Bội lập phương

Xích quy tác đồ tam đại nan đề
Tam đẳng phân giác
Hóa viên vi phương
Bội lập phương

Bội lập phương vấn đề

Bội lập phươngThịCổ hi tịchSổ học líXích quy tác đồLĩnh vực đương trung đích trứ danh vấn đề, hòaTam đẳng phân giác,Hóa viên vi phươngVấn đề bị tịnh liệt vi cổ hi tịch xích quy tác đồ tam đại nan đề. Xích quy tác đồ thị cổ hi tịch nhân đích sổ học nghiên cứu khóa đề chi nhất, thị đối cụ thể đíchTrực xíchHòaViên quyHọa đồ khả năng tính đích trừu tượng hóa, nghiên cứu thị phủ năng dụng quy định đích tác đồ pháp tại hữu hạn bộ nội đạt đáo cấp định đích mục tiêu. Bội lập phương vấn đề đích nội dung thị:

“Năng phủ dụng xích quy tác đồ đích phương pháp tác xuất nhấtLập phương thểĐích lăng trường, sử cai lập phương thể đích thể tích đẳng vu nhất cấp định lập phương thể đích lưỡng bội?”

Bội lập phương vấn đề đích thật chất thị năng phủ thông quá xích quy tác đồ tòng đan vị trường độ xuất phát tác xuất${\sqrt[{3}]{2}}$Đích vấn đề.

Tam đại nan đề đề xuất hậu, tại mạn trường đích lưỡng thiên dư niên trung, tằng hữu chúng đa đích thường thí, đãn một hữu nhân năng cú cấp xuất nghiêm cách đích đáp án. Tùy trứ thập cửu thế kỷ quần luận hòa vực luận đích phát triển, pháp quốc sổ học giaBì ai nhĩ · uông sách nhĩThủ tiên lợi dụngGià la ngõa lý luậnChứng minh, tam đẳng phân giác vấn đề đích đáp án thị phủ định đích. Vận dụng loại tự đích phương pháp, khả dĩ chứng minh bội lập phương vấn đề đích đáp án đồng dạng thị phủ định đích. Cụ thể lai thuyết, cấp định đan vị trường độ hậu, sở hữu năng cú kinh do xích quy tác đồ đạt đáo đích trường độ trị bị xưng viQuy củ sổ,Nhi như quả năng cú tác xuất${\sqrt[{3}]{2}}$,Na ma tựu năng tố xuất bất chúc vu quy củ sổ đích trường độ, tòng nhiPhản chứngXuất thông quá xích quy tác đồ tác xuất cấp định lập phương thể thể tích lưỡng bội đích lập phương thể thị bất khả năng đích.

Như quả bất tương thủ đoạn cục hạn tại xích quy tác đồ pháp trung, phóng khoan hạn chế hoặc tá trợ canh đa đích công cụ đích thoại, tác xuất cấp định lập phương thể thể tích lưỡng bội đích lập phương thể thị khả hành đích.

Bối cảnh giản giới

Tương quan truyện thuyết

Truyện thuyết trung, giá vấn đề đích lai nguyên, khả truy tố đáo công nguyên tiền 429 niên. Nhất tràng ôn dịch tập kích liễu hi tịchĐề lạc đảo( Delos ), tạo thành tứ phân chi nhất đích nhân khẩu tử vong. Đảo dân môn khứ thần miếu thỉnh kỳ a ba la đích chỉ ý,Thần dụThuyết: Yếu tưởng át chỉ ôn dịch, đắc tươngA ba la thần điệnTrung na chính lập phương đích tế đàn gia đại nhất bội. Nhân môn tiện bả mỗi biên tăng trường nhất bội, kết quả thể tích đương nhiên tựu biến thành liễu 8 bội, ôn dịch y cựu mạn diên; tiếp trứ nhân môn hựu thí trứ bả thể tích cải thành nguyên lai đích 2 bội, đãn hình trạng khước biến vi nhất cá trường phương thể…… Đệ la tư đảo nhân tại vạn bàn vô nại đích tình huống hạ, chỉ hảo cổ túc dũng khí đáoNhã điểnKhứ cầu cứu ô đương thời trứ danh đích học giảBách lạp đồ.

