Củ trận

“m-by-nmatrix” đích các địa thường dụng danh xưng
Trung quốc đại lục	$m$Hành$n$Liệt củ trận
Đài loan	$m$Liệt$n$Hành củ trận

“Hoành bài ( row )” đích các địa thường dụng danh xưng
Trung quốc đại lục	Hành
Đài loan	Liệt

“Túng bài ( column )” đích các địa thường dụng danh xưng
Trung quốc đại lục	Liệt
Đài loan	Hành

Sổ họcThượng, nhất cá$m\times n$ĐíchCủ trậnThị nhất cá hữu$m$Hành ( row )$n$Liệt ( column ) nguyên tố đíchCủ hìnhTrận liệt. Củ trận lí đích nguyên tố khả dĩ thịSổ tựHoặcPhù hàoThậm chí thịHàm sổ.

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2j}&\dots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3j}&\dots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}&\dots &a_{ij}&\dots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

Đại tiểu tương đồng ( hành sổ liệt sổ đô tương đồng ) đích củ trận chi gian khả dĩ tương hỗ gia giảm, cụ thể thị đối mỗi cá vị trí thượng đích nguyên tố tố gia giảm pháp.Củ trận thừa phápTắc giác vi phục tạp. Lưỡng cá củ trận khả dĩ tương thừa,Đương thả cận đươngĐệ nhất cá củ trận đích liệt sổ đẳng vu đệ nhị cá củ trận đích hành sổ.Củ trận thừa phápMãn túcKết hợp luậtHòaPhân phối luật,Đãn bất mãn túcGiao hoán luật.

Củ trận đích nhất cá trọng yếu dụng đồ thị giảiTuyến tính phương trình tổ.Tuyến tính phương trình tổ trung vị tri lượng đíchHệ sổKhả dĩ bài thành nhất cá củ trận, gia thượng thường sổ hạng, tắc xưng vi tăng quảng củ trận. Lánh nhất cá trọng yếu dụng đồ thị biểu kỳTuyến tính biến hoán,Tức thị chư như$f(x)=4x$Chi loại đíchTuyến tính hàm sổĐích thôi quảng. Thiết địnhCơ đểHậu, mỗ cá hướng lượng$\mathrm {v}$Khả dĩ biểu kỳ vi$m\times 1$Đích củ trận, nhi tuyến tính biến hoán$f$Khả dĩ biểu kỳ vi liệt sổ vi$m$Đích củ trận$A$,Sử đắc kinh quá biến hoán hậu đắc đáo đích hướng lượng$f(\mathrm {v} )$Khả dĩ biểu kỳ thành$A\mathrm {v}$Đích hình thức. Củ trận đíchĐặc chinh trịHòaĐặc chinh hướng lượngKhả dĩ yết kỳ tuyến tính biến hoán đích thâm tằng đặc tính.

Củ trận thị cao đẳng đại sổ học trung đích thường kiến công cụ, dã thường kiến vuThống kếPhân tích đẳngỨng dụng sổ họcHọc khoa trung. TạiVật lý họcTrung, củ trận tạiLực học,Điện lộ học,Quang họcHòaLượng tử vật lýĐẳng lĩnh vực trung đô hữu ứng dụng;Kế toán cơ khoa họcTrung,Tam duy động họaChế tác dã nhu yếu dụng đáo củ trận. Củ trận đích vận toán thịSổ trị phân tíchLĩnh vực đích trọng yếu vấn đề. TươngCủ trận phân giảiVi giản đan củ trận đích tổ hợp khả dĩ tại lý luận hòa thật tế ứng dụng thượng giản hóa củ trận đích vận toán. Đối nhất ta ứng dụng quảng phiếm nhi hình thức đặc thù đích củ trận, lệ nhưHi sơ củ trậnHòaChuẩn đối giác củ trận,Hữu đặc định đích khoái tốc vận toánToán pháp.Quan vu củ trận tương quan lý luận đích phát triển hòa ứng dụng, thỉnh tham khảoCủ trận lý luận.TạiThiên thể vật lý,Lượng tử lực họcĐẳng lĩnh vực, dã hội xuất hiện vô cùng duy đích củ trận, thị củ trận đích nhất chủng thôi quảng.

