Bạch kim hán π định lý

Bạch kim hán π định lýThịNhân thứ phân tíchTrung đích trọng yếuĐịnh lý,Tại công trình, ứng dụng sổ học cập vật lý trung đô hội dụng đáo. Bạch kim hán π định lý khả dĩ thị vi thị hình thức hóa đíchLôi nặc nhân thứ phân tích pháp.Giản đan đích thuyết, bạch kim hán π định lý chỉ xuất nhược hữu nhất cá vật lý thượng hữu ý nghĩa đích phương trình, kỳ trung hữunCá vật lý lượng, nhi giá ta vật lý lượng cộng hữukCá độc lập đích nhân thứ, tắc nguyên phương trình thức khả dĩ tả thành dop=n−kCáVô nhân thứĐích tham sổπ₁,π₂,...,π_pTổ thành đích phương trình thức ( thử xử đíchkKhả dĩ dụng đặc địnhCủ trậnĐíchTrậtNhi đắc ), nhi giá ta vô nhân thứ đích tham sổ thị do nguyên phương trình thức trung đích vật lý lượng sở tổ thành.

Bạch kim hán π định lý khả dĩ thị vi thị nhất chủngVô nhân thứ hóaĐích khuông giá, kỳ trung đề cung phương pháp, tòng dĩ tri đích vật lý lượng trung trảo đáo nhất tổ vô nhân thứ đích tham sổ, thậm chí thử thời phương trình thức đích cụ thể hình thức hoàn bất thanh sở dã một hữu quan hệ.

Lệ như tại lưu thể trung vận động đích vật thể, kỳTrở lựcPhương trình trung bao quát dĩ hạ ngũ cá vật lý lượng: Tốc độu,Lưu thể mật độρ, Động niêm trệ hệ sổν,Vật thể tiệt diện đại tiểuADĩ cập trở lựcF_D

f₁(u, ρ, ν, A, F_D)= 0,

Lợi dụng bạch kim hán π định lý, khả dĩ tương trở lực phương trình giản hóa vi doTrở lực hệ sổC_DCậpLôi nặc sổR_eTổ thành đích phương trình

f₂(C_D,R_e)= 0,

Nhi giá nhị cá vật lý lượng thị do thượng thuật vật lý lượng tổ hợp nhi thành.

Lịch sử

Bạch kim hán π định lý đắc danh tự mỹ quốc vật lý học giaAi đức gia · bạch kim hán,Bất quá tối tảo thị do pháp quốc sổ học giaƯớc sắt · bá đặc lanChứng minh,Bá đặc lan tại 1878 niên thời chỉ khảo lự đáo nhất ta do điện động lực học cập nhiệt truyện đạo nhi lai đích nhất ta vấn đề, bất quá tha đích văn chương trung bao quát sở hữu hiện tại chứng minh thử định lý hội dụng đáo đích cơ bổn khái niệm, nhi thả thanh sở đích chỉ xuất thử định lý khả dĩ dụng tại vật lý hiện tượng đích kiến mô. Sử dụng thử định lý đích tương quan kỹ thuật ( nhân thứ pháp ) nhân viƯớc hàn · tư đặc lạp đặc, đệ tam đại thụy lợi nam tướcĐích cống hiến nhi quảng vi nhân tri ( tha thị đệ nhất vị tương π định lý “Ứng dụng tại thông dụng tình hình thượng” đích nhân,Tha tại nghiên cứu lưu thể thông quá quản tử đích áp hàng đích thống ngự tham sổ thời dụng đáo thử phương pháp, nhật kỳ khả năng khả dĩ truy tố đáo 1892 niên,Nhi tại 1894 niên hữu nhất cá khải phát thức đích chứng minh, tái phối hợp sổ liệt triển khai).

Khả dĩ châm đối nhậm ý đa tham sổ đích π định lý thị do A. Vaschy tại 1892 niên đề xuất,1911 niên phân biệt do A. FedermanCập nga quốc vật lý học giaDimitri RiabouchinskyĐộc lập phát hiện,1914 niên hựu do ai đức gia · bạch kim hán phát hiện.Bạch kim hán tại tha đích văn chương trung dụng phù hàoπ_iBiểu kỳ vô nhân thứ lượng, giá dã thành vi giá định lý đích danh xưng.

