}$Kỳ thật hoàn tịnh vị bị sổ học gia hoàn chỉnh đích định nghĩa, đãn bộ phân khán pháp thị$0^{0}=1$,Tại trình thức ngữ ngôn trung ( python )$0**0=1$

Tại giá lí cấp xuất giá nhất chủng cực hạn đích khán pháp

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}$ Vu thị, khả dĩ cầu xuất x thủ trị tòng 1 đáo 0.0000001 kế toán đắc đáo đích trị, như đồ

Phụ sổ chỉ sổ

Ngã môn định nghĩa nhậm hà bất vi0Đích sổaĐích-1Thứ phương đẳng vu tha đích đảo sổ.

$a^{-1}={\frac {1}{a}}$

Đối vu phi linh$a$Định nghĩa

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$,

Nhi$a=0$Thời phân mẫu vi0Một hữu ý nghĩa.

Chứng pháp nhất:

Căn cư định nghĩa$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$,Đương$m=-n$Thời

$a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,$

Đắc$a^{-n}\,a^{n}=1$,Sở dĩ$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$.

Chứng pháp nhị:

Thông quá vận toán pháp tắc${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$

Đương$m=0$Thời, khả đắc$a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}$

Phụ sổ chỉ sổ$a^{-n}$Hoàn khả dĩ biểu kỳ thành1Liên tục trừ dĩ$n$Cá$a$.Bỉ như:

$3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}$.

Đặc thù sổ đích mịch

10 đích mịch

Chủ điều mục:Khoa học kế sổ pháp

TạiThập tiến chếĐích kế sổ hệ thống trung, 10 đích mịch tả thành 1 hậu diện cân trứ ngận đa cá 0. Lệ như:$10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001$

Nhân thử 10 đích mịch dụng lai biểu kỳ phi thường đại hoặc giả phi thường tiểu đích sổ tự. Như: 299,792,458 ( chân không trungQuang tốc,Đan vị thịMễ mỗi miểu), khả dĩ tả thành$2.99792458\times 10^{8}$,Cận tự trị$2.998\times 10^{8}$Hoặc$3\times 10^{8}$

Quốc tế đan vị chế từ đầuDã sử dụng 10 đích mịch lai miêu thuật đặc biệt đại hoặc giả đặc biệt tiểu đích sổ tự, bỉ như: Từ đầu “Thiên” tựu thị$10^{3}$,Từ đầu “Hào” tựu thị$10^{-3}$

2 đích mịch

Chủ điều mục:2 đích mịch

1 đích mịch

1 đích nhậm hà thứ mịch đô vi 1.

0 đích mịch

0 đích chính sổ mịch đô đẳng vu 0.

0 đích phụ sổ mịch một hữu định nghĩa.

Nhậm hà phi 0 chi sổ đích 0 thứ phương đô thị 1; nhi0 đích 0 thứ phươngThị huyền nhi vị quyết đích, mỗ ta lĩnh vực hạ thường dụng đích quán lệ thị ước định vi 1.Đãn mỗ ta giáo khoa thư biểu kỳ 0 đích 0 thứ phương vi vô ý nghĩa.Dã hữu nhân chủ trương định nghĩa vi 1.

Phụ 1 đích mịch

-1 đích kỳ sổ mịch đẳng vu -1

-1 đích ngẫu sổ mịch đẳng vu 1

Chỉ sổ phi thường đại thời đích mịch

Nhất cá đại vu 1 đích sổ đích mịch xu vuVô cùng đại,Nhất cá tiểu vu -1 đích sổ đích mịch xu vu phụ vô cùng đại

Đương$a>1$,$n\to \infty$,$a^{n}\to \infty$

Đương$a<-1$,$n\to \infty$,$a^{n}\to -\infty$Hoặc$\infty$,( thị hồ n thị kỳ sổ hoặc ngẫu sổ )

Nhất cá tuyệt đối trị tiểu vu 1 đích sổ đích mịch xu vu 0

Đương$|a|<1$,$n\to \infty$,$a^{n}\to 0$

1 đích mịch vĩnh viễn đô thị 1

Đương$a=1$,$n\to \infty$,$a^{n}\to 1$

Như quả sổaXu vu 1 nhi tha đích mịch xu vu vô cùng, na ma cực hạn tịnh bất nhất định thị thượng diện kỉ cá. Nhất cá ngận trọng yếu đích lệ tử thị:

Đương$n\to \infty,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e$

Tham kiếne đích mịch

Kỳ tha chỉ sổ đích cực hạn tham kiếnMịch đích cực hạn

Chính thật sổ đích thật sổ mịch

Nhất cá chính thật sổ đíchThật sổMịch khả dĩ thông quá lưỡng chủng phương pháp thật hiện.