Từ nguyên

Trung văn trung củ trận đích khái niệm tối tảo kiến vu 1922 niên. 1922 niên,Bắc kinh sư phạm đại học phụ chúc trung họcSổ học lão sưTrình đình hiTại nhất thiên giới thiệu văn chương trung tương củ trận dịch vi “Túng hoành trận”. 1925 niên, tại khoa học danh từ thẩm tra hội toán học danh từ thẩm tra tổ khan đăng ô 《 khoa học 》 đệ thập quyển đệ tứ kỳ đích thẩm định danh từ biểu trung, củ trận bị phiên dịch vi “Củ trận thức”, phương khối củ trận phiên dịch vi “Phương trận thức”, nhi các loại củ trận như “Chính giao củ trận”, “Bạn tùy củ trận” trung đích “Củ trận” tắc bị phiên dịch vi “Phương trận”. 1935 niên, trung quốc sổ học hội thẩm tra hậu, trung hoa dân quốc giáo dục bộ thẩm định đích 《 sổ học danh từ 》 ( tịnh “Thông lệnh toàn quốc các viện giáo nhất luật tuân dụng, dĩ chiêu hoa nhất” ) trung, “Củ trận” tác vi dịch danh thủ thứ xuất hiện. 1938 niên, tào huệ quần tại tiếp thụ khoa học danh từ thẩm tra hội ủy thác tựu sổ học danh từ gia dĩ giáo đính đích 《 toán học danh từ hối biên 》 trung, nhận vi ứng đương đích dịch danh thị “Trường phương trận”. 1949 niên trung hoa nhân dân cộng hòa quốc thành lập hậu biên đính đích 《 sổ học danh từ 》 trung, tắc tương dịch danh định vi “( củ ) trận”. 1993 niên,Trung quốc tự nhiên khoa học danh từ thẩm định ủy viên hộiCông bố đích 《 sổ học danh từ 》 trung, “Củ trận” bị định vi chính thức dịch danh, tịnh duyên dụng chí kim.

Phát triển

Tác vi giải quyết tuyến tính phương trình đích công cụ, củ trận dã hữu bất đoản đích lịch sử. Thành thư tối trì tạiĐông hánTiền kỳ đích 《Cửu chương toán thuật》 trung, dĩ kinh xuất hiện quá dĩ củ trận hình thức biểu kỳ tuyến tính phương trình tổ hệ sổ dĩ giải phương trình đích đồ lệ, khả thị vi củ trận đích sồ hình.Củ trận chính thức tác vi sổ học trung đích nghiên cứu đối tượng xuất hiện, tắc thị tạiHành liệt thứcĐích nghiên cứu phát triển khởi lai hậu. La tập thượng, củ trận đích khái niệm tiên vu hành liệt thức, đãn tại lịch sử thượng tắc kháp hảo tương phản. Nhật bổn sổ học giaQuan hiếu hòa( 1683 niên ) dữ vi tích phân đích phát hiện giả chi nhấtQua đặc phất lí đức · uy liêm · lai bố ni tì( 1693 niên ) cận hồ đồng thời độc lập kiến lập liễuHành liệt thức luận.Kỳ hậu hành liệt thức tác vi giải tuyến tính phương trình tổ đích công cụ trục bộ phát triển. 1750 niên,Gia bố lí nhĩ · khắc lạp mặcPhát hiện liễuKhắc lai mỗ pháp tắc.