Định lý miêu thuật

Bạch kim hán π định lý trung, vô nhân thứ lượng đích cá sổpĐẳng ô phương trình thức trung nhân thứ củ trận đíchLinh hóa độ( nullity ), nhikThị nhân thứ củ trận đích trật. Tại thật nghiệm thượng, nhược bất đồng đích hệ thống kỳVô nhân thứ lượngĐích miêu thuật tương đồng, tắc giá nhị cá hệ thống thị đẳng hiệu đích.

Tại sổ học thượng, nhược hữu dĩ hạ tại vật lý thượng hữu ý nghĩa đích phương trình thức

$f(q_{1},q_{2},\ldots,q_{n})=0,$

Kỳ trungq_iVinCá vật lý lượng, nhi giá ta vật lý lượng dĩkCá độc lập biến sổ biểu kỳ, tắc thượng thức khả dĩ trọng tổ vi dĩ hạ đích phương trình thức

$F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots,\pi _{p})=0,$

Kỳ trungπ_iVi vô nhân thứ đích tham sổ, doq_iTổ hợp nhi thành, nhi hội hữup=n−kCá vô nhân thứ đích phương trình thức ( xưng vi Pi quần ) như hạ

$\pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},$

Kỳ trung đích chỉ sổa_iVi hữu lý sổ, đa bán tình hình hội thị chỉnh sổ.

Trọng yếu tính

Bạch kim hán π định lý đề cung phương thức khả dĩ châm đối nhất ta vật lý hiện tượng đích vật lý lượng kế toán vô nhân thứ lượng, tựu toán hoàn bất tri phương trình thức đích cụ thể hình thức dã một quan hệ. Bất quá vô nhân thứ lượng đích tuyển trạch bất thị duy nhất đích, bạch kim hán π định lý chỉ đề cung nhất cá phương thức trảo xuất nhất tổ vô nhân thứ lượng, bất biểu kỳ giá ta vô nhân thứ lượng thị “Vật lý thượng tối hữu ý nghĩa” đích.

Nhị cá hệ thống nhược hữu tương đồng đích tham sổ, tắc xưng vi “Tương tự” ( tựu toánTương tự tam giác hìnhNhất dạng, tương tự tam giác hình chi gian chỉ thị đại tiểu bất đồng nhi dĩ ). Tại phương trình thức thượng thị đẳng hiệu đích, nhân thử tưởng yếu xác nhận phương trình thức hình thức đích thật nghiệm giả khả dĩ tuyển trạch tối hợp thích, tối phương tiện đích hệ thống tiến hành. Nhi thả bạch kim hán π định lý đề cung liễu biến sổ cập cơ sở nhân thứ cá sổ chi gian đích quan hệ.

Định lý thuyết minh

Giản thuật

Hội giả thiết cơ bổn vật lý lượng cập diễn sinh vật lý lượng đích không gian hội hình thành nhất cáHữu lý sổĐíchHướng lượng không gian,Cơ bổn vật lý lượng vi đan vị hướng lượng, nhi vật lý lượng chi gian đích tương thừa biến thành hướng lượng đích gia pháp, nhi vật lý lượng đích thứ mịch biến thành hướng lượng đíchThuần lượng thừa pháp:

Dụng cơ bổn vật lý lượng cập kỳ thứ mịch biểu kỳ hiện tượng trung hữu quan đích vật lý lượng ( nhược mỗ nhất cơ bổn vật lý lượng một hữu xuất hiện tại vật lý lượng đích biểu kỳ thức trung, cơ bổn vật lý lượng đích thứ mịch tả 0 tức khả ). Lệ nhưTiêu chuẩn trọng lựcgĐích đan vị vi$D/T^{2}=D^{1}T^{-2}$( cự ly trừ dĩ thời gian bình phương ), nhân thử nhược cơ bổn vật lý lượng vi ( cự ly, thời gian ), tiêu chuẩn trọng lực hội dụng hướng lượng$(1,-2)$Biểu kỳ.

Nhân thử trảo đáo vật lý lượng khả tổ thành đích vô nhân thứ lượng, tựu biến thành tại vật lý đan vị đích hướng lượng không gian trung xử lý tuyến tính hạn chế đích vấn đề.