• Hữu lý sổMịch khả dĩ thông quá N thứPhương cănĐịnh nghĩa, nhậm hà phi 0 thật sổ thứ mịch đô khả dĩ giá dạng định nghĩa
• Tự nhiên đối sổKhả dĩ bị dụng lai thông quá chỉ sổ hàm sổ định nghĩa thật sổ mịch

N thứ phương căn

Tòng thượng đáo hạ:$x^{\frac {1}{8}},\ x^{\frac {1}{4}},\ x^{\frac {1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}$

Chủ điều mục:Phương căn

Nhất cáSổ$a$Đích$n$Thứ phương căn thị$x$,$x$Sử$x^{n}=a$.

Như quả$a$Thị nhất cá chính thật sổ,$n$Thị chính chỉnh sổ, na ma phương trình$x^{n}=a$Chỉ hữu nhất cá chính thật sổCăn. Giá cá căn bị xưng vi$a$Đích$n$Thứ phương căn, ký tác:${\sqrt[{n}]{a}}$,Kỳ trung${\sqrt {\ }}$Khiếu tố căn hào. Hoặc giả,$a$Đích$n$Thứ phương căn dã khả dĩ tả thành$a^{\frac {1}{n}}$. Lệ như$4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2$

Đương chỉ sổ thị${\frac {1}{2}}$Thời căn hào thượng đích 2 khả dĩ tỉnh lược, như:${\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2$

Hữu lý sổ mịch

Hữu lý sổ chỉ sổ mịch định nghĩa vi

$a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

e đích mịch

Chủ điều mục:Chỉ sổ hàm sổ

Giá cá trọng yếu đích sổ học thường sổe,Hữu thời khiếu tốÂu lạp sổ,Cận tự 2.718, thịTự nhiên đối sổĐích để. Tha đề cung liễu định nghĩa phi chỉnh sổ chỉ sổ mịch đích nhất cá phương pháp. Tha thị tòng dĩ hạ cực hạn định nghĩa đích:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

Chỉ sổ hàm sổĐích định nghĩa thị:

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

Khả dĩ ngận giản đan địa chứng minheĐích chính chỉnh sổkThứ phương$e^{k}$Thị:

$e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}$

$=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}$

$=\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}$

$=\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}$

Thật sổ chỉ sổ mịch

y = b^xĐối các chủng để sổ b đích đồ tượng, phân biệt vi lục sắc đích 10, hồng sắc đích e, lam sắc đích 2 hòa thanh sắc đích 1/2.

Nhân vi sở hữuThật sổKhả dĩ cận tự địa biểu kỳ vi hữu lý sổ, nhậm ý thật sổ chỉ sổxKhả dĩ định nghĩa thành:

$b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},$

Lệ như:

$x\approx 1.732$

Vu thị

$5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241$

Thật sổ chỉ sổ mịch thông thường sử dụng đối sổ lai định nghĩa, nhi bất thị cận tự hữu lý sổ.

Tự nhiên đối sổ$\ln {x}$Thị chỉ sổ hàm sổ$e^{x}$ĐíchPhản hàm sổ. Tha đích định nghĩa thị: Đối vu nhậm ý$b>0$,Mãn túc

$b=e^{\ln b}$

Căn cư đối sổ hòa chỉ sổ vận toán đích quy tắc:

$b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}$

Giá tựu thị thật sổ chỉ sổ mịch đích định nghĩa:

$b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,$

Thật sổ chỉ sổ mịch$b^{x}$Đích giá cá định nghĩa hòa thượng diện sử dụng hữu lý sổ chỉ sổ hòa liên tục tính đích định nghĩa tương vẫn hợp. Đối vu phục sổ, giá chủng định nghĩa canh gia thường dụng.