A sắt · khải lai bị nhận vi thị củ trận luận đích điện cơ nhân

Tiến nhập thập cửu thế kỷ hậu, hành liệt thức đích nghiên cứu tiến nhất bộ phát triển, củ trận đích khái niệm dã ứng vận nhi sinh.Áo cổ tư đinh · lộ dịch · kha tâyThị tối tảo tương hành liệt thức bài thành phương trận tịnh tương kỳ nguyên tố dụng song trọng hạ tiêu biểu kỳ đích sổ học gia. Tha hoàn tại 1829 niên tựu tại hành liệt thức đích khuông giá trung chứng minh liễu thật đối xưng củ trận đặc chinh căn vi thật sổ đích kết luận.Kỳ hậu,Chiêm mỗ tư · ước sắt phu · tây nhĩ duy tư đặcChú ý đáo, tại tác vi hành liệt thức đích kế toán hình thức dĩ ngoại, tương sổ dĩ hành hòa liệt đích hình thức tác xuất đích củ hình bài liệt bổn thân dã thị trị đắc nghiên cứu đích. Tại tha hi vọng dẫn dụng sổ đích củ hình trận liệt nhi hựu bất năng dụng hành liệt thức lai hình dung đích thời hầu, tựu dụng “matrix” nhất từ lai hình dung.Nhi tại thử chi tiền, sổ học gia dĩ kinh khai thủy tương tăng quảng củ trận tác vi độc lập đích đối tượng dẫn dụng liễu. Tây nhĩ duy tư đặc sử dụng “matrix” nhất từ thị nhân vi tha hi vọng thảo luận hành liệt thức đíchTử thức,Tức tương củ trận đích mỗ kỉ hành hòa mỗ kỉ liệt đích cộng đồng nguyên tố thủ xuất lai bài thành đích củ trận đích hành liệt thức, sở dĩ thật tế thượng “matrix” bị tha khán tố thị sinh thành các chủng tử thức đích “Mẫu thể”:

Ngã tại tiên tiền đích văn chương trung tương củ hình bài bố đích tự liệt xưng vi “Matrix”, cái nhân tòng trung khả dĩ sản sinh xuất các chủng bất đồng đích hành liệt thức, tựu như do đồng nhất cá mẫu thể đích tử cung trung dựng dục xuất lai nhất dạng.

A sắt · khải laiBị công nhận vi củ trận luận đích điện cơ nhân.Tha khai thủy tương củ trận tác vi độc lập đíchSổ học đối tượngNghiên cứu thời, hứa đa dữ củ trận hữu quan đích tính chất dĩ kinh tại hành liệt thức đích nghiên cứu trung bị phát hiện, giá dã sử đắc khải lai nhận vi củ trận đích dẫn tiến thị thập phân tự nhiên đích. Tha thuyết: “Ngã quyết nhiên bất thị thông quáTứ nguyên sổNhi hoạch đắc củ trận khái niệm đích; tha hoặc thị trực tiếp tòng hành liệt thức đích khái niệm nhi lai, hoặc thị tác vi nhất cá biểu đạt tuyến tính phương trình tổ đích phương tiện phương pháp nhi lai đích.”Tha tòng 1858 niên khai thủy, phát biểu liễu 《 củ trận luận đích nghiên cứu báo cáo 》 đẳng nhất hệ liệt quan vu củ trận đích chuyên môn luận văn,Nghiên cứu liễu củ trận đích vận toán luật, củ trận đích nghịch dĩ cập chuyển trí hòa đặc chinh đa hạng thức phương trình. Khải lai hoàn đề xuất liễu khải lai - cáp mật nhĩ đốn định lý, tịnh nghiệm chứng liễu 3×3 củ trận đích tình huống, hựu thuyết tiến nhất bộ đích chứng minh thị bất tất yếu đích. Cáp mật nhĩ đốn chứng minh liễu 4×4 củ trận đích tình huống, nhi nhất bàn tình huống hạ đích chứng minh thị phất la bối ni ô tư vu 1898 niên cấp xuất đích.

Thử hậu canh đa sổ học gia khai thủy đối củ trận tiến hành nghiên cứu. Ai nhĩ mễ đặc chứng minh liễu như quả củ trận đẳng vu kỳ phục cộng ách chuyển trí, tắc đặc chinh căn vi thật sổ. Giá chủng củ trận hậu lai bị xưng vi ai nhĩ mễ đặc củ trận.Phất la bối ni ô tư đối củ trận đích đặc chinh phương trình, đặc chinh căn, củ trận đích trật, chính giao củ trận, củ trận phương trình đẳng phương diện tố liễu đại lượng công tác. 1878 niên, tại dẫn tiến liễu bất biến nhân tử, sơ đẳng nhân tử đẳng khái niệm đích đồng thời, phất la bối ni ô tư cấp xuất liễu chính giao củ trận,Tương tự củ trậnHòaHợp đồng củ trậnĐích khái niệm. Đồng niên, tha tham thảo liễu củ trận đích tối tiểu đa hạng thức ( tối tiểu phương trình ) vấn đề. 1894 niên đích luận văn trung, tha thảo luận liễu củ trận lý luận hòa tứ nguyên sổ lý luận đích quan hệ. 1896 niên, tha cấp xuất liễu khải lai - cáp mật nhĩ đốn định lý đích hoàn chỉnh chứng minh.Củ trận lý luận tại 19 thế kỷ duyên trứ lưỡng cá phương hướng phát triển, phân biệt thị tác vi trừu tượng đại sổ kết cấu hòa tác vi đại sổ công cụ miêu thuật kỉ hà không gian đích tuyến tính biến hoán. Củ trận lý luận vi quần luận hòa bất biến lượng lý luận đích phát triển.