Khai thủy,Bách lạp đồHòa tha đích học sinh nhận vi giá cá vấn đề ngận dung dịch. Tha môn căn cư bình thời đích kinh nghiệm, giác đắc lợi dụngXích quy tác đồKhả dĩ khinh nhi dịch cử địa tác nhất cá chính phương hình, sử tha đích diện tích đẳng vu dĩ tri chính phương hình đích 2 bội, na ma tác nhất cá chính phương thể, sử tha đích thể tích đẳng vu dĩ tri chính phương thể thể tích đích 2 bội, hoàn hội nan mạ?

Xích quy tác đồ pháp

Chủ điều mục:Xích quy tác đồ

Tại tự thuật bội lập phương vấn đề tiền, thủ tiên nhu yếu giới thiệuXích quy tác đồ.Xích quy tác đồ vấn đề thị tòng hiện thật trung cụ thể đích “Trực xích hòa viên quy họa đồ khả năng tính” vấn đề trừu tượng xuất lai đích sổ học vấn đề, tương hiện thật trung đích trực xích hòa viên quy trừu tượng vi sổ học thượng đích thiết định, nghiên cứu đích thị năng bất năng tại nhược càn cá cụ thể hạn chế chi hạ, tại hữu hạn đích bộ sậu nội tác xuất cấp định đích đồ hình, kết cấu hoặc kỳ tha mục tiêu đích vấn đề. Tại xích quy tác đồ trung, trực xích hòa viên quy đích định nghĩa thị:

Trực xích: Nhất trắc vi vô cùng trường đích trực tuyến, một hữu khắc độ dã vô pháp tiêu thức khắc độ đích công cụ. Chỉ khả dĩ nhượng bút mô hạ giá cá trực tuyến đích toàn bộ hoặc nhất bộ phân.

Viên quy: Do lưỡng đoan điểm cấu thành đích công cụ. Khả dĩ tại bảo trì lưỡng cá đoan điểm chi gian đích cự ly bất biến đích tình huống hạ, tương lưỡng cá đoan điểm đồng thời di động, hoặc giả chỉ cố định kỳ trung nhất cá đoan điểm, nhượng lánh nhất cá đoan điểm di động, tác xuất viên hồ hoặc viên. Lưỡng cá đoan điểm chi gian đích cự ly chỉ năng thủ dĩ kinh tác xuất đích lưỡng điểm chi gian đích cự ly, hoặc giả nhậm ý nhất cá vị tri đích cự ly.

Định nghĩa liễu trực xích hòa viên quy đích đặc tính hậu, sở hữu đích tác đồ bộ sậu đô khả dĩ quy hóa vi ngũ chủng cơ bổn đích bộ sậu, xưng vi tác đồ công pháp:

• Thông quá lưỡng cá dĩ tri điểm, tác nhất trực tuyến.
• Dĩ tri viên tâm hòa bán kính, tác nhất cá viên.
• Nhược lưỡng dĩ tri trực tuyến tương giao, xác định kỳ giao điểm.
• Nhược dĩ tri trực tuyến hòa nhất dĩ tri viên tương giao, xác định kỳ giao điểm.
• Nhược lưỡng dĩ tri viên tương giao, xác định kỳ giao điểm.

Xích quy tác đồ nghiên cứu đích, tựu thị thị phủ năng cú thông quá dĩ thượng ngũ chủng bộ sậu đích hữu hạn thứ trọng phục, đạt đáo cấp định đích tác đồ mục tiêu. Xích quy tác đồ vấn đề thường kiến đích hình thức thị: “Cấp định mỗ mỗ điều kiện, năng phủ dụng xích quy tác xuất mỗ mỗ đối tượng?” Bỉ như: “Cấp định nhất cá viên, năng phủ dụng xích quy tác xuất giá cá viên đích viên tâm?”, Đẳng đẳng.

