Sổ học phân tích

Sổ học phân tích học,Dã xưngPhân tích sổ học,Phân tích họcHoặcGiải tích học( anh ngữ:Mathematical Analysis), thị phổ biến tồn tại ôĐại họcSổ học chuyên nghiệp đích nhất môn cơ sở khóa trình. Đại trí dữ phi sổ học chuyên nghiệp học sinh sở học đíchCao đẳng sổ họcKhóa trình nội dung tương cận, đãn nội dung canh gia thâm nhập, nhất bàn chỉ dĩVi tích phân học,Vô cùng cấp sổHòaGiải tích hàm sổĐẳng đích nhất bàn lý luận vi chủ yếu nội dung, tịnh bao quát tha môn đích lý luận cơ sở^{[Chú 1]}Đích nhất cá giác vi hoàn chỉnh đích sổ học học khoa.^[1]

Sổ học phân tích nghiên cứu đích nội dung bao quátThật sổ,Phục sổ,Thật hàm sổCậpPhục biến hàm sổ.Sổ học phân tích thị do vi tích phân diễn tiến nhi lai, tại vi tích phân phát triển chí hiện đại giai đoạn trung, tòng ứng dụng trung đích phương pháp tổng kết thăng hoa vi nhất loại tổng hợp tính phân tích phương pháp, thả sơ đẳng vi tích phân trung dã bao quát hứa đa sổ học phân tích đích cơ sở khái niệm cập kỹ xảo, khả dĩ nhận vi giá ta ứng dụng phương pháp thị cao đẳng vi tích phân sinh thành đích tiền đề. Sổ học phân tích đích phương thức hòa kỳ kỉ hà hữu quan, bất quá chỉ yếu nhậm nhấtSổ học không gianHữu định nghĩaLân vực(Thác phác không gian) hoặc thị hữu châm đối lưỡng vật kiện cự ly đích định nghĩa (Độ lượng không gian), tựu khả dĩ dụng sổ học phân tích đích phương thức tiến hành phân tích.

Lịch sử

TạiCổ hi tịch sổ họcĐích tảo kỳ, sổ học phân tích đích kết quả thị ẩn hàm cấp xuất đích. Bỉ như,Chi nặcĐíchLưỡng phân pháp bội luậnTựu ẩn hàm liễu vô hạn kỉ hà hòa.^[2]Tái hậu lai,Cổ hi tịch sổ học giaNhưÂu đa khắc tác tưHòaA cơ mễ đứcSử sổ học phân tích biến đắc canh gia minh xác, đãn hoàn bất thị ngận chính thức. Tha môn tại sử dụngCùng kiệt phápKhứ kế toán khu vực hòa cố thể đích diện tích hòa thể tích thời, sử dụng liễuCực hạnHòaThu liễmĐích khái niệm.^[3]TạiCổ ấn độ sổ học(Anh ngữ:Indian mathematics)Đích tảo kỳ, 12 thế kỷ đích sổ học giaBà thập già la đệ nhịCấp xuất liễuĐạo sổĐích lệ tử, hoàn sử dụng quá hiện tại sở tri đíchLa nhĩ định lý.

Lịch sử thượng, sổ học phân tích khởi nguyên vu 17 thế kỷ, bạn tùy trứNgưu đốnHòaLai bố ni tưPhát minh vi tích phân nhi sản sinh đích. Tại 17, 18 thế kỷ, sổ học phân tích đích chủ đề, nhưBiến phân pháp,Thường vi phân phương trìnhHòaThiên vi phân phương trình,Phó lập diệp phân tíchDĩ cậpMẫu hàm sổCơ bổn thượng phát triển vu ứng dụng công tác trung. Vi tích phân phương pháp thành công đích vận dụng liễuLiên tụcĐích phương pháp cận tự liễuLy tánĐích vấn đề.