Nhân thứ củ trận cập vô nhân thứ lượng

Giả thiết nhất cá hệ thống, kỳ trung hữunCá hữu nhân thứ đích tham sổ, kỳ cơ bổn nhân thứ hữukCá. Tức khả định nghĩa kỳ nhân thứ củ trận, kỳ các hành vi cơ bổn nhân thứ, nhi các liệt thị hữu nhân thứ đích tham sổ: (i,j) cá nguyên tố thị đệjCá tham sổ tại đệiCá cơ bổn nhân thứ trung đích mịch thứ hạng. Củ trận khả dĩ thị vi thị tương sở hữu biến sổ tại các cơ bổn nhân thứ thượng đích mịch thứ hạng chỉnh hợp đáo nhất cá củ trận trung.

Vô nhân thứ biến sổ thị chỉ tại các cơ bổn nhân thứ thượng đích mịch thứ quân vi 0 ( hướng lượng không gian trung đích linh hướng lượng ), dã đẳng ô củ trận đíchHạch.

Căn cưTrật － linh hóa độ định lý,HữunHướng lượng ( củ trận đích liệt ) thả hữukCá tuyến tính độc lập hướng lượng đích hệ thống, kỳLinh hóa độp hội mãn túc (p=n−k), kỳ trung linh hóa độ thị ngạch ngoại nhân thứ đích cá sổ, khả dĩ tuyển vi vô nhân thứ lượng.

Vô nhân thứ lượng khả dĩ dụng nhân thứ lượng đích chỉnh sổ thứ thừa tích cập trừ pháp biểu kỳ. Tại sổ học thượng một hữu na nhất chủng vô nhân thứ lượng đích tuyển trạch thị bỉ giác tự nhiên đích, bất quá hữu ta vô nhân thứ lượng hội bỉ giác hữu vật lý ý nghĩa, lý tưởng thượng dã hội dĩ giá loại tuyển trạch vi chủ.

Lệ tử

Tốc độ

Dĩ hạ đích lệ tử ngận giản đan, đãn dĩ túc dĩ thuyết minh bạch kim hán π định lý.

Giả thiết nhất bộ xa dĩ thời tốc 100 km/h đích tốc độ hành sử, hành sử 200 km nhu yếu đa thiếu thời gian?

Vấn đề trung hữu tam cá nhân thứ: Cự lyD,Thời gianTCập tốc độV.Giá ta nhân thứ khả dĩ dụng nhị cá cơ bổn nhân thứ tổ thành: Thời gianTCập cự lyD,Nhân thử hội hữu 3 − 2 = 1 cá vô nhân thứ lượng.

Kỳ nhân thứ củ trận vi

$M={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{bmatrix}}.$

Kỳ các hành đối ứng cơ bổn nhân thứDCậpT,Nhi liệt đối ứng tam cá nhân thứD,TCậpV.Lệ như đệ tam liệt (1, −1), sở dĩ nhân thứV( tốc độ ) dụng cơ bổn nhân thứ biểu kỳ thời, vi$D^{1}T^{-1}=D/T$.

Vi liễu yếu cầu đắc vô nhân thứ đích thường sổ$\pi =D^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}}$,Nhu trảo đáo nhất cá hướng lượng$a=[a_{1},a_{2},a_{3}]$Sử đắc củ trậnMHòa hướng lượngaĐích thừa tích thị linh hướng lượng [0,0]. Tại tuyến tính đại sổ trung, hướng lượngaXưng vi củ trậnMĐíchHạch,Khả dĩ sinh thành củ trận đíchLinh không gian,Tại thử lệ trung, linh không gian thị nhất duy đích. Dĩ thượng tả đích củ trận thị viHành quy phạm hình củ trận,Nhân thử khả dĩ kế toán đắc đáo hướng lượngaNhư hạ, đỉnh đa tái gia nhất cá hòa hướng lượng tương thừa đích hệ sổ:

$a={\begin{bmatrix}-1\\1\\1\\\end{bmatrix}}.$

Nhược nhân thứ củ trận hoàn bất thị hành quy phạm hình củ trận, dã khả dĩ dụngCao tư tiêu khứ phápĐắc đáo nhân thứ củ trận đích hạch, nhân thử yếu cầu đích vô nhân thứ sổ khả dĩ tả thành hạ thức:

$\pi =D^{0}T^{0}V^{0}=D^{-1}T^{1}(D^{1}T^{-1})=D^{-1}T^{1}V^{1}=TV/D$.

