Cát viên liên bỉ lệ

Cát viên liên bỉ lệThị thanh đại cấp sổ lý luận đích kỉ hà học cơ sở, tối tiên doMinh an đồTại 《Cát hoàn mật suất tiệp pháp》 quyển tam, tứ 《 pháp giải 》 trung xiển minh, kỳ hậu kinhĐổng hữu thành,Hạng danh đạtĐẳng sổ học gia đích công tác nhi xu vu hoàn thiện..Cát viên liên bỉ lệ đích trung tâm vấn đề thị dĩ tri viên hồ trường độ, như hà cầu huyền trường cập thỉ cao, hoặc dĩ tri huyền trường, thỉ cao, như hà cầu đắc hồ trường. Cát viên liên bỉ lệ trung tâm phương pháp thị kết hợp do tây phương truyện nhập đích liên bỉ lệ phương pháp, kết hợp truyện thống trung toán phương pháp, tương viên hồ phân cát thành đa đẳng phân, họa xuất đa điều thỉ, nhiên hậu cấu tạo nhất hệ liệt tương tự tam giác hình hoạch đắc nhất hệ liệt liên bỉ lệ thức, tái tương viên hồ phân cát việt tế, dĩ chiết tuyến bức cận hồ tuyến, cầu đắc hồ trường.

Lịch sử bối cảnh

1701 niên, pháp quốc gia tô hội truyện giáo sĩĐỗ đức mỹ( Pierre Jartoux 1668 niên chí 1720 niên ) lai đáo trung quốc, tha đái lai liễu doNgải tát khắc · ngưu đốnHòa J. Cách lôi qua lí sang kiến đích tam cá tam giác hàm sổ vô cùng cấp sổ

$\pi =3\left(1+{\frac {1}{4\cdot 3!}}+{\frac {3^{2}}{4^{2}\cdot 5!}}+{\frac {3^{2}\cdot 5^{2}}{4^{3}\cdot 7!}}+\cdots \right)$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$\operatorname {vers} x={\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

Giá ta kế toánπĐích “Tiệp pháp” chỉ thiệp cập thừa pháp hòa gia giảm vận toán, tốc độ viễn siêu truyện thốngLưu huy cát viên thuậtThiệp cập đích bình phương căn kế toán, nhân nhi kích khởi liễu trung quốc sổ học gia đích cực đại hưng thú. Nhiên nhi đỗ đức mỹ một hữu tương thôi đạo giá ta vô cùng cấp sổ đích phương pháp đái lai trung quốc. Minh an đồ hoài nghi tây phương nhân bất nguyện phân hưởng tha môn đích bí mật, vu thị tha trứ thủ tiến hành giá hạng công tác, tiền hậu lịch thời 30 niên, hoàn thành liễu thư cảo 《Cát hoàn mật suất tiệp pháp》, tha tại thư trung sang kiến kỉ hà mô hình dụng vu hoạch đắc tam giác hàm sổ vô cùng cấp sổ, bất cận thôi xuất đỗ đức mỹ đích tam cá vô cùng cấp sổ, hoàn phát hiện liễu lục cá tân đích vô cùng cấp sổ. Tại giá cá quá trình trung, tha phát hiện hòa ứng dụngTạp tháp lan sổ.

Liên bỉ lệ

Liên bỉ lệ đồ

Như đồ nhất ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… Thị nhất hệ liệt tương tự tam giác hình, vu thị.

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;

• AB vi đệ nhất suất, dĩ$\phi _{1}$Biểu kỳ
• BC vi đệ nhị suất, dĩ$\phi _{2}$Biểu kỳ
• BC vi đệ nhị suất, dĩ$\phi _{2}$Biểu kỳ
• CD vi đệ tam suất, dĩ$\phi _{3}$Biểu kỳ
• DE vi đệ tứ suất, dĩ$\phi _{4}$Biểu kỳ
• EF vi đệ ngũ suất, dĩ$\phi _{5}$Biểu kỳ
• FG vi đệ lục suất, dĩ$\phi _{6}$Biểu kỳ
• ……
• Đệ m suất:$\phi _{m}$

Vu thị:

$\phi _{6}=k*\phi _{5}$

$\phi _{5}=k*\phi _{4}$

$\phi _{4}=k*\phi _{3}$

$\phi _{3}=k*\phi _{2}$

$\phi _{2}=k*\phi _{1}$

$\phi _{m}=k^{m-1}*\phi _{1}$

$\phi _{m}$……$\phi _{6}:\phi _{5}:\phi _{4}:\phi _{3}:\phi _{2}:\phi _{1}=k^{m-1}:k^{m-2}$……$k^{5}:k^{4}:k^{3}:k^{2}:k:k^{0}$