Phụ thật sổ đích thật sổ mịch

Như quả$a$Thị phụ sổ thả$n$ThịNgẫu sổ,Na ma$x=a^{n}$Thị chính sổ. Như quả$a$Thị phụ sổ thả$n$ThịKỳ sổ,Na ma$x=a^{n}$Thị phụ sổ.

Sử dụng đối sổ hòa hữu lý sổ chỉ sổ đô bất năng tương$a^{k}$( kỳ trung$a$Thị phụ thật sổ,$k$Thật sổ ) định nghĩa thành thật sổ. Tại nhất ta đặc thù tình huống hạ, cấp xuất nhất cá định nghĩa thị khả hành đích: Phụ chỉ sổ đích chỉnh sổ chỉ sổ mịch thị thật sổ, hữu lý sổ chỉ sổ mịch đối vu$a^{\frac {m}{n}}$($n$Thị kỳ sổ ) khả dĩ sử dụng$n$Thứ phương căn lai kế toán, đãn thị nhân vi một hữu thật sổ$x$Sử$x^{2}=-1$,Đối vu$a^{\frac {m}{n}}$($n$Thị ngẫu sổ ) thời tất tu sử dụngHư sổ đan vị$i$.

Sử dụng đối sổ đích phương pháp bất năng định nghĩa$a\leq 0$Thời đích$a^{k}$Vi thật sổ. Thật tế thượng,$e^{x}$Đối vu nhậm hà thật sổ$x$Đô thị chính đích, sở dĩ$\ln(a)$Đối vu phụ sổ một hữu ý nghĩa.

Sử dụng hữu lý sổ chỉ sổ mịch lai bức cận đích phương pháp dã bất năng dụng vu phụ sổ$a$Nhân vi tha y lại vuLiên tục tính.Hàm sổ$f(r)=a^{r}$Đối vu nhậm hà chính đích hữu lý sổ$a$Thị liên tục đích, đãn thị đối vu phụ sổ$a$,Hàm sổ$f$Tại hữu ta hữu lý sổ$r$Thượng thậm chí bất thị liên tục đích.

Lệ như: Đương$a=-1$,Tha đích kỳ sổ thứ căn đẳng vu -1. Sở dĩ như quả$n$Thị chính kỳ sổ chỉnh sổ,$-1^{\frac {m}{n}}=-1$Đương$m$Thị kỳ sổ,$-1^{\frac {m}{n}}=1$Đương$m$Thị ngẫu sổ. Tuy nhiên hữu lý sổ$q$Sử$-1^{q}=1$ĐíchTập hợpThịTrù mật tập,Đãn thị hữu lý sổ$q$Sử$-1^{q}=-1$ĐíchTập hợpDã thị. Sở dĩ hàm sổ$-1^{q}$Tại hữu lý sổ vực bất thị liên tục đích.

Nhân thử, như quả yếu cầu phụ thật sổ đích nhậm ý thật sổ mịch, tất tu tương để sổ hòa chỉ sổ khán thànhPhục sổ,Án phục sổ đích chính thật sổ mịch hoặc phục sổ đích phục sổ mịch phương pháp kế toán.

Chính thật sổ đích phục sổ mịch

e đích hư sổ thứ mịch

Chủ điều mục:Chỉ sổ hàm sổ

Chỉ sổ hàm sổe^zKhả dĩ thông quá(1 +z/N)^NĐươngNXu vu vô cùng đại thời đíchCực hạnLai định nghĩa, na mae^iπTựu thị(1 +iπ/N)^NĐích cực hạn. Tại giá cá động họa trungnTòng 1 thủ đáo 100.(1 +iπ/N)^NĐích trị thông quáNTrọng phục tăng gia tại phục sổ bình diện thượng triển kỳ, tối chung kết quả tựu thị(1 +iπ/N)^NĐích chuẩn xác trị. Khả dĩ khán xuất, tùy trứNĐích tăng đại,(1 +iπ/N)^NTrục tiệm bức cận cực hạn -1. Giá tựu thịÂu lạp công thức.