Căn cư nhân thứ phân tích, khả dĩ đắc đáo hữu quan thượng thuật tam cá vật lý lượng chi gian đích quan hệ thức:

$f(\pi )=0,$

Khả dĩ tả thành:

$T={\frac {CD}{V}},$

Kỳ trungCThị sử$C=f^{-1}(0)$Thành lập đích thường sổ. Nhược cương cương đích hướng lượngaHữu tái gia thượng hệ sổ, sở cầu đắc đíchCDã hội tùy chi bất đồng, thị nguyên laiCTrị đích thừa mịch.

Giá tam cá biến sổ chi gian đích quan hệ kỳ thật thị$D=VT$,Nhân thử thật tế đích vô nhân thứ lượng phương trình ($f(\pi )=0$) vi:

$f(\pi )=\pi -1=VT/D-1=0.$

Hoán cú thoại thuyếtCChỉ hữu nhất cá trị, tựu thị 1, bất quá giá cá tư tấn bất thị kháo nhân thứ phân tích sở năng đắc đáo đích.

Đan bãi

Đệ nhị cá vấn đề thị yếu xác nhận đan bãi tại tiểu phúc độ chấn động tình hình hạ đích chu kỳT,Giả thiết chu kỳ thị trường độL,Chất lượngMDĩ cập địa biểuTrọng lực gia tốc độgĐích hàm sổ. Kỳ mô hình như hạ

$f(T,M,L,g)=0.\,$

( thử xử tả thành tứ cá vật lý lượng chi gian đích quan hệ, bất thị trực tiếp tương chu kỳTTả thành lánhM,LCậpgĐích hàm sổ )

Tại thượng thức trung hữu tam cá cơ bổn vật lý lượng: Thời giant,Chất lượngmDĩ cập trường độl,Dĩ cập tứ cá hữu nhân thứ đích vật chất lượng. Nhân thử chỉ hội hữu 4 − 3 = 1 cá vô nhân thứ lượng, xưng vi π, mô hình khả dĩ cải tả vi

$f(\pi )=0,$

Kỳ π vi

$\pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}$

Nhia₁,...,a₄Vi đãi xác định đích sổ trị

Thượng thuật vật lý lượng đích nhân thứ vi:

$T=t,M=m,L=\ell,g=\ell /t^{2}.$

Nhân thứ củ trận vi:

$M={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.$

( hành biểu kỳ cơ bổn nhân thứt,mCậpl,Nhi liệt biểu kỳ vật lý lượngT,M,LHòag.Lệ như đệ tứ hành vi (−2, 0, 1) biểu kỳ biến sổgĐích nhân thứ vi$t^{-2}m^{0}\ell ^{1}$)

Kế toán đích mục đích thị yếu trảo hạch hướng lượnga= [a₁,a₂,a₃,a₄] sử đắc củ trậnMHòa hướng lượngaĐích thừa tích vi linh hướng lượng [0,0,0]. Thượng thuật đích nhân thứ củ trận vi liệt quy phạm hình củ trận, nhân thử khả dĩ đắc đáo hạch hướng lượngaNhư hạ:

$a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.$

Nhân thử vô nhân thứ lượng vi:

${\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.$

Nhược chỉ khảo lự cơ bổn nhân thứ:

$\pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}(\ell /t^{2})^{1}=1,$

Dã thị vô nhân thứ lượng.

