Vi phân

Đề kỳ:Thử điều mục hiệt đích chủ đề bất thịVi phân học.

Hàm sổ đích vi phân( anh ngữ:Differential of a function) thị chỉ đốiHàm sổĐích cục bộ biến hóa đích nhất chủng tuyến tính miêu thuật. Vi phân khả dĩ cận tự địa miêu thuật đương hàm sổ tự biến lượng đích thủ trị tác túc cú tiểu đích cải biến thời, hàm sổ đích trị thị chẩm dạng cải biến đích.

Vi phân tại sổ học trung đích định nghĩa: Do$y$Thị$x$Đích hàm sổ ($y=f(x)$). Tòng giản đan đích bình diện trực giác tọa tiêu hệ lai khán, tự biến lượng$x$Đích biến hóa lượng xu cận vu 0 thời (${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$), nhân biến lượng$y$Đích biến hóa lượng dã xu cận vu 0, đãn$x$Hòa$y$Đích biến hóa lượng đô xu cận vu 0. Đương$x$Hữu cực tiểu đích biến hóa lượng thời, giá xưng vi$x$Đích vi phân.

Đương mỗ ta hàm sổ$\textstyle f$Đích tự biến lượng$\textstyle x$Hữu nhất cá vi tiểu đích cải biến$\textstyle h$Thời, hàm sổ đích biến hóa khả dĩ phân giải vi lưỡng cá bộ phân.

Nhất cá bộ phân thịTuyến tínhBộ phân: Tại nhất duy tình huống hạ, thaChính bỉVu tự biến lượng đích biến hóa lượng$\textstyle h$,Khả dĩ biểu kỳ thành$\textstyle h$Hòa nhất cá dữ$\textstyle h$Vô quan, chỉ dữ hàm sổ$\textstyle f$Cập$\textstyle x$Hữu quan đích lượng đích thừa tích; tại canh quảng phiếm đích tình huống hạ, tha thị nhất cáTuyến tính ánh xạTác dụng tại$\textstyle h$Thượng đích trị.

Lánh nhất bộ phân thị bỉ$\textstyle h$Canh cao giai đíchVô cùng tiểu,Dã tựu thị thuyết trừ dĩ$\textstyle h$Hậu nhưng nhiên hội xu vu linh. Đương cải biến lượng$\textstyle h$Ngận tiểu thời, đệ nhị bộ phân khả dĩ hốt lược bất kế, hàm sổ đích biến hóa lượng ước đẳng vu đệ nhất bộ phân, dã tựu thị hàm sổ tại$\textstyle x$Xử đíchVi phân,Ký tác$\displaystyle f'(x)h$Hoặc$\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)$.Như quả nhất cá hàm sổ tại mỗ xử cụ hữu dĩ thượng đích tính chất, tựu xưng thử hàm sổ tại cai điểm khả vi.

Bất thị sở hữu đích hàm sổ đích biến hóa lượng đô khả dĩ phân vi dĩ thượng đề đáo đích lưỡng cá bộ phân. Nhược hàm sổ tại mỗ nhất điểm vô pháp tố đáo khả vi, tiện xưng hàm sổ tại cai điểm bất khả vi.

Tại cổ điển đích vi tích phân học trung, vi phân bị định nghĩa vi biến hóa lượng đích tuyến tính bộ phân, tại hiện đại đích định nghĩa trung, vi phân bị định nghĩa vi tương tự biến lượng đích cải biến lượng$\textstyle h$Ánh xạ đáo biến hóa lượng đích tuyến tính bộ phân đích tuyến tính ánh xạ$\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}$.Giá cá ánh xạ dã bị xưng viThiết ánh xạ.Cấp định đích hàm sổ tại nhất điểm đích vi phân như quả tồn tại, tựu nhất định thị duy nhất đích.