Quán xuyên 18 thế kỷ,Hàm sổKhái niệm đích định nghĩa thành vi liễu sổ học gia môn tranh luận đích chủ đề. Đáo liễu 19 thế kỷ,Kha tâyThủ tiên địa thông quá dẫn nhậpKha tây tự liệtĐích khái niệm tương vi tích phân kiến lập tại nhất cá ổn cố đích la tập cơ sở chi thượng. Tha hoàn khai thủy liễuPhục phân tíchĐích hình thức lý luận.Bạc tùng,Lưu duy nhĩ,Phó lí diệpDĩ cập kỳ tha đích sổ học gia nghiên cứu liễu thiên vi phân phương trình hòaĐiều hòa phân tích.

19 thế kỷ trung diệp,Lê mạnDẫn nhập liễu tha đíchTích phânLý luận. Tại 19 thế kỷ đích tối hậu đệ tam cá niên đại hoàn sản sinh liễuNgụy nhĩ thi đặc lạp tưĐối vu phân tích đích toán thuật hóa, tha nhận vi kỉ hà luận chứng tòng bổn chất thượng thị nhất chủng ngộ đạo, tịnh đề xuất liễuCực hạn đích (ε, δ) định nghĩa(Anh ngữ:(ε, δ)-definition of limit).Thử thời, sổ học gia môn khai thủy đam tâm tha môn tại một hữu chứng minh đích tình huống hạ giả thiết liễu thật sổLiên tục thốngĐích tồn tại.Đái đức kimDụngĐái đức kim phân cátCấu tạo liễu thật sổ. Đại ước tại na cá thời hầu, đốiLê mạn tích phânTinh luyện đích chủng chủng thường thí dã dẫn hướng liễu thật sổ hàm sổ đích phi liên tụcTập hợpĐích “Đại tiểu” đích nghiên cứu.

Tại 19 thế kỷ mạt thời, dã phát hiện liễu hứa đaBệnh thái hàm sổ,Tượng thịXử xử bất liên tục hàm sổ,Xử xử liên tục đãn xử xử bất khả vi phân đíchNgụy nhĩ tư đặc lạp tư hàm sổDĩ cậpKhông gian điền sung khúc tuyếnĐẳng.Tạp mễ nhĩ · nhược nhĩ đươngPhát triển liễuNhược nhĩ đương trắc độ,NhiCách áo nhĩ cách · khang thác nhĩĐề xuất liễu hiện tại xưng viPhác tố tập hợp luậnĐích lý luận,Lặc nội - lộ dịch · bối nhĩChứng minh liễuBối nhĩ cương định lý.Tại 20 thế kỷ sơ kỳ, lợi dụngCông lý hóaĐíchTập hợp luậnTương vi tích phân tiến hành hình thức hóa,Ngang lợi · lặc bối cáchGiải quyết liễu lượng trắc vấn đề,Đại vệ · hi nhĩ bá đặcĐạo nhập liễuHi nhĩ bá đặc không gianLai cầu giảiTích phân phương trình.Phú phạm hướng lượng không gianĐích khái niệm dĩ kinh đề xuất, 1920 niên đại thờiTư đặc phàm · ba nã háchSang kiến liễuPhiếm hàm phân tích.

Trọng yếu khái niệm

Độ lượng không gian

Sổ học trung đích độ lượng không gian thị nhất cáTập hợp,Nhi tập hợp trung lưỡng cá nguyên tố đíchCự ly( khiếu tố độ lượng ) hữu thanh sở đích định nghĩa.