Vấn đề tự thuật

Bội lập phương vấn đề đích hoàn chỉnh tự thuật thị:

“ Nhậm ý cấp định nhất cá tuyến đoạnl,Thị phủ năng cú thông quá dĩ thượng thuyết minh đích ngũ chủng cơ bổn bộ sậu, vu hữu hạn thứ nội tác xuất lánh nhất cá trường độ đích tuyến đoạn, sử đắc dĩ tha vi lăng trường đích lập phương thể đích thể tích thị dĩlVi lăng trường đích lập phương thể đích thể tích đích 2 bội? ”

Như quả tương cấp định tuyến đoạn đích trường độ định vi đan vị trường độ, tắc bội lập phương vấn đề thật chất thượng tựu thị yếu tác xuất trường độ vi đan vị trường độ đích${\sqrt[{3}]{2}}$Bội đích tuyến đoạn.

Bội bình phương

Dữ bội lập phương vấn đề tương bỉ, bội bình phương vấn đề yếu giản đan đắc đa. Cấp định nhất cá đan vị trường độ đích tuyến đoạn, chỉ nhu tố nhất cá dĩ tha vi biên trường đích chính phương hình, dĩ chính phương hình đích đối giác tuyến vi biên trường đích chính phương hình, diện tích tựu thị 2. Dã tức thị thuyết, xích quy tác đồ khả dĩ tác xuất trường độ vi đan vị trường độ đích${\sqrt {2}}$Bội đích tuyến đoạn. Nhiên nhi,${\sqrt[{3}]{2}}$Hòa${\sqrt {2}}$Tuy nhiên hình trạng tương cận, khước hữu bổn chất tính đích khu biệt. Sổ học gia môn trực đáo thập cửu thế kỷ hậu, tài tòng quần luận hòa vực luận đích công cụ trung liễu giải liễu giá cá khu biệt.

Bất khả năng tính đích chứng minh

Chủ điều mục:Quy củ sổ

Dĩ hạ nội dung dĩ di chí ôQuy củ sổ

Xích quy tác đồ tam đại nan đề đề xuất hậu, hữu hứa đa cơ ô bình diện kỉ hà đích luận chứng hòa thường thí, đãn tại thập cửu thế kỷ dĩ tiền, nhất trực một hữu hoàn chỉnh đích giải đáp. Một hữu nhân năng cú cấp xuất bội lập phương vấn đề đích giải pháp, đãn khai thủy hoài nghi kỳ khả năng tính đích nhân chi trung, dã một hữu nhân năng cú chứng minh giá dạng đích giải pháp nhất định bất tồn tại. Trực đáo thập cửu thế kỷ hậu, già la ngõa hòa a bối nhĩ khai sang liễu dĩ quần luận lai thảo luận hữu lý hệ sổ đa hạng thức phương trình chi giải đích phương pháp, nhân môn tài nhận thức đáo giá tam cá vấn đề đích bổn chất.

Xích quy khả tác tính hòa quy củ sổ

Tại nghiên cứu các chủng xích quy tác đồ vấn đề đích thời hầu, sổ học gia môn lưu ý đáo, năng phủ dụng xích quy tác xuất đặc định đích đồ hình hoặc mục tiêu, bổn chất thị năng phủ tác xuất phù hợp đích trường độ. Dẫn tiến trực giác tọa tiêu hệ hòaGiải tích kỉ hàDĩ hậu, hựu khả dĩ tương trường độ giải thích vi tọa tiêu. Bỉ như thuyết, tác xuất nhất cá viên, thật tế thượng thị tác xuất viên tâm đích vị trí ( tọa tiêu ) hòa bán kính đích trường độ. Tác xuất đặc định đích mỗ cá giao điểm hoặc mỗ điều trực tuyến, thật tế thượng thị trảo xuất tha môn đích tọa tiêu, tà suất hòa tiệt cự. Vi thử, sổ học gia dẫn nhập liễu xích quy khả tác tính giá nhất khái niệm. Giả thiết bình diện thượng hữu lưỡng cá dĩ tri đích điểmOHòaA,DĩOAVi đan vị trường độ, xạ tuyếnOAVix- trục chính hướng khả dĩ vi bình diện kiến lập nhất cá tiêu chuẩnTrực giác tọa tiêu hệ,Bình diện trung đích điểm khả dĩ dụng hoành tọa tiêu hòa túng tọa tiêu biểu kỳ, chỉnh cá bình diện khả dĩ đẳng giới vu$\mathbb {R} ^{2}$.