Hựu: ${\frac {\phi _{m}*\phi _{n}}{\phi _{p}}}=(m+n-p-q)*\phi _{q}$

Minh an đồ cát viên liên bỉ lệ

Đồ nhất minh an đồ nhất huyền nhị thỉ cát viên liên bỉ lệ đồ

Đồ nhị minh an đồ phát hiện tạp tháp lan sổ 《 cát hoàn mật suất tiệp pháp 》 quyển tam

Do nhị phân hồ thông huyền suất sổ cầu toàn hồ thông huyền suất sổ pháp

Như đồ BCD vi toàn hồ, AB=AC=AD= vi bán kính, lệnh bán kính =1; BD vi thông huyền, BC, CD vi 1/2 phân hồ. Tác BG=BC=x, tác trực tuyến CG; hựu tác DH=DC, liên CH trực tuyến. Nhân thử,

$BD=2*x-GH$

Tác EJ=EF,FK=FJ; diên trường BE trực tuyến chí L, tịnh lệnh EL=BE; tác BF=BE, sử F tại AE tuyến thượng. Liên BF diên trường chí M, tịnh BF=MF; liên LM, hiển nhiên LM thông quá C điểm. Tương tam giác hình BLM dĩ BM vi trục phản chuyển thành tam giác hình BMN,C điểm trọng hợp G, L điểm trọng hợp N. Tương tam giác hình NGB dĩ BN vi trục phản chuyển chí BMI; hiển nhiên BI=BC.

$AB:BC:CI=1:x:x^{2}$

Tác CG chi bình phân tuyến BM, tịnh lệnh BM=BC; liên GM, CM; tác CO=CM giao BM vu O; tác MP=MO; tác NQ=NR, R vi BN dữ AC chi giao điểm. ∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;$\therefore$∠EBM=∠EAB; vu thị đắc đáo nhất hệ liệt tương tự tam giác hình: ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH, nhi thả tam giác hình CMO= tam giác hình EFJ; vu thị đắc:

• Liên bỉ đệ nhất suất:AB=AC=AD=AE
• Liên bỉ đệ nhị suất: BE=BC=BF=C
• Liên bỉ đệ tam suất:EF=CM
• Liên bỉ đệ tứ suất:FJ
• Liên bỉ đệ ngũ suất:JK=OP

$AB:BE:EF:FJ:JK=1:p:p^{2}:p^{3}:p^{4}$

1:BE=BE:EF; tức$EF=BE^{2}$

$1:BE^{2}=x:GH$

Vu thị$GH=x*BE^{2}=x*p^{2}$,

Tức$BD=2*x-x*p^{2}$

Nhân vi phong tranh hình ABEC dữ BLIN tương tự,.

$EF=LC=CM=MG=NG=IN$

$LM+MN=CM+MN+IN=CI+OP=JK+CI$

$\therefore AB:(BE+EC)=BL:(LM+MN)$Tức$AB:BL=BL:(CI+JK)$

Lệnh$BL=q$

$AB:BL:(CI+JK)=1:q:q^{2}$

$JK=p^{4}$

$CI=y^{2}$

$CI+JK=q^{2}=BL^{2}=(2BE)^{2}=(2p)^{2}=4p^{2}$

Do thử đắc$q^{2}=4p^{2}$Hoặc$p={\frac {q}{2}}$

Hựu$CI+JK=x^{2}+p^{4}=q^{2}$,Đại nhân p trị đắc:

$x^{2}+{\frac {q^{4}}{16}}=q^{2}$,Vu thị

$x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}$

Thượng thức bình phương chi, lưỡng biên trừ dĩ 16:

${\frac {(x^{2})^{2}}{16}}={\frac {(q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}})^{2}}{16}}=\sum _{j=0}^{2}(-1)^{j}*{2 \choose j}*{\frac {q^{2*(2+j)}}{16^{j}}}$

Tức${\frac {x^{4}}{16}}={\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {q^{6}}{128}}+{\frac {q^{8}}{4096}}{16}$

Y thứ loại thôi

${\frac {x^{2n}}{16^{n-1}}}=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}*{n \choose j}*{\frac {q^{2*(n+j)}}{16^{n+j-1}}}$.

Tương hạ liệt nhị thức tương gia, khả dĩ tiêu khứ$q^{4}$Hạng:

$x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}$

${\frac {x^{4}}{16}}={{\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {2*q^{6}}{16^{2}}}+{\frac {q^{8}}{4096}}}{16}$

$x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}=q^{2}-{\frac {q^{6}}{128}}+*{\frac {q^{8}}{4096}}$

Đồng lý

$x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2*x^{6}}{16^{2}}}=q^{2}-{\frac {5*q^{8}}{4096}}+{\frac {3*q^{10}}{32768}}-{\frac {q^{12}}{524288}}$,

.......