Đại bộ phân đích sổ học phân tích đô thị châm đối đặc định đích độ lượng không gian, tối thường kiến đích thịSổ tuyến,Phục sổ bình diện,Âu kỉ lí đắc không gian,Kỳ thaHướng lượng không gianCậpChỉnh sổ.Sổ học trung một hữu độ lượng đích phân bao quát hữuLượng trắc lý luận( miêu thuật đại tiểu nhi bất thị cự ly ) cậpPhiếm hàm phân tích( nghiên cứu bất nhu yếu cự ly khái niệm đíchThác phác hướng lượng không gian)

Độ lượng không gian thị nhất cáHữu tự đối $(M,d)$ ,Kỳ trung $M$ Thị nhất tập hợp, nhi $d$ Vi $M$ Trung đíchĐộ lượng( dã thị hàm sổ )

d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}

Sử đắc châm đối nhậm hà đích $x,y,z\in M$ ,Dĩ hạ đích tự thuật đô thành lập:

$d(x,y)\geq 0$ ( phi phụ tính )
$d(x,y)=0\,$ Nhược thả duy nhược $x=y\,$ (Bất khả phân giả đồng nhất)
$d(x,y)=d(y,x)\,$ ( đối xưng tính )
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (Tam giác bất đẳng thức)

Sổ liệt cập cực hạn

Sổ liệt thị nhất cá hữu tự đích liệt biểu, sổ liệt tượngTập hợpNhất dạng đô thị do nguyên tố tổ thành, đãn hòa tập hợp bất đồng, sổ liệt hữu thuận tự đích khái niệm, nhi hoàn toàn tương đồng đích nguyên tố khả dĩ tại sổ liệt trung xuất hiện nhất chí đa thứ. Canh chuẩn xác đích thuyết pháp, sổ liệt khả dĩ dụngĐịnh nghĩa vựcViToàn tự quan hệ Khả sổ tập( lệ nhưTự nhiên sổ) đíchHàm sổLai định nghĩa.

Sổ liệt tối trọng yếu đích tính chất thịThu liễm,Nhược giản đan đích tố phi chính thức đích định nghĩa, nhất sổ liệt nhược tồn tại cực hạn, biểu kỳ thử sổ liệt thu liễm. Nhược kế tục hạ phi chính thức đích định nghĩa, nhất cá vô cùng sổ liệta_n,Nhược tại n phi thường đại thời tiếp cận nhất sổ trịx,Tắc xưng thử sổ liệt hữu cực hạn, nhi kỳ cực hạn vix,Nhân thử cực hạn dã khả dĩ thị vi thị sổ liệt xu hướng đích sổ trị^[4].Nhân thử châm đối sổ liệta_n,Đươngn→ ∞ thời,a_nHòaxChi gian đích cự ly hội xu cận ô 0:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=x.

Phân chi lĩnh vực

Sổ học phân tích tại đương tiền bị phân vi dĩ hạ kỉ cá phân chi lĩnh vực:

Thật phân tíchThị sổ học phân tích trung, chuyên môn xử lý thật sổ cập thật trịHàm sổĐích nhất cá phân chi^[5]^[6].Giá bao quát đốiCực hạn,Vi phân,Tích phân,Mịch cấp sổHòaTrắc độĐích nghiên cứu.
Phục phân tích,Thị đối tòngPhục bình diệnĐáo phục bình diện đích phục sổ khả vi hàm sổ đích nghiên cứu, hòa phục sổ đíchGiải tích hàm sổ( hoặcÁ thuần hàm sổ) hữu mật thiết đích quan hệ. Khả dĩ ứng dụng tại hứa đa bất đồng đích sổ học lĩnh vực trung, bao quátĐại sổ kỉ hà,Sổ luận,Ứng dụng sổ họcĐẳng, dã quảng vi ứng dụng tại vật lý lĩnh vực trung, lệ nhưLưu thể lực học,Nhiệt lực học,Cơ giới công trình,Điện cơ công trìnhCậpLượng tử tràng luận.
Phiếm hàm phân tíchTham thảoHàm sổ không gianCập nhất ta hòaHướng lượng không gianTương quan đích kết cấu ( lệ nhưNội tích,Phạm sổCậpThác phác không gian) đẳng, dĩ cập tại tác dụng tại giá ta không gian trung đíchTuyến tính toán tử^[7]^[8],Dã hội giới thiệu lệ nhưBa nã hách không gianDĩ cậpHi nhĩ bá đặc không gianĐích khái niệm.
Phó lập diệp phân tíchNghiên cứu như hà tương nhất cá hàm sổ hoặc giả tín hào biểu đạt vi cơ bổn ba hình đích điệp gia, tịnh khoách triển thànhPhó lập diệp cấp sổHòaPhó lập diệp biến hoánĐích khái niệm.
Vi phân phương trìnhThị vị tri sổ vi nhất biến sổ hoặc đa biến sổ đích hàm sổ, thả phương trình hòa hàm sổ kỳĐạo sổHoặc cao giai đạo sổ hữu quan đíchPhương trình^[9]^[10]^[11].Vi phân phương trình tạiCông trình,Vật lý,Kinh tế,Sinh vật họcTrung đô thị trọng yếu đích nhất bộ phân.
Sổ trị phân tíchThị nghiên cứu sổ học phân tích trung tương quan vấn đề ( hòaLy tán sổ họcBất đồng ) trung hữu quan sổ trị cận tự ( hòaPhù hào vận toán(Anh ngữ:symbolic computation)Bất đồng )Toán phápĐích nghiên cứu.^[12].Hứa đa vấn đề đích giải tích giải thị ngận nan cầu đắc đích, sổ trị phân tích bất tại ý giải tích giải, bỉ giác trứ trọng tại khả tiếp thụ đích ngộ soa phạm vi nội trảo đáo cận tự giải.