ThiếtEThị$\mathbb {R} ^{2}$Đích nhất cáPhi khôngTử tập.Như quả mỗ trực tuyến${\mathcal {l}}$Kinh quáETrung bất đồng đích lưỡng điểm, tựu thuyết${\mathcal {l}}$ThịE- xích quy khả tác đích, giản xưngE- khả tác. Đồng dạng địa, như quả mỗ cá viên${\mathcal {C}}$Đích viên tâm hòa viên thượng đích mỗ cá điểm thịETrung đích nguyên tố, tựu thuyết${\mathcal {C}}$ThịE- khả tác đích. Tiến nhất bộ địa thuyết, như quả$\mathbb {R} ^{2}$Lí đích mỗ cá điểmPThị mỗ lưỡng cáE- khả tác đích trực tuyến hoặc viên đích giao điểm ( trực tuyến － trực tuyến, trực tuyến － viên dĩ cập viên － viên ), tựu thuyết điểmPThịE- khả tác đích. Giá dạng đích định nghĩa thị cơ vu ngũ cá cơ bổn bộ sậu đắc lai đích, bao quát liễu xích quy tác đồ trung tòng dĩ tri điều kiện đắc đáo tân nguyên tố đích ngũ chủng cơ bổn phương pháp. Như quả tương sở hữuE- xích quy khả tác đích điểm đích tập hợp ký tács(E),Na ma đươngETrung bao hàm siêu quá lưỡng cá điểm đích thời hầu,EKhẳng định thịs(E)Đích chân tử tập. Tòng mỗ cá điểm tậpE₀Khai thủy, kinh quá nhất bộ năng tác xuất đích điểm cấu thành tập hợpE₁=s(E),Kinh quá lưỡng bộ năng tác xuất đích điểm tựu thịE₂=s(E₁),…… Dĩ thử loại thôi, kinh quánBộ năng tác xuất đích điểm tập tựu thịE_n=s(E_n-1).Nhi sở hữu tòngENăng xích quy tác xuất đích điểm tập tựu thị:

$C(\mathrm {E} _{0})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {E} _{n}.$

Lánh nhất cá dữ xích quy khả tác tính tương quan đích khái niệm thị quy củ sổ. ThiếtHThị tòng tập hợpE₀={(0,0), (0,1)} khai thủy, xích quy khả tác điểm đích tập hợp:$\mathrm {H} =C(\mathrm {E} _{0}),$Na ma quy củ sổ định nghĩa viHTrung đích điểm đích hoành tọa tiêu hòa túng tọa tiêu biểu kỳ đích sổ.

Định nghĩa:Thật sổaHòabThị quy củ sổĐương thả cận đương(a, b)ThịHTrung đích nhất cá điểm.

Khả dĩ chứng minh,Hữu lý sổTập$\mathbb {Q}$Thị sở hữu quy củ sổ cấu thành đích tập hợpKĐích tử tập, nhiKHựu thị thật sổ tập$\mathbb {R}$Đích tử tập. Lánh ngoại, vi liễu tại phục sổ tập$\mathbb {C}$Nội thảo luận vấn đề, dã hội tương bình diện$\mathbb {R} ^{2}$Khán tác phục bình diện$\mathbb {C}$,Đồng thời định nghĩa nhất cá phục sổa+biThị ( phục ) quy củ sổ đương thả cận đương điểm(a, b)ThịHTrung đích nhất cá điểm. Sở hữu phục quy củ sổ cấu thành đích tập hợpLDã bao hàm$\mathbb {Q}$Tác vi tử tập, tịnh thả thị phục sổ tập$\mathbb {C}$Đích tử tập. Tòng xích quy khả tác tính đáo giải tích kỉ hà hạ đích quy củ sổ, xích quy tác đồ vấn đề tòng kỉ hà vấn đề chuyển thành liễu đại sổ đích vấn đề.