${\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2x^{6}}{16^{2}}}+{\frac {5x^{8}}{16^{3}}}+{\frac {14x^{10}}{16^{4}}}+{\frac {42x^{12}}{16^{5}}}\\[10pt]{}&+{\frac {132x^{14}}{16^{6}}}+{\frac {429x^{16}}{16^{7}}}+{\frac {1430x^{18}}{16^{8}}}+{\frac {4862x^{20}}{16^{9}}}\\[10pt]&{}+{\frac {16796x^{22}}{16^{10}}}+{\frac {58786x^{24}}{16^{11}}}+{\frac {208012x^{26}}{16^{12}}}\\[10pt]&{}+{\frac {742900x^{28}}{16^{13}}}+{\frac {2674440x^{30}}{16^{14}}}+{\frac {9694845x^{32}}{16^{15}}}\\[10pt]&{}+{\frac {35357670x^{34}}{16^{16}}}+{\frac {129644790x^{36}}{16^{17}}}\\[10pt]&{}+{\frac {477638700x^{38}}{16^{18}}}+{\frac {1767263190x^{40}}{16^{19}}}+{\frac {6564120420x^{42}}{16^{20}}}\\[10pt]&=q^{2}+{\frac {62985}{8796093022208}}q^{24}\end{aligned}}$

Triển khai thức các hạng phân tử đích hệ sổ 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132…… ( kiến đồ nhị minh an đồ nguyên đồ tối hậu nhất hành, do hữu chí tả độc ) nãi thịTạp tháp lan sổ,Minh an đồ thị phát hiện thử sổ đích thế giới đệ nhất nhân.

Nhân nhi đắc đáo:

$q^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n}}{4^{2n-2}}}$.

Kỳ trung

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}$ViMinh an đồ - tạp tháp lan sổ.

Minh an đồ lợi dụng tha thủ sang đích đệ thôi quan hệ:

$C_{n}=\sum _{k}(-1)^{k}*{n-k \choose k+1}*C_{n-k}$

$\because BC:CG:GH=AB:BE:EF=1:p:p^{2}=x:px:p^{2}*x$

$\therefore GH:=p^{2}*x=({\frac {q}{2}})^{2}*x={\frac {q^{2}*x}{4}}$

Đại nhân$BD=2x-GH$

Tối hậu đắc đáo.

$BD=2x-{\frac {x}{4}}*q^{2}$

$y_{2}=2x-\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n+1}}{4^{2n-1}}}$

Tam giác học ý nghĩa

Tại đồ nhất trung lệnh BAE giác =α, BAC giác =2α

• x=BC=sinα
• q=BL=2BE=4sin(α/2)
• BD=2sin(2α)

Minh an đồ hoạch đắc đích$BD=2*x-x*BE^{2}$

Tựu thị

$\sin(2\alpha )=2\sin \alpha -\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(\sin \alpha )^{2n+1}}{4^{n-1}}}$

$=2*\sin(\alpha )-{\frac {2*\sin(\alpha )^{3}}{1+\cos(\alpha )}}$

$q^{2}=BL^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n}}{4^{2n-2}}}$

Tức$\sin({\frac {\alpha }{2}})^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(sin\alpha )^{2n}}{4^{2n}}}$

Do tam phân hồ thông huyền suất cầu toàn hồ thông huyền suất

Minh an đồ cát viên mật suất tam phân hồ

Như đồ, BE vi toàn hồ thông huyền, BC=CE=DE=a vi tam đẳng phân hồ. AB=AC=AD=AE=1 vi bán kính. Liên BC, CD, DE, BD, EC; tác BG, EH=BC, Bδ=Eα=BD, vu thị tam giác hình Cαβ=Dδγ; hựu tam giác hình Cαβ dữ tam giác hình BδD tương tự.

Nhân thử: $AB:BC=BC:CG=CG:GF$,$BC:FG=BD:\delta \gamma$

$2*BD=BE+\delta \alpha$

$2*BD-\delta \gamma =BE+BC$

$\therefore 2*BD-\delta \gamma -BC=BE$

Y thứ loại thôi, tối hậu đắc:

$y_{3}=3*a-a^{3}$.

Tứ phân huyền

Tứ phân huyền

$y_{4}=4*a-{\frac {10*a^{3}}{4}}+{\frac {14*a^{5}}{4^{3}}}-{\frac {12*a^{7}}{4^{5}}}$+……

$=4a-10*a^{3}/4+\sum _{n=1}^{\infty }(16C_{n}-2C_{n+1})*{\frac {a^{2n+1}}{4^{2n-1}}}$..