Phục sổVận toán đích kỉ hà ý nghĩa hòaeĐích mịchKhả dĩ bang trợ ngã môn lý giải$e^{ix}$($x$Thị thật sổ ), tứcThuần hư sổ chỉ sổ hàm sổ.Tưởng tượng nhất cáTrực giác tam giác hình$(0,1,1+{\frac {ix}{n}})$( quát hào nội thị phục sổ bình diện nội tam giác hình đích tam cáĐỉnh điểm), đối vu túc cú đại đích$n$,Giá cá tam giác hình khả dĩ khán tác nhất cáPhiến hình,Giá cá phiến hình đích trung tâm giác tựu đẳng vu${\frac {x}{n}}$Hồ độ.Đối vu sở hữu$k$,Tam giác hình$(0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})$Hỗ viTương tự tam giác hình.Sở dĩ đương$n$Túc cú đại thời$(1+{\frac {ix}{n}})^{n}$Đích cực hạn thị phục sổ bình diện thượng đíchĐan vị viênThượng$x$Hồ độ đích điểm. Giá cá điểm đíchCực tọa tiêuThị$(r,\theta )=(1,x)$,Trực giác tọa tiêuThị$(\cos x,\sin x)$.Sở dĩ$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,Nhi giá cá hàm sổ khả dĩ xưng viThuần hư sổ chỉ sổ hàm sổ.Giá tựu thịÂu lạp công thức,Tha thông quáPhục sổĐích ý nghĩa tươngĐại sổ họcHòaTam giác họcLiên hệ khởi lai liễu.

Đẳng thức$e^{z}=1$Đích giải thị nhất cá chỉnh sổ thừa dĩ$2i\pi$:

$\{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.$

Canh nhất bàn địa, như quả$e^{b}=a$,Na ma$e^{z}=a$Đích mỗi nhất cá giải đô khả dĩ thông quá tương$2i\pi$Đích chỉnh sổ bội gia thượng$b$Đắc đáo:

$\{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.$

Giá cá phục chỉ sổ hàm sổ thị nhất cá hữu chu kỳ$2i\pi$ĐíchChu kỳ hàm sổ.

Canh giản đan đích:$e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)$.

Tam giác hàm sổ

Chủ điều mục:Âu lạp công thức

Căn cưÂu lạp công thức,Tam giác hàm sổDư huyền hòa chính huyền thị:

$\cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}$

Lịch sử thượng, tại phục sổ phát minh chi tiền, dư huyền hòa chính huyền thị dụng kỉ hà đích phương pháp định nghĩa đích. Thượng diện đích công thức tương phục tạp đích tam giác hàm sổ đích cầu hòa công thức chuyển hoán thành liễu giản đan đích chỉ sổ phương trình

$e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,$

Sử dụng liễu phục sổ chỉ sổ mịch chi hậu, ngận đa tam giác học vấn đề đô năng cú sử dụng đại sổ phương pháp giải quyết.

e đích phục sổ chỉ sổ mịch

$e^{x+iy}$Khả dĩ phân giải thành$e^{x}\cdot e^{iy}$.Kỳ trung$e^{x}$Thị$e^{x+iy}$ĐíchMô,$e^{iy}$Quyết định liễu$e^{x+iy}$Đích phương hướng

Chính thật sổ đích phục sổ mịch

Như quả$a$Thị nhất cá chính thật sổ,$z$Thị nhậm hà phục sổ,$a^{z}$Định nghĩa thành$e^{z\cdot \ln(a)}$,Kỳ trung$x=\ln(a)$Thị phương trình$e^{x}=a$Đích duy nhất giải. Sở dĩ xử lý thật sổ đích phương pháp đồng dạng khả dĩ dụng lai xử lý phục sổ.

Lệ như:

$2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i$

${{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i$

${{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i$

$(e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1$

Phục sổ đích phục sổ mịch

Phục sổ đích hư sổ mịch

Nhượng ngã môn tòng nhất cá giản đan đích lệ tử khai thủy: Kế toán$\left(1+i\right)^{i}$.