Vực đích khoách trương dữ tối tiểu đa hạng thức

Dĩ tập hợp đích quan niệm lai thuyết,LDữ$\mathbb {Q}$,$\mathbb {C}$Chi gian thị tử tập dữ bao hàm đích quan hệ. Dĩ trừu tượng đại sổ đích quan điểm lai thuyết, khả dĩ chứng minhLThị hữu lý sổ vực$\mathbb {Q}$Đích khoách vực, thị thật sổ vực$\mathbb {C}$Đích tử vực. Ký tác$\mathbb {Q} \subseteq \mathrm {L} \subseteq \mathbb {C}$.VựcThị trừu tượng đại sổ trung đích khái niệm, thị năng cú tiến hành “Gia giảm thừa trừ” vận toán đích tập hợp. Tòng đan vị trường độ xuất phát, ngận dung dịch đắc đáo nhậm hà hữu lý sổ trường độ đích tuyến đoạn, sở dĩ trực tuyếnOA( dã tựu thị thật sổ trục ) thượng sở hữu đích hữu lý sổ tọa tiêu đích điểm đô thị xích quy khả tác điểm.Như quả bình diện thượng hoàn hữu lánh nhất cá xích quy khả tác điểm ( đối ứng phục sổz), na ma dã năng tố xuất nhậm ýpz+qĐích điểm, thậm chí vu nhậm hà hình như:

${\frac {P_{1}(z)}{P_{2}(z)}}$

Đích điểm ( kỳ trungP₁HòaP₂Thị lưỡng cá đa hạng thức ). Hữu lý sổ vực$\mathbb {Q}$Hòa sở hữu nhân vizNhi đa xuất lai đích xích quy khả tác điểm nhưng cựu cấu thành nhất cá vực, xưng vi$\mathbb {Q}$Quan vuzĐích khoách trương, ký tác$\mathbb {Q} (z)$.Nhiên nhi,$\mathbb {Q} (z)$Trung đích nguyên tố tịnh một hữu biểu diện thượng na ma “Đa”. Nhất bàn lai thuyết, như quả hữu nhất cá đa hạng thứcPSử đắcP(z)=0, na ma$\mathbb {Q} (z)$Trung đích nguyên tố đô khả dĩ tả thànhλ₁+λ₂z+...+λ_dz^d-1Đích hình thức, kỳ trungdThịPĐích giai sổ. Giá dạng đích tình huống xưng vi vực$\mathbb {Q}$ĐíchHữu hạn khoách trương,Nhân vi$\mathbb {Q} (z)$Khả dĩ khán thành quan vu$\mathbb {Q}$Đích hữu hạn duyTuyến tính không gian.Vi liễu xác định giá cá tuyến tính không gian đích duy sổ, nhu yếu vi tha trảo nhất cáCơ để,Dã tựu thị nhất cáTuyến tính vô quanĐích tối tiểuSinh thành tập.Vi thử, tầm trảo sử đắcm(z)=0 đích đa hạng thức trung giai sổ tối tiểu đích, tịnh xưngmThịzTối tiểu đa hạng thức.Tại tối tiểu đa hạng thức xác định hậu, tiện khả xác định1, z,..., z^d_m-1Thị$\mathbb {Q} (z)$Đích nhất cá cơ để,$\mathbb {Q} (z)$Thị nhất cád_mDuy đích$\mathbb {Q}$- tuyến tính không gian (d_mThịmĐích giai sổ ).Giá thời hầu dã xưngd_mThị vực khoách trương$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)$Đích giai sổ, ký tác:

$[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=\mathrm {d} _{m}$

Quy củ khoách trương đích giai sổ

Đối nhậm hà nhất cá xích quy khả tác điểm, đô khả dĩ khảo sát tha đối ứng đích vực khoách trương đích giai sổ. Do vu mỗi cá xích quy khả tác điểm đô thị thông quá ngũ chủng tác đồ công pháp đích hữu hạn thứ luy gia đắc đáo đích, nhi kỳ trung sinh thành tân điểm ( dã tựu thị tân tọa tiêu ) đích chỉ hữu hậu tam chủng. Sở dĩ chỉ nhu khảo sát giá tam chủng bộ sậu đắc đáo đích tân điểm đối ứng đích vực khoách trương đích giai sổ. Giả thiết mỗ cá thời khắc, dĩ tri đích sở hữu xích quy khả tác điểm cấu thành đích vực thịL,Na ma sinh thành tân điểm thời đích trực tuyến hòa viên đích hệ sổ đô tạiLLí diện.