Kỳ tha chủ đề

Biến phân phápXử lýPhiếm hàmĐích cực trị, tựu tượng nhất bàn đíchVi tích phânXử lý hàm sổ đích cực trị nhất dạng.
Trừu tượng điều hòa phân tíchXử lýPhó lập diệp cấp sổCập kỳ trừu tượng hóa đích ứng dụng.
Kỉ hà phân tíchTương kỉ hà phương pháp dụng lai nghiên cứuThiên vi phân phương trìnhCập tương thiên vi phân phương trình lý luận ứng dụng tại kỉ hà học thượng.
Khắc lợi phúc đức phân tích(Anh ngữ:Clifford analysis)Nghiên cứu tạiĐịch lạp khắc toán tửHoặc thị loại tự toán tử hạ hội tiêu thất đích khắc lợi phúc đức hàm sổ.
P tiến sổ phân tíchThị hữu quanP tiến sổĐích nghiên cứu, P tiến sổ hòa nhất bàn thật sổ cập phục sổ hữu ta vi diệu đích bất đồng.
Phi tiêu chuẩn phân tíchThị nghiên cứuSiêu thật sổCập kỳ hàm sổ, đối ôVô cùng tiểu lượngCập vô cùng đại đích hàm sổ hữuNghiêm cẩnĐích xử lý.
Khả kế toán tính phân tích(Anh ngữ:Computable analysis)Nghiên cứu khả dĩ dụngKhả kế toán tính lý luậnTiến hành đích phân tích.
Tùy cơ phân tíchThị châm đốiTùy cơ quá trìnhTiến hành đích giải tích thức phương pháp.
Tập trị phân tích(Anh ngữ:Set-valued analysis)Tập trị hàm sổ đích phân tích cập ứng dụng.
Đột phân tíchThị hữu quan đột tập hợp cập đột hàm sổ đích nghiên cứu.
Tropical phân tích(Anh ngữ:Tropical analysis)Thị tạiBán hoànTrungMax-plus đại sổ(Anh ngữ:max-plus algebra)Đích phân tích, thị một hữu gia pháp nghịch nguyên đích đại sổ kết cấu. Đương ứng dụng Tropical phân tích đích kỹ xảo thời, khả dĩ tương nhất ta phi tuyến tính đích vấn đề chuyển biến vi tuyến tính đích vấn đề^[13].

