Thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức

Thiết bỉ tuyết phuĐa hạng thức( Chebyshev polynomials ) thị dữĐệ mạc phất định lýHữu quan, dĩĐệ quy định nghĩaĐích nhất hệ liệtChính giao đa hạng thứcTự liệt. Thông thường, đệ nhất loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức dĩ phù hàoT_nBiểu kỳ, đệ nhị loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức dụngU_nBiểu kỳ. Thiết bỉ tuyết phu đa hạng thứcT_nHoặcU_nĐại biểunGiai đa hạng thức.

Thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức tạiBức cận lý luậnTrung hữu trọng yếu đích ứng dụng. Giá thị nhân vi đệ nhất loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức đích căn ( bị xưng vi thiết bỉ tuyết phu tiết điểm ) khả dĩ dụng vu đa hạng thức sáp trị. Tương ứng đích sáp trị đa hạng thức năng tối đại hạn độ địa hàng đêLong cách hiện tượng,Tịnh thả đề cung đa hạng thức tạiLiên tục hàm sổĐích tối giai nhất trí bức cận.

TạiVi phân phương trìnhĐích nghiên cứu trung,Thiết bỉ tuyết phuĐề xuấtThiết bỉ tuyết phu vi phân phương trình

$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0$

Hòa

$(1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0$

Tương ứng địa, đệ nhất loại hòa đệ nhị loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức phân biệt vi giá lưỡng cá phương trình đích giải. Giá ta phương trình thịTư đồ mỗ - lưu duy nhĩ vi phân phương trìnhĐích đặc thù tình hình.

Định nghĩa

Đệ nhất loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thứcDo dĩ hạ đệ thôi quan hệ xác định

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,$

Dã khả dĩ dụngMẫu hàm sổBiểu kỳ

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.$

Đệ nhị loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thứcDo dĩ hạĐệ thôi quan hệCấp xuất

$U_{0}(x)=1\,$

$U_{1}(x)=2x\,$

$U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\,$

Thử thờiMẫu hàm sổVi

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.$

Tòng tam giác hàm sổ định nghĩa

Thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức

Đệ nhất loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức do dĩ hạ tam giác hằng đẳng thức xác định

$T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,$

Kỳ trungn= 0, 1, 2, 3,.....$\cos n\theta \,$Thị quan vu$\cos \theta \,$ĐíchnThứ đa hạng thức, giá cá sự thật khả dĩ giá ma khán:$\cos n\theta \,$Thị:$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=e^{in\theta }=\cos(n\theta )+i\sin n\theta \,$Đích thật bộ ( tham kiếnĐệ mạc phất công thức), nhi tòng tả biên nhị hạng triển khai thức khả dĩ khán xuất thật bộ trung xuất hiện hàm$\sin \theta \,$Đích hạng trung,$\sin \theta \,$Đô thị ngẫu sổ thứ đích, tòng nhi khả dĩ biểu kỳ thành$1-\cos ^{2}\theta \,$Đích mịch.

Dụng hiển thức lai biểu kỳ

$T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}$

Tẫn quản năng kinh thường bính đáo thượng diện đích biểu đạt thức, đãn như quả tá trợ vu phục hàm sổ cos(z), cosh(z) dĩ cập tha môn đích phản hàm sổ, tắc hữu

${\begin{matrix}T_{n}(x)&=&\cos(n\arccos(x))\\&=&\mathrm {cosh} (n\,\mathrm {arccosh} (x))\end{matrix}}\,\quad \forall x\in \mathbb {R}.$

Loại tự, đệ nhị loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức mãn túc

$U_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}.$

Dĩ bội nhĩ phương trình định nghĩa

Thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức khả bị định nghĩa viBội nhĩ phương trình

$T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!$

Tại đa hạng thức hoàn R[x] thượng đích giải (e.g., kiếnDemeyer (2007),p.70). Nhân thử tha môn đích biểu đạt thức khả thông quá giải bội nhĩ phương trình nhi đắc xuất:

$T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!$

Đệ quy công thức

Lưỡng loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức khả do dĩ hạ song trọng đệ quy quan hệ thức trung trực tiếp đắc xuất:

$T_{0}(x)=1$

$U_{-1}(x)=1$

$T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)$

$U_{n}(x)=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x)$

Chứng minh đích phương thức thị tại hạ liệt tam giác quan hệ thức trung dụng$\cos \vartheta$Đại thế$x$

$T_{n+1}(x)=T_{n+1}(\cos \vartheta )={}$$\cos((n+1)\vartheta )={}$$\cos(n\vartheta )\cos \vartheta -\sin(n\vartheta )\sin \vartheta ={}$$T_{n}(\cos \vartheta )\cos \vartheta -U_{n-1}(\cos \vartheta )\sin ^{2}\vartheta ={}$$xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)$

Chính giao tính

T_nHòaU_nĐô thị khu gian [−1,1] thượng đíchChính giao đa hạng thứcHệ.