Trực tuyến đích phương trình thị:$ax+by+c=0,\quad a,b,c\in \mathrm {L},\qquad \qquad \cdots \;\;(1)$

Viên đích phương trình thị:$(x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}=r^{2},\quad c_{1},c_{2},r\in \mathrm {L}.\qquad \qquad \cdots \;\;(2)$

Vô luận thị lưỡng cá (1) loại phương trình, lưỡng cá (2) loại phương trình, hoàn thị nhất cá (1) loại hòa nhất cá (2) loại phương trình liên lập cầu giải, đắc đáo đíchxHòayTrị đô hội thị hình đồng

${\begin{cases}x=p_{1}+q_{1}{\sqrt {t}}&p_{1},\;q_{1},\;t\;\in \mathrm {L} \\y=p_{2}+q_{2}{\sqrt {t}}&p_{2},\;q_{2}\;\in \mathrm {L} \end{cases}}$

Đích sổ trị. Sở dĩ phục quy củ sổz=x+yiMãn túc nhất cá nhị thứ phương trình:

$(z-(p_{1}+p_{2}i))^{2}=t(q_{1}+q_{2}i)^{2}$

Kỳ trung đíchp₁+p₂i,q₁+q₂iDĩ cậptĐô thịLTrung đích nguyên tố.Giá ý vị trứ, vực khoách trươngL⊆L(z)Đích giai sổ tối đa thị 2 ( tối tiểu đa hạng thức đích giai sổ chí đa thị 2 ).Giá hựu thuyết minh, tòngLKhai thủy, kinh quá nhất hệ liệt (nThứ ) cơ bổn bộ sậu đắc đáo đích xích quy khả tác điểm, đại biểu liễunThứ vực khoách trương:

$\mathrm {L} \subseteq \mathrm {L} _{1}\subseteq \cdots \subseteq \mathrm {L} _{n}.$

Nhi mỗi thứ vực khoách trương đích giai sổ:[L_k:L_k-1]Đô bất siêu quá 2. Nhân thử, như quả tòng cơ bổn đích hữu lý sổ vực xuất phát đích thoại, tựu năng đắc đáo như hạ đích định lý:

Nhậm hà phục quy củ sổzĐối ứng đích vực khoách trương$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)$Đích giai sổ$[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]$Đô thị 2 đích mỗ cá mịch thứ: $[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=2^{s}$

Kỳ trung đíchsThị mỗ cá tiểu vunĐích tự nhiên sổ (nThị dĩ tri sở hữu hữu lý sổ tọa tiêu điểm thời, tác xuấtzĐối ứng đích điểm yếu kinh quá đích cơ bổn bộ sậu sổ mục ).

Bội lập phương bất khả năng tính đích chứng minh

Chứng minh sử dụngPhản chứng pháp.Bội lập phương vấn đề thị chỉ dĩ tri đan vị trường độ 1, yếu tác xuất${\sqrt[{3}]{2}}$Đích trường độ. Phản thiết${\sqrt[{3}]{2}}$Khả dĩ tác xuất, thuyết minh tha thị nhất cá quy củ sổ. Sở dĩ vực khoách trương đích giai sổ$[\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} ]$Ứng cai thị 2 đích mịch thứ. Nhiên nhi,$z={\sqrt[{3}]{2}}$Đích tối tiểu đa hạng thức thị:

$z^{3}-2=0$

Giá thuyết minh vực khoách trương$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$Đích giai sổ thị 3, bất thị 2 đích mịch thứ, giá dữ tiên tiền đích kết luận mâu thuẫn. Sở dĩ, dụng xích quy phương pháp vô pháp tác xuất nhất cá lập phương thể, sử đắc tha đích thể tích thị dĩ tri lập phương thể đích lưỡng bội.