Nhất nguyên vi phân

Định nghĩa

Hàm sổ tại nhất điểm đích vi phân. Kỳ trung hồng tuyến bộ phân thị vi phân lượng${\textrm {d}}y$,Nhi${\textrm {d}}y$Gia thượng hôi tuyến bộ phân hậu thị thật tế đích cải biến lượng$\Delta y$

ThiếtHàm sổ$y=f(x)$Tại mỗKhu gian${\mathcal {I}}$Nội hữu định nghĩa. Đối vu${\mathcal {I}}$Nội nhất điểm$x_{0}$,Đương$x_{0}$Biến động đáo phụ cận đích$x_{0}+\Delta x$( dã tại thử khu gian nội ) thời, như quả hàm sổ đíchTăng lượng$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$Khả biểu kỳ vi $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$( kỳ trung$A$Thị bất y lại vu$\Delta x$ĐíchThường sổ), nhi$o(\Delta x)$Thị bỉ$\Delta x$Cao giai đíchVô cùng tiểu,Na ma xưng hàm sổ$f(x)$Tại điểm$x_{0}$ThịKhả viĐích, thả$A\Delta x$Xưng tác hàm sổ tạiĐiểm$x_{0}$Tương ứng vu tự biến lượng tăng lượng$\Delta x$Đích vi phân, ký tác${\textrm {d}}y$,Tức${\textrm {d}}y=A\Delta x$,${\textrm {d}}y$Thị$\Delta y$ĐíchTuyến tính chủ bộ.

Thông thường bả tự biến lượng$x$Đích tăng lượng$\Delta x$Xưng vi tự biến lượng đích vi phân, ký tác${\textrm {d}}x$,Tức${\textrm {d}}x=\Delta x$.

Hòa đạo sổ đích quan hệ

Vi phân hòa đạo sổ thị lưỡng cá bất đồng đích khái niệm. Đãn thị, đối nhất nguyên hàm sổ lai thuyết, khả vi dữ khả đạo thị hoàn toàn đẳng giới đích khái niệm.Khả vi đích hàm sổ, kỳ vi phân đẳng vu đạo sổ thừa dĩ tự biến lượng đích vi phân${\textrm {d}}x$,Hoán cú thoại thuyết, hàm sổ đích vi phân dữ tự biến lượng đích vi phân chi thương đẳng vu cai hàm sổ đíchĐạo sổ.Nhân thử, đạo sổ dã khiếu tốVi thương.Vu thị hàm sổ$y=f(x)$Đích vi phân hựu khả ký tác${\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x$.

Kỉ hà ý nghĩa

Thiết$\Delta x$ThịKhúc tuyến$y=f(x)$Thượng đích điểm$P$Tại hoành tọa tiêu thượng đích tăng lượng,$\Delta y$ThịKhúc tuyếnTại điểm$P$Đối ứng$\Delta x$Tại túng tọa tiêu thượng đích tăng lượng,${\textrm {d}}y$Thị khúc tuyến tại điểm$P$ĐíchThiết tuyếnĐối ứng$\Delta x$Tại túng tọa tiêu thượng đích tăng lượng. Đương$\left|\Delta x\right|$Ngận tiểu thời,$\left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|$Bỉ$\left|\Delta x\right|$Yếu tiểu đắc đa ( cao giai vô cùng tiểu ), nhân thử tại điểm$P$Phụ cận, ngã môn khả dĩ dụngThiết tuyến đoạnLai cận tự đại thế khúc tuyến đoạn.

Lệ tử

Thiết hữu hàm sổ$f:x\mapsto x^{2}$,Khảo lự tha tòng mỗ nhất điểm$x$Biến đáo$x+{\textrm {d}}x$.Giá thời, hàm sổ đích cải biến lượng$f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)$Đẳng vu:

$f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)=(x+{\textrm {d}}x)^{2}-x^{2}$

$=2x\cdot {\textrm {d}}x+({\textrm {d}}x)^{2}=A{\textrm {d}}x+o({\textrm {d}}x)$

Kỳ trung đích tuyến tính chủ bộ:$Adx=2xdx$,Cao giai vô cùng tiểu thị$o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}$. Nhân thử hàm sổ$\textstyle f$Tại điểm$\textstyle x$Xử đích vi phân thị${\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x$.Hàm sổ đích vi phân dữ tự biến lượng đích vi phân chi thương${\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)$,Đẳng vu hàm sổ đích đạo sổ.