Ứng dụng

Sổ học phân tích đích kỹ xảo khả dĩ dụng tại kỳ tha dĩ hạ đích lĩnh vực:

Vật lý khoa học

Kinh điển lực học,Tương đối luậnCậpLượng tử lực họcTrung đại bộ phân đích nội dung đô thị dĩ sổ học phân tích cậpVi phân phương trìnhVi cơ sở. Kỳ trung trọng yếu đíchVi phân phương trìnhBao quátNgưu đốn đệ nhị vận động định luật,Tiết định ngạc phương trìnhCậpÁi nhân tư thản tràng phương trình.

Phiếm hàm phân tíchThị lượng tử lực học trung đích nhất cá trọng yếu chủ đề.

Tín hào xử lý

Tín hào xử lýKhả dĩ dụng tại hứa đa bất đồng tín hào đích xử lý thượng, bất luận thịThanh âm,Vô tuyến điện ba,Quang ba,Địa chấn baKỳ chíẢnh tượng,Phó lập diệp phân tíchKhả dĩ thủ xuất tín hào trung đặc định đích thành phân, khả dĩ tiến nhất bộ tương tín hào gia cường hoặc thị di trừ. Đại bộ phân đích tín hào xử lý kỹ thuật đô bao quát liễu tương tín hào tiến hành phó lập diệp chuyển hoán, chuyển hoán hậu tín hào tiến hành giản đan đích xử lý, tái tiến hành phản chuyển hoán^[14].

Kỳ tha sổ học lĩnh vực

Sổ học phân tích đích kỹ xảo khả dĩ dụng tại dĩ hạ đích sổ học lĩnh vực trung:

Giải tích sổ luận
Giải tích tổ hợp sổ học(Anh ngữ:Analytic combinatorics)
Liên tục khái suất
Tín tức lý luận trung đíchVi phân thương
Vi phân tái cục
Vi phân kỉ hà:Tương vi tích phân ứng dụng tại xưng viLưu hìnhĐích đặc thù sổ học không gian trung, lưu hình hữu đặc thù đích nội tại kết cấu, đãn hữu đan thuần đích cục bộ đặc tính.
Vi phân thác phác
Kim dung sổ học

Văn hiến

Giáo tài

《 vi tích phân học giáo trình 》( cộng tam quyển ) cách lí cao lợi · mễ cáp y lạc duy kỳ ·Phỉ hách kim ca nhĩ tìTrứ
《 sổ học phân tích nguyên lý 》( cộng lưỡng quyển ) cách lí cao lợi · mễ cáp y lạc duy kỳ · phỉ hách kim ca nhĩ tì trứ
《 sổ học phân tích giảng nghĩa 》 a hắc ba phu trứ
《 sổ học phân tích giản minh giáo trình 》Tân khâmTrứ
《 sổ học phân tích 》 ( cộng lưỡng quyển )Trác lí kỳTrứ
《 vi tích phân hòa sổ học phân tích dẫn luận 》Lý tra · khoa lãng đặcTrứ (Tham kiến Đài đạiBộ phân lão sư đích bình luận (Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán) )
《 sổ học phân tích 》Thang mỗ · mạch khắc · a ba tư thácTrứ
《 sổ học phân tích nguyên lý 》Walter Rudin( lư đinh ) trứ (Tham kiến Đài đạiBộ phân lão sư đích bình luận (Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán) )
《 đào triết hiên thật phân tích 》Đào triết hiênTrứ
《 vi tích phân nhập môn 》Tiểu bình bang ngạnTrứ
《 cao đẳng sổ học dẫn luận 》 ( cộng tứ quyển )Hoa la canhTrứ, cao đẳng giáo dục xuất bản xã
《 sổ học phân tích 》 ( cộng lưỡng sách ) hoa đông sư phạm đại học sổ học hệ
《 sổ học phân tích 》 ( cộng lưỡng sách ) âu dương quang trung, chu học viêm, kim phúc lâm, trần truyện chương trứ
《 sổ học phân tích 》 ( cộng lưỡng sách ) trần kỷ tu, ô sùng hoa, kim lộ trứ
《 sổ học phân tích tân giảng 》 ( cộng tam sách )Trương trúc sinhBiên trứ
《 sổ học phân tích giảng nghĩa 》 ( cộng tam sách ) lưu ngọc liễn, phó phái nhân trứ
《 sổ học phân tích 》 ( cộng tam sách ) chu dân cường, phương xí cần trứ
《 sổ học phân tích giảng nghĩa 》 ( cộng tam sách )Trần thiên quyềnBiên trứ
《 giản minh sổ học phân tích ( đệ nhị bản ) 》 tuân trung đan, lưu vĩnh bình, vương côn dương trứ
《 sổ học phân tích giáo trình ( đệ 3 bản ) 》 ( cộng lưỡng sách ) thường canh triết, sử tế hoài biên trứ
《 sổ học phân tích 》 ( cộng tam sách ) từ sâm lâm, tiết xuân hoa biên trứ
《 sổ học phân tích 》 mai gia cường biên trứ
《 sổ học phân tích 》 ( cộng lưỡng sách ) âu dương quang trung, diêu duẫn long, chu uyên biên trứ (Phục đán đại học xuất bản xãQuan võng đích tín tức:Thượng sách(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán),Hạ sách(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán) )
《 sổ học phân tích giáo trình 》 ( cộng lưỡng sách ) lý trung phương lệ bình biên trứ