Bội lập phương đích phương pháp

Như quả phóng khoan điều kiện, bỉ như sử dụng hữu khắc độ đích trực xích (Nhị khắc xích) hoặc chiết chỉ đẳng, tắc bội lập phương thị hữu khả năng đích:

Nhị khắc xích tác đồ

Dụng hữu khắc độ đích trực xích lai tiến hành bội lập phương

1. Tác nhất cá biên trường vi 1 đích đẳng biên tam giác hình ABC.
2. Bả AB diên trường, tác tuyến AD, sử đắc BD = 1.
3. Bả BC diên trường, tác tuyến BE.
4. Bả D hòa C tương liên tịnh diên trường, tác tuyến DF.
5. Lợi dụng trực xích thượng đích khắc độ, tác tuyến AGH, sử đắc GH = 1, kỳ trung G hòa H phân biệt tại DF hòa BE chi thượng.
6. AG đích trường độ tựu thị${\sqrt[{3}]{2}}$,Tác đồ hoàn tất

Chứng minh

Do $\angle CBD=120^{\circ },{\overline {BC}}={\overline {BD}}$

Đắc

$\angle BCD=30^{\circ },\angle ACG=90^{\circ }$

Hựu căn cư tất thị định lý

${\overline {CD}}={\sqrt {3}}$

Hiện tại thiết${\overline {AG}}=x$,Tắc${\overline {CG}}={\sqrt {x^{2}-1}}$DoMạnh thị định lý

${\frac {\overline {DB}}{\overline {BA}}}\cdot {\frac {\overline {AH}}{\overline {HG}}}\cdot {\frac {\overline {GC}}{\overline {CD}}}=1$

Khả đắc

${\frac {(x+1){\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {3}}}=1$

Lưỡng biên bình phương hậu chỉnh lý

$(x+1)^{2}(x^{2}-1)-3$

$=x^{4}+2x^{3}-2x-4$

$=(x+2)(x^{3}-2)=0$

Thử phương trình thức hữu duy nhất chính thật căn

$x={\sqrt[{3}]{2}}$

Chiết chỉ

Thông quá chiết chỉ đích phương thức cầu xuất 2 đích lập phương căn

Tương nhất trương chính phương hình chỉ chiết tam đẳng phân lưu hạ ngân tích chi hậu, điểm P chiết hướng chính phương hình đích biên AB, tịnh thả điểm P đích vị trí yếu sử đắc tả tam đẳng phân điểm Q chiết đáo dữ hữu tam đẳng phân tuyến trọng hợp. Thử thời hữu${\frac {\overline {PB}}{\overline {AP}}}={\sqrt[{3}]{2}}$.

Chứng minh

Tương đồ trung tả biên bị chiết đích điểm mệnh danh vi C, dĩ cập AB biên thượng hữu tam đẳng phân điểm mệnh danh vi D.

Thiết chính phương hình liên trường vi 1 dĩ cập AC trường độ vi$x$,Tắc hữu CP trường độ vi$1-x$,AP trường độ thông quáCâu cổ định lýVi${\sqrt {1-2x}}$;Lánh nhất phương diện PQ trường độ vi${\frac {1}{3}}$,PD trường độ vi${\frac {2}{3}}-{\sqrt {1-2x}}$.

Căn cư tương tự tam giác hình ($\triangle ACP\sim \triangle DPQ$), khả dĩ đắc đáo phương trình:

${\frac {x}{1-x}}={\frac {{\frac {2}{3}}-{\sqrt {1-2x}}}{\frac {1}{3}}}$

Thủ kỳ chính căn giải đắc$x={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{2}}}}$,Hựu do vu PB trường độ vi$1-{\sqrt {1-2x}}$,Vu thị đại nhập$x={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{2}}}}$Đắc${\frac {1-{\sqrt {1-2x}}}{\sqrt {1-2x}}}={\sqrt[{3}]{2}}$,Chứng tất.

Tương quan điều mục

• Tam đẳng phân giác
• Hóa viên vi phương
• Mạn diệp tuyến

Ngoại bộ liên tiếp

• HPM thông tấn đệ 6 quyển đệ 6 kỳ, 3 đại tác đồ đềGiới thiệu tại giác khoan tùng đích điều kiện hạ ( duẫn hứa sử dụng kỳ tha khúc tuyến ) dụng xích quy tác đồ, lai cầu giải bội lập phương vấn đề.