Chính giao đa hạng thức

Hàm sổ $W(x)$ Nhược tạiKhu gian(a,b) khả tích, thả $W(x)\geq 0$ ,Tắc khả tác vi quyền hàm sổ.

Đối ô nhất cá đa hạng thức đích tự liệt ${f_{i}}$ Hòa quyền hàm sổ $W(x)$ ,Định nghĩa nội tích ${\displaystyle:\langle f_{m},f_{n}\rangle =\int _{a}^{b}f_{m}(x)f_{n}(x)\,W(x)\,dx}$

Nhược $n\neq m$ , $\langle f_{m},f_{n}\rangle =0$ ,Giá ta đa hạng thức tắc xưng viChính giao đa hạng thức( anh ngữ:Orthogonal Polynomials).

Nhược ${f_{i}}$ Trừ liễuChính giaoChi ngoại, canh hữu $\langle f_{n},f_{n}\rangle =1$ Đích thoại, tắc xưng viQuy phạm chính giao đa hạng thức.

Lệ tử

Nhược quyền hàm sổ vi 1, khu gian vi (-1,1), $f_{0}(x)=1$ ,Đối ứng đích chính giao đa hạng thức hữu:

f_{1}(x)=x\,

f_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}\,

f_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}}\,

f_{4}(x)={\frac {35x^{4}-30x^{2}+3}{8}}\,

\vdots

Tha môn xưng viLặc nhượng đức đa hạng thức.

Đối ô nhậm ý hướng lượng không gian đích cơ,Gram-Schmidt chính giao hóaKhả dĩ cầu xuất nhất cá chính giao cơ. Đối ô đa hạng thức không gian đích cơ, chính giao hóa đích kết quả tiện thị lặc nhượng đức đa hạng thức.

Thường kiến đích chính giao đa hạng thức

Tính chất

Đệ quy phương trình

$f_{n+1}=(a_{n}+xb_{n})f_{n}-c_{n}f_{n-1}$

Kỳ trung $b_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\qquad a_{n}=b_{n}({\frac {k_{n+1}'}{k_{n+1}}}-{\frac {k_{n}'}{k_{n}}}),\qquad c_{n}=b_{n}({\frac {k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}}),\qquad h_{n}=\langle f_{n},f_{n}\rangle$

Thật căn: Sở hữu chính giao đa hạng thức hệ trung đích chính giao đa hạng thức đô hữu $n$ Cá thậtCăn,Giá ta căn thị tương dị thả tại chính giao khu gian chi nội.
Kỳ ngẫu tính:Nhược $W(x)$ Vi ngẫu hàm sổ, thả chính giao khu gian vi $(-a,a)$ ,Tắc hữu $f_{n}(-x)=(-1)^{n}f_{n}(x)$ .

Ngoại bộ liên kết

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover.ISBN 0-486-61272-4.chapter 22(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán)
Vilmos Totik (2005). "Orthogonal Polynomials".Surveys in Approximation Theory 1: 70-125.
Ioana Dumitriu, Alan. Edelman, Gene ShumanMultivariate Orthogonal Polynomials
Orthogonal polynomials(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán) (Springer Online Reference Works)