Luận trứ hòa tập đề tập

《 cổ kim sổ học tư tưởng 》1-4 sách,Mạc lí tư · khắc lai nhânTrứ, thượng hải khoa học kỹ thuật xuất bản xã
《 cát mễ đa duy kỳ sổ học phân tích tập đề tập 》Bào lí tư · mạt phu la duy kỳ · cát mễ đa duy kỳTrứ
《 sổ học phân tích trung đích vấn đề hòa định lý 》Kiều trị · ba lợi á,G.Szego ( xá quý ) trứ
《 sổ học phân tích bát giảng 》 tân khâm trứ
《 vi tích phân ngũ giảng 》 cung thăng trứ
《 trọng ôn vi tích phân 》Tề dân hữuTrứ
《 sổ học phân tích tập đề khóa giảng nghĩa 》 ( thượng hạ lưỡng sách ) tạ huệ dân đẳng trứ
《 sổ học phân tích trung đích điển hình vấn đề dữ phương pháp 》 bùi lễ văn trứ
《 sổ học phân tích vấn đề nghiên cứu dữ bình chú 》 uông lâm đẳng trứ
《 sổ học phân tích thập di 》 triệu hiển tăng trứ
《 sổ học phân tích tập đề diễn luyện 》 chu dân cường trứ

Chú thích

^Thật sổ,Hàm sổ,Trắc độHòaCực hạnĐích cơ bổn lý luận

Tham khảo văn hiến

Dẫn dụng

^《 sổ học từ hải ( đệ nhất quyển ) 》
^Stillwell(Anh ngữ:John Stillwell).Infinite Series. 2004: 170.Vô cùng cấp sổ tại cổ hi tịch sổ học trung xuất hiện quá,…… Lệ như, hào vô nghi vấn đích, chi nặc đích lưỡng phân pháp bội luận khảo lự liễu tương 1 phân giải vi vô cùng cấp sổ:¹⁄₂+¹⁄₂²+¹⁄₂³+¹⁄₂⁴+... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 +¹⁄₄+¹⁄₄²+¹⁄₄³+... =⁴⁄₃.Giá ta lệ tử thịKỉ hà cấp sổCầu hòa đích nhất ta đặc lệ.Khuyết thiếu hoặc|title=Vi không (Bang trợ)
^( Smith, 1958 )
^Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.Courant, p. 29.
^Rudin, Walter.Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics 3rd. McGraw–Hill.ISBN978-0-07-054235-8.
^Abbott, Stephen.Understanding Analysis.Undergradutate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. 2001.ISBN0-387-95060-5.
^Rudin, W.:Functional Analysis,McGraw-Hill Science, 1991
^Conway, J. B.:A Course in Functional Analysis,2nd edition, Springer-Verlag, 1994,ISBN 978-0-387-97245-9
^E. L. Ince,Ordinary Differential Equations,Dover Publications, 1958,ISBN 978-0-486-60349-0
^Witold Hurewicz,Lectures on Ordinary Differential Equations,Dover Publications,ISBN 978-0-486-49510-1
^Evans, L. C.,Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, 1998,ISBN0-8218-0772-2
^Hildebrand, F. B.Introduction to Numerical Analysis2nd edition. McGraw-Hill. 1974.ISBN0-07-028761-9.
^THE MASLOV DEQUANTIZATION, IDEMPOTENT AND TROPICAL MATHEMATICS: A BRIEF INTRODUCTION.[2014-09-01].( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2017-11-22 ).
^Theory and application of digital signal processing Rabiner, L. R.; Gold, B. Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, Inc., 1975.