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ax^{n})}{\mathrm {d} x}}$,Vưu kỳ$y=ax^{n}$

$=nax^{(n-1)}$

Dĩ hạ hữu nhất lệ tử: Đương phương trình thức vi$y=2x^{2}$Thời, tựu hội hữu dĩ hạ đích vi phân quá trình.

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

$={\frac {\mathrm {d} 2x^{2}}{\mathrm {d} x}}$

$=2\cdot 2x^{(2-1)}$

$=4x$

Vi phân pháp tắc

Hòa cầu đạo nhất dạng, vi phân hữu loại tự đích pháp tắc. Lệ như, như quả thiết hàm sổ$u$,$v$Khả vi, na ma:

• $\mathrm {d} (au+bv)=\mathrm {d} au+\mathrm {d} bv=a\mathrm {d} u+b\mathrm {d} v$
• $d(uv)=udv+vdu$
• $d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}$
• Nhược hàm sổ$y(u)$Khả đạo, na ma$d[y(u)]=y'(u)du$

Cực trị

Chủ điều mục:Cực trị

Đa nguyên hàm sổ vi phân

Chủ điều mục:Toàn vi phân

Đương tự biến lượng thị đa nguyên biến lượng thời, đạo sổ đích khái niệm dĩ kinh bất thích dụng liễu ( tẫn quản khả dĩ định nghĩa đối mỗ cá phân lượng đíchThiên đạo sổ,Đãn thiên đạo sổ chỉ đối đan nhất tự biến lượng vi phân ), đãn nhưng nhiên hữu vi phân đích khái niệm.

Định nghĩa

Thiết$f$Thị tòngÂu kỉ lí đắc không gianRⁿ( hoặc giả nhậm ý nhất cáNội tích không gian) trung đích nhất cáKhai tập$\Omega$Xạ đáoR^mĐích nhất cá hàm sổ. Đối vu$\Omega$Trung đích nhất điểm$x$Cập kỳ tại$\Omega$Trung đíchLân vực$\Lambda$Trung đích điểm$x+h$.Như quả tồn tại tuyến tính ánh xạ$A$Sử đắc đối nhậm ý giá dạng đích$x+h$,

$\lim _{h\to 0}\left({\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0$

Na ma xưng hàm sổ$f$Tại điểm$x$Xử khả vi. Tuyến tính ánh xạ$A$Khiếu tố$f$Tại điểm$x$Xử đích vi phân, ký tác${\textrm {d}}f_{x}$.

Như quả$f$Tại điểm$x$Xử khả vi, na ma tha tại cai điểm xử nhất định liên tục, nhi thả tại cai điểm đích vi phân chỉ hữu nhất cá. Vi liễu hòa thiên đạo sổ khu biệt, đa nguyên hàm sổ đích vi phân dã khiếu tốToàn vi phânHoặcToàn đạo sổ.

Đương hàm sổ tại mỗ cá khu vực đích mỗi nhất điểm$x$Đô hữu vi phân${\textrm {d}}f_{x}$Thời, khả dĩ khảo lự tương$x$Ánh xạ đáo${\textrm {d}}f_{x}$Đích hàm sổ:

${\textrm {d}}f:x\mapsto {\textrm {d}}f_{x}$

Giá cá hàm sổ nhất bàn xưng viVi phân hàm sổ.

Tính chất

• Như quả$f$Thị tuyến tính ánh xạ, na ma tha tại nhậm ý nhất điểm đích vi phân đô đẳng vu tự thân.
• TạiRⁿ( hoặc định nghĩa liễu nhất tổ tiêu chuẩn cơ đíchNội tích không gian) lí, hàm sổ đích toàn vi phân hòa thiên đạo sổ gian đích quan hệ khả dĩ thông quáNhã khả bỉ củ trậnKhắc họa:

Thiết$f$Thị tòngRⁿXạ đáoR^mĐích hàm sổ,$f=(f_{1},f_{2},\cdots,f_{m})$,Na ma:

${\textrm {d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$.