Giá cá lệ tử bỉ giác giản đan, nhân vi tứ cá vật lý lượng trung hữu tam cá thị cơ bổn đan vị, nhân thử tối hậu nhất cá (g) đích đan vị khả dĩ tòng tiền tam cá đan vị chuyển hoán nhi lai. Chú ý nhượca₂Bất vi linh, một hữu kỳ tha đích phương thức khả dĩ tươngMĐích đan vị tiêu khứ, nhân thửa₂Nhu vi linh. Nhân thứ phân tích duẫn hứa đan bãi đích chu kỳ bất thị chất lượng đích hàm sổ. ( tại chất lượng, thời gian cập cự ly tam duy tổ thành đích tam duy không gian trung, chất lượng đích hướng lượng hòa kỳ tha tam cá đan vị đích nhân thứ hướng lượng thị tuyến tính độc lập đích, nhân thử nhược bất khảo lự bỉ lệ đích hệ sổ, chỉ hữu${\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}$Thị duy nhất khả tổ thành vô nhân thứ tham sổ đích phi hiển nhiên giải. )

Nhân thử mô hình khả dĩ dụng hạ thức biểu kỳ:

$f(gT^{2}/L)=0.\$

Giả thiếtfChỉ hữu hữu hạn cá linh điểm, tức khả lệnhgT²/L=C_n,Kỳ trungC_nVi đệnCá linh điểm. Nhược chỉ hữu nhất cá linh điểm, tắcgT²/L=C.Nhu yếu canh đa vật lý đích khái niệm hoặc thị thật nghiệm tài năng xác nhận thử hàm sổ chỉ hữu nhất cá linh điểm, nhân thửC= 4π².

Nhược đan bãi đích chấn phúc giác đại, phân tích hội bỉ giác phục tạp, nhu yếu đạo nhập ngạch ngoại đích nhân thứ biến sổ ( tối đại bãi động giác độ ). Thượng thuật đích phân tích tạiBãi động giác độ tiếp cận linhThời hữu ngận hảo đích cận tự hiệu quả.

Diên thân duyệt độc

• Hanche-Olsen, Harald.Buckingham's pi-theorem(PDF).NTNU. 2004[April 9,2007].( nguyên thủy nội dungTồn đương(PDF)Vu 2008-09-20 ).
• Hart, George W.Multidimensional Analysis: Algebras and Systems for Science and Engineering.Springer-Verlag. March 1, 1995[2016-08-17].ISBN0-387-94417-6.( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2021-01-26 ).
• Kline, Stephen J. Similitude and Approximation Theory. Springer-Verlag, New York. 1986.ISBN0-387-16518-5.
• Wan, Frederic Y.M.Mathematical Models and their Analysis.Harper & Row Publishers, New York. 1989.ISBN0-06-046902-1.
• Vignaux, G.A.Dimensional analysis in data modelling(PDF).Victoria University of Wellington. 1991[December 15,2005].( nguyên thủy nội dungTồn đương(PDF)Vu 2007-07-20 ).
• Mike Sheppard, 2007Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán)
• Gibbings, J.C. Dimensional Analysis. Springer. 2011.ISBN1-84996-316-9.
• Vaschy, A. Sur les lois de similitude en physique. Annales Télégraphiques. 1892,19:25–28.
• Buckingham, E.On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations.Physical Review. 1914,4(4): 345–376.Bibcode:1914PhRv....4..345B.doi:10.1103/PhysRev.4.345.
• Buckingham, E. The principle of similitude. Nature. 1915,96(2406): 396–397.Bibcode:1915Natur..96..396B.doi:10.1038/096396d0.
• Buckingham, E. Model experiments and the forms of empirical equations. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. 1915,37:263–296.
• Taylor, Sir G. The Formation of a Blast Wave by a Very Intense Explosion. I. Theoretical Discussion. Proceedings of the Royal Society A. 1950,201(1065): 159–174.Bibcode:1950RSPSA.201..159T.doi:10.1098/rspa.1950.0049.
• Taylor, Sir G.The Formation of a Blast Wave by a Very Intense Explosion. II. The Atomic Explosion of 1945.Proceedings of the Royal Society A. 1950,201(1065): 175–186[2016-08-17].Bibcode:1950RSPSA.201..175T.doi:10.1098/rspa.1950.0050.( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2018-06-02 ).

Ngoại bộ liên kết

• Some reviews and original sources on the history of pi theorem and the theory of similarity (in Russian)(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán)

Tham kiến

• Trùng kích ba
• Nhân thứ phân tích
• Vô nhân thứ
• Tự nhiên đan vị
• Vô nhân thứ hóa
• Tương tự ( mô hình )
• Lôi nặc nhân thứ phân tích pháp