Lý thiện lan hằng đẳng thức

Lý thiện lan hằng đẳng thứcViTổ hợp sổ họcTrung đích nhất cáHằng đẳng thức,DoTrung quốcThanh đạiSổ học giaLý thiện lanVu 1859 niên tại 《 đóa tích bỉ loại 》 nhất thư trung thủ thứ đề xuất, nhân thử đắc danh.

HữuMịch cấp sổHòaKhái suấtLưỡng chủng chứng minh phương pháp.

Biểu đạt thức

${\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}$

Kỳ trung${\binom {k}{l}}={\frac {k!}{l!(k-l)!}}$

Dữ siêu kỉ hà hàm sổ đích quan hệ

Lý thiện lan hằng đẳng thứcThịTát nhĩ thư tì định lýĐích nhất cá chỉnh sổ đặc lệ.

${}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.$

$\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-k)^{(j)}(-k)^{(j)}(-n)^{(j)}}{(1)^{(j)}(-n-2k)^{(j)}j!}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}{}_{3}F_{2}(-k,-k,-n;1,-n-2k;1)$

$={\frac {(n+2k)!(1+k)_{n}(1+k)_{n}}{(2k)!n!(1)_{n}(1+2k)_{n}}}={\frac {(n+2k)!(n+k)!(n+k)!(2k)!}{(2k)!n!k!k!n!(n+2k)!}}={\binom {n+k}{k}}^{2}$

Tham kiến

• Tổ hợp sổ học
• Lý thiện lan