Cụ thể lai thuyết, đối vu nhất cá cải biến lượng:$h=(h_{1},h_{2},\ldots,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}$,Vi phân trị:

${\textrm {d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}h_{j}\right)e_{i}$

• Khả vi đích tất yếu điều kiện: Như quả hàm sổ$f$Tại nhất điểm$x_{0}$Xử khả vi, na ma nhã khắc bỉ củ trận đích mỗi nhất cá nguyên tố${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})$Đô tồn tại, đãn phản chi bất chân.
• Khả vi đích sung phân điều kiện: Như quả hàm sổ$f$Tại nhất điểm$x_{0}$Đích nhã khắc bỉ củ trận đích mỗi nhất cá nguyên tố${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})$Đô tại$x_{0}$Liên tục, na ma hàm sổ tại giá điểm xử khả vi, đãn phản chi bất chân.

Lệ tử

Hàm sổ$f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)$Thị nhất cá tòng$\mathbb {R} ^{2}$Xạ đáo$\mathbb {R} ^{3}$Đích hàm sổ. Tha tại mỗ nhất điểm$(x,y)$Đích nhã khả bỉ củ trận vi:

$J_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}$

Vi phân vi:${\textrm {d}}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)$,Dã tựu thị:

${\textrm {d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}$

Vi phân dữ vi phân hình thức

Chủ điều mục:Vi phân hình thức

Như quả thuyết vi phân thị đạo sổ đích nhất chủng thôi quảng, na ma vi phân hình thức tắc thị đối vu vi phân hàm sổ đích tái thôi quảng. Vi phân hàm sổ đối mỗi cá điểm$x$Cấp xuất nhất cá cận tự miêu thuật hàm sổ tính chất đích tuyến tính ánh xạ${\textrm {d}}f_{x}$,Nhi vi phân hình thức đối khu vực$\mathbf {D}$Nội đích mỗi nhất điểm cấp xuất nhất cá tòng cai điểm đíchThiết không gianÁnh xạ đáo trị vực đíchTà đối xưng hình thức:$\omega (x):\mathbf {TD} _{x}\longrightarrow \mathbb {R}$.Tại tọa tiêu ký pháp hạ, khả dĩ tả thành:

$\omega (x)=\sum _{1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}a_{i_{1}\cdots i_{k}}(x){\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}$

Kỳ trung đích${\textrm {d}}x^{i}$Thị$i$- xạ ảnh toán tử, dã tựu thị thuyết tương nhất cá hướng lượng$v$Xạ đáo tha đích đệ$i$Cá phân lượng$v^{i}$Đích ánh xạ. Nhi${\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}$Thị mãn túc:

${\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}(v_{1},\cdots v_{k})={\begin{vmatrix}v_{1}^{i_{1}}&\cdots &v_{1}^{i_{k}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{k}^{i_{1}}&\cdots &v_{k}^{i_{k}}\end{vmatrix}}$

Đíchk- hình thức.

Đặc biệt địa, đương$f$Thị nhất cá tòngRⁿXạ đáoRĐích hàm sổ thời, khả dĩ tương${\textrm {d}}f_{x}$Tả tác:

${\textrm {d}}f_{x}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x){\textrm {d}}x^{i}$

Chính thị thượng diện công thức đích nhất cá đặc lệ.

Tham kiến

• Vi phân học
• Vi tích phân
• Đạo sổ
• Tích phân
• Thiên đạo sổ
• Ngoại vi phân
• Thái lặc công thức

Tham khảo lai nguyên

• Tề dân hữu. 《 trọng ôn vi tích phân 》. Cao đẳng giáo dục xuất bản xã. 2004.ISBN7-040-12931-0.
• Walter Rudin. 《 sổ học phân tích nguyên lý 》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976.ISBN978-0-070-54235-8.