${\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}$

Kỳ trung${\sqrt {2}}^{i}$Đích đắc pháp tham kiến thượng vănChính thật sổ đích phục sổ mịch

Phục sổ đích phục sổ mịch

Loại tự địa, tại kế toán phục sổ đích phục sổ mịch thời, ngã môn khả dĩ tương chỉ sổ đích thật bộ dữ hư bộ phân khai dĩ tiến hành mịch kế toán. Lệ như kế toán$\left(1+i\right)^{2+i}$:

${\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}$

Nhất bàn tình huống

Phục sổ đích phục sổ mịch tất tu thủ tiên hóa vi để sổ vi$e$Đích hình thức:

$w^{z}=e^{z\ln w}$

Hựu, do phục sổ đích cực tọa tiêu biểu kỳ pháp:

$w=re^{i\theta }$

Cố

$w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}$.

Nhiên hậu, sử dụngÂu lạp công thứcXử lý tức khả.

Do vu phục sổ đích cực tọa tiêu biểu kỳ pháp trung,Phúc giác$\theta$Đích thủ trị thị cụ hữu chu kỳ tính đích, nhân thử phục sổ đích phục sổ mịch tại đại đa sổ tình huống hạ thịĐa trị hàm sổ.Bất quá thật tế ứng dụng trung, vi liễu giản tiện khởi kiến, phúc giác đô chỉ thủ chủ trị, tòng nhi sử mịch trị duy nhất.

TạiHàm sổTrung

Đương hàm sổ danh hậu hữu thượng tiêu đích sổ ( tức hàm sổ đích chỉ sổ ), nhất bàn chỉ yếu trọng phục tha đích vận toán. Lệ như$f^{3}(x)$Tức$f(f(f(x)))$.Đặc biệt địa,$f^{-1}(x)$Chỉ$f(x)$ĐíchPhản hàm sổ.

ĐãnTam giác hàm sổĐích tình huống hữu sở bất đồng, nhất cá chính chỉ sổ ứng dụng ô hàm sổ đích danh tự thời, chỉ đáp án yếu tiến hành thừa phương vận toán, nhi chỉ sổ vi -1 thời tắc biểu kỳ kỳ phản hàm sổ. Lệ như:$(\sin x)^{-1}$Biểu kỳ$\csc x$.Nhân thử tại tam giác hàm sổ thời, sử dụng$\sin ^{-1}x$Lai biểu kỳ$\sin x$Đích phản hàm sổ$\arcsin x$.

Kế toán tự nhiên sổ ( chính chỉnh sổ )$n$Đích$a^{n}$Đích toán pháp

Tối khoái đích phương thức kế toán$a^{n}$,Đương$n$Thị chính chỉnh sổ đích thời hầu. Tha lợi dụng liễu trắc thí nhất cá sổ thị kỳ sổ tại kế toán cơ thượng thị phi thường dung dịch đích, hòa thông quá giản đan đích di sở hữu vị hướng hữu laiTrừ dĩ 2Đích sự thật.

TạiC/C++ ngữ ngônTrung, nhĩ khả dĩ tả như hạ toán pháp:

doublepower(doublea,unsignedintn)
{
doubley=1;
doublef=a;
while(n>0){
if(n%2==1)y*=f;
n>>=1;
f*=f;
}
returny;
}

Thử toán pháp đíchThời gian phục tạp độVi$\mathrm {O} (\log n)\!$,Bỉ phổ thông toán pháp khoái ( a tự thừa 100 thứ,Thời gian phục tạp độVi$\mathrm {O} (n)\!$), tại$n$Giác đại đích thời hầu canh vi hiển trứ.

Lệ như kế toán$a^{100}$,Phổ thông toán pháp nhu yếu toán 100 thứ, thượng thuật toán pháp tắc chỉ nhu yếu toán 7 thứ. Nhược yếu kế toán$a^{n}(n<0)$Khả tiên dĩ thượng thuật toán pháp kế toán$a^{|n|}$,Tái tác đảo sổ.

Lánh kiến

• Điệt đại mịch thứ

Ngoại bộ liên kết

• Chỉ sổ đích lịch sử