Lai nguyên

Thư tịch

《 sổ học từ hải ( đệ nhất quyển ) 》, sơn tây giáo dục xuất bản xã, trung quốc khoa học kỹ thuật xuất bản xã, đông nam đại học xuất bản xã
Smith, David E. 1958.History of Mathematics.Dover Publications.ISBN 978-0-486-20430-7.
Stillwell, John. 2004.Mathematics and its History.2nd ed. Springer Science + Business Media Inc.ISBN 978-0-387-95336-6.

Ngoại bộ liên tiếp

Tham kiến

[1] Thật sổ,Hàm sổ,Trắc độHòaCực hạnĐích cơ bổn lý luận

[gzfjt-2] 《 sổ học từ hải ( đệ nhất quyển ) 》

[Stillwell_Infinite_Series_Early_Results-3] Stillwell(Anh ngữ:John Stillwell).Infinite Series. 2004: 170.Vô cùng cấp sổ tại cổ hi tịch sổ học trung xuất hiện quá,…… Lệ như, hào vô nghi vấn đích, chi nặc đích lưỡng phân pháp bội luận khảo lự liễu tương 1 phân giải vi vô cùng cấp sổ:¹⁄₂+¹⁄₂²+¹⁄₂³+¹⁄₂⁴+... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 +¹⁄₄+¹⁄₄²+¹⁄₄³+... =⁴⁄₃.Giá ta lệ tử thịKỉ hà cấp sổCầu hòa đích nhất ta đặc lệ.Khuyết thiếu hoặc|title=Vi không (Bang trợ)

[4] ( Smith, 1958 )

[Courant_(1961),_p._29-5] Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.Courant, p. 29.

[6] Rudin, Walter.Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics 3rd. McGraw–Hill.ISBN978-0-07-054235-8.

[7] Abbott, Stephen.Understanding Analysis.Undergradutate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. 2001.ISBN0-387-95060-5.

[8] Rudin, W.:Functional Analysis,McGraw-Hill Science, 1991

[9] Conway, J. B.:A Course in Functional Analysis,2nd edition, Springer-Verlag, 1994,ISBN 978-0-387-97245-9

[10] E. L. Ince,Ordinary Differential Equations,Dover Publications, 1958,ISBN 978-0-486-60349-0

[11] Witold Hurewicz,Lectures on Ordinary Differential Equations,Dover Publications,ISBN 978-0-486-49510-1

[12] Evans, L. C.,Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, 1998,ISBN0-8218-0772-2

[13] Hildebrand, F. B.Introduction to Numerical Analysis2nd edition. McGraw-Hill. 1974.ISBN0-07-028761-9.

[14] THE MASLOV DEQUANTIZATION, IDEMPOTENT AND TROPICAL MATHEMATICS: A BRIEF INTRODUCTION.[2014-09-01].( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2017-11-22 ).

[15] Theory and application of digital signal processing Rabiner, L. R.; Gold, B. Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, Inc., 1975.

[Chú 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]