Đệ nhất loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức đái quyền

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},$

Tức:

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&:n\neq m~~~~~\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{matrix}}\right.$

Khả tiên lệnhx=cos(θ) lợi dụng T_n(cos(θ))=cos(nθ) tiện khả chứng minh.

Loại tự địa, đệ nhị loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức đái quyền

${\sqrt {1-x^{2}}}$

Tức:

$\int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi /2&:n=m\end{cases}}$

KỳChính giao hóaHậu hình thành đíchTùy cơ biến lượngThịWigner bán viên phân bố).

Cơ bổn tính chất

Đối mỗi cá phi phụ chỉnh sổ$n$,$T_{n}(x)$Hòa$U_{n}(x)$Đô vi$n$Thứ đa hạng thức. Tịnh thả đương$n$Vi ngẫu ( kỳ ) sổ thời, tha môn thị quan vu$x$Đích ngẫu ( kỳ ) hàm sổ, tại tả thành quan vu$x$Đích đa hạng thức thời chỉ hữu ngẫu ( kỳ ) thứ hạng.

$n\geq 1$Thời,$T_{n}$Đích tối cao thứ hạng hệ sổ vi$2^{n-1}$,$n=0$Thời hệ sổ vi$1$.

Tối tiểu linh thiên soa

Đối$n\geq 1$,Tại sở hữu tối cao thứ hạng hệ sổ vi 1 đích$n$Thứ đa hạng thức trung,$f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)$Đối linh đích thiên soa tối tiểu, tức tha thị sử đắc$f(x)$Tại$[-1,1]$Thượng tuyệt đối trị đích tối đại trị tối tiểu đích đa hạng thức. Kỳ tuyệt đối trị đích tối đại trị vi${\frac {1}{2^{n-1}}}$,Phân biệt tại$-1$,$1$Cập$f$Đích kỳ tha$n-1$Cá cực trị điểm thượng đạt đáo.

Lưỡng loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức gian đích quan hệ

Lưỡng loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức gian hoàn hữu như hạ quan hệ:

${\frac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{, }}n=1,\ldots$

$T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).$

$T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,$

$T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x).$

Thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức thị siêu cầu đa hạng thức hoặcCái căn bảo đa hạng thứcĐích đặc lệ, hậu giả thịNhã khả bỉ đa hạng thứcĐích đặc lệ.

Thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức đạo sổ hình thức đích đệ thôi quan hệ khả dĩ do hạ diện đích quan hệ thức thôi xuất:

$2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){\mbox{, }}\quad n=1,2,\ldots$

Lệ tử

Tiền lục cá đệ nhất loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức đích đồ tượng, kỳ trung -1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; án nhan sắc y thứ thịT₀,T₁,T₂,T₃,T₄T₅.

Tiền kỉ cá đệ nhất loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức thị

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1\,$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,$

$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,$

$T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,$

$T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,$

Tiền lục cá đệ nhị loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức đích đồ tượng, kỳ trung -1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; án nhan sắc y thứ thịU₀,U₁,U₂,U₃,U₄U₅.Tuy nhiên đồ tượng trung vô pháp hiển kỳ, ngã môn thật tế hữu U_n(1)=n+1 dĩ cập U_n(-1)=(n+1)(-1)ⁿ.

Tiền kỉ cá đệ nhị loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức thị

$U_{0}(x)=1\,$

$U_{1}(x)=2x\,$

$U_{2}(x)=4x^{2}-1\,$

$U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,$

$U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,$

$U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,$

$U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1.\,$

Đệ nhất loại thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức tiền kỉ giai đạo sổ thị

$T_{n}'(1)=n^{2}\,$

$T_{n}'(-1)=-(-1)^{n}*n^{2}\,$

$T_{n}''(1)=(n^{4}-n^{2})/3\,$

$T_{n}''(-1)=(-1)^{n}*(n^{4}-n^{2})/3\,$

Án thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức đích triển khai thức

Nhất cáNThứ đa hạng thức án thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức đích triển khai thức vi như hạ:

$p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x)$

Đa hạng thức án thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức đích triển khai khả dĩ dụngClenshaw đệ thôi công thứcKế toán.

Thiết bỉ tuyết phu căn

Lưỡng loại đíchnThứ thiết bỉ tuyết phu đa hạng thức tại khu gian [−1,1] thượng đô hữunCá bất đồng đích căn, xưng viThiết bỉ tuyết phu căn,Hữu thời diệc xưng tốThiết bỉ tuyết phu tiết điểm,Nhân vi thị đa hạng thức sáp trị thời đíchSáp trị điểm.Tòng tam giác hình thức trung khả khán xuấtT_nĐíchnCá căn phân biệt thị:

$x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right){\mbox{, }}i=1,\ldots,n.$

Loại tự địa,U_nĐíchnCá căn phân biệt thị:

$x_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right){\mbox{, }}i=1,\ldots,n.$

Tham khán

• Thiết bỉ tuyết phu tiết điểm
• Thiết bỉ tuyết phu lự ba khí

Tham khảo

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.Handbook of Mathematical Functionswith Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,Chapter 22. New York: Dover, 1972.