Kỉ hà ý nghĩa:

$\sin(4*\alpha )=4*sin(\alpha )-10*sin^{3}\alpha$ $+\sum _{n=1}^{\infty }(16*C_{n}-2C_{n+1})*{\frac {\sin ^{2n+3}(\alpha )}{4^{n}}}$.

Ngũ phân huyền

Ngũ phân huyền

$y_{5}=5a-5a^{3}+a^{5}$

Kỉ hà ý nghĩa:

$\sin(5\alpha )=5\sin(\alpha )-20\sin ^{3}(\alpha )+16\sin ^{5}(\alpha )$.

Thập phân huyền

Thập phân huyền đồ

Tòng thập phân huyền khai thủy, minh an đồ bất tái tác kỉ hà mô hình, nhi thị đối vô cùng cấp sổ tiến hành đại sổ vận toán

Hiển nhiên thập phân huyền đẳng vu ngũ phân huyền hòa nhị phân huyền đích tổ hợp, tức

$y_{10}=y_{5}(y_{2})$

$y_{10}=5*y_{2}-5*(y_{2})^{3}+(y_{2})^{5}$;

Triển khai tức đắc:

$y_{10}(a)=10*a-{\frac {165*a^{3}}{4}}+{\frac {3003*a^{5}}{4^{3}}}-{\frac {21450*a^{7}}{4^{5}}}$+…….

Bách phân hồ

Đồng lý,

$y_{100}=y_{10}(y_{10})$,Triển khai hậu tức đắc:

$y_{100}=100*a-166650*{\frac {a^{3}}{4}}+333000030*{\frac {a^{5}}{4*16}}-316350028500*{\frac {a^{7}}{4*16^{2}}}+17488840755750*{\frac {a^{9}}{4*16^{3}}}+$…….

Thiên phân hồ

$y_{1000}=1000*a-1666666500*{\frac {a^{3}}{4}}+33333000000300*{\frac {a^{5}}{4*16}}-3174492064314285000{\frac {a^{7}}{4*16^{2}}}+$…….

Vạn phân huyền

$y_{10000}=10000*a-{\frac {166666665000*a^{3}}{4}}+{\frac {33333330000000300*a^{5}}{4^{3}}}+$………….

Hồ bối cầu thông huyền

y100,y1000 and y10000 khả biểu vi:

$y100=100a-{\frac {(100a)^{3}}{24.002400240024002400}}+{\frac {(100a)^{5}}{24.024021859697730358*80}}+$..........

$y1000:=1000a-{\frac {(1000a)^{3}}{24.000024000024000024}}+{\frac {(1000a)^{5}}{24.000240002184019680*80}}+$..............

$y10000:=10000a-{\frac {(10000a)^{3}}{24.000000240000002400}}+{\frac {(10000a)^{5}}{24.000002400000218400*80}}+$..................

Phân huyền sổ việt đại, phân mẫu 24.000000240000002400, 24.000002400000218400*80 việt tiếp cận 24, 24*80; đương phân huyền sổ n xu hướng vô cùng đại, n*a, tựu biến thành hồ bối, vu thị

Lệnh c vi huyền, a vi hồ bối,

$c=a-{\frac {a^{3}}{4*3!}}+{\frac {a^{5}}{4^{2}*5!}}-{\frac {a^{7}}{4^{3}*7!}}+$.....

$=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}*a^{2*n-1}}{(4^{n-1}*(2*n-1)!)}}$

Thông huyền cầu hồ bối

Minh an đồ cầu đắc thượng thuật vô cùng cấp sổ đích phản nghịch, tương hồ biểu kỳ vi huyền đích vô cùng cấp sổ:

$a:=c+{\frac {c^{3}}{24}}+{\frac {3*c^{5}}{640}}+{\frac {5*c^{7}}{7168}}+$............

Chính huyền đích vô cùng cấp sổ triển khai

$\because sin(\alpha )={\frac {c}{2}}$,

Lệnh r=1

$\therefore sin\alpha =a-{\frac {a^{3}}{3}}+{\frac {a^{5}}{5}}-{\frac {a^{7}}{7}}+{\frac {a^{9}}{9}}+$…………

$=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}*{\frac {a^{2n-1}}{2n-1}}$.

Tham khảo văn hiến

• Minh an đồ nguyên trứ la kiến kim dịch chú 《 cát viên mật suất tiệp pháp dịch chú 》 nội mông cổ giáo dục xuất bản xã 1998ISBN 7-5311-3584-1
• Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
• Lý nghiễm 《 trung toán sử luận tùng 》 đệ tam tập 《 minh thanh toán gia đích cát viên thuật nghiên cứu 》《 lý nghiễm tiền bảo tông khoa học sử toàn tập 》 đệ 7 quyển