Vô hạn duy củ trận đích nghiên cứu thủy vu 1884 niên.Bàng gia laiTại lưỡng thiên bất nghiêm cẩn địa sử dụng liễu vô hạn duy củ trận hòa hành liệt thức lý luận đích văn chương hậu khai thủy liễu đối giá nhất phương diện đích chuyên môn nghiên cứu.1906 niên, hi nhĩ bá đặc dẫn nhập vô hạn nhị thứ hình ( tương đương vu vô hạn duy củ trận ) đối tích phân phương trình tiến hành nghiên cứu, cực đại địa xúc tiến liễu vô hạn duy củ trận đích nghiên cứu. Tại thử cơ sở thượng, thi mật tì, hách lâm cách hòa đặc phổ lợi tì phát triển xuất toán tử lý luận, nhi vô hạn duy củ trận thành vi liễu nghiên cứu hàm sổ không gian toán tử đích hữu lực công cụ.

Chính thức định nghĩa

Củ trận đích định nghĩa—$S$Thị nhất cá tập hợp, naHàm sổ$\mathbf {A}:\{1,\,2,\,\ldots,\,m\}\times \{1,\,2,\,\ldots,\,n\}\to S$Tựu hội bị xưng vi định nghĩa tại$S$Thượng đích$m\times n$Củ trận

Trực quan thượng tựu thị dụng lưỡng cá sổ mã khứ tiêu ký nhất đôi sổ học thật thể ( như sổ tự, hàm sổ ), thật tế thượng thị hữu hạnTự liệtĐích nhất chủng thôi quảng.

$\mathbf {A} (i,\,j)$Bị nật xưng vi củ trận$\mathbf {A}$Lí đíchNguyên tố,Thông thường giản ký vi$\mathbf {A} _{i,j}$,$\mathbf {A} _{ij}$Hoặc$\mathbf {A} _{[i,j]}$.Trừ thử chi ngoại dã hội dụng tiểu tả tự mẫu$\mathrm {a} _{ij}$Biểu kỳ nguyên tố, lai cân củ trận$\mathbf {A}$Bổn thân tố khu biệt. Đãn bất tri$\mathbf {A}$Đích cụ thể hình thức khước tưởng cường điều$\mathrm {a} _{ij}$Vi$\mathbf {A}$Đích nguyên tố đích thoại, khả dĩ$\mathbf {A} =[\mathrm {a} _{ij}]_{m\times n}$Hoặc$\mathbf {A} =[\mathrm {a} _{i,\,j}]_{m\times n}$Biểu kỳ.

Như quả biểu đạt thức$f(i,\,j)=T(i,j)$( nghiêm cách lai thuyết thịHợp thức công thức,Kỳ trung$T$Vi nhất cá bao hàm biến sổ$T(i,\,j)$ĐíchHạng) khả dĩ duy nhất quyết định nhất cá củ trận$\mathbf {A}$,Na hội tương tha ký thành$\mathbf {A} =[T(i,\,j)]_{m\times n}$.Như:

$\mathbf {A}:\{1,\,2,\,\ldots,\,m\}\times \{1,\,2,\,\ldots,\,n\}\to \mathbb {N}$Thả$\mathbf {A} (i,\,j)=i+j$

Tựu khả dĩ biểu đạt vi$\mathbf {A} =[i+j]_{m\times n}$.

Căn cưCông lý hóa tập hợp luận,Khả dĩ định nghĩa nhất cá hàm sổ đích tập hợp$S^{m\times n}$,Tha nang quát sở hữu định nghĩa tại$S$Thượng đích$m\times n$Củ trận, dã tựu thị thuyết:

$S^{m\times n}:=\left\{f\,|\,f:\{1,\,2,\,\ldots,\,m\}\times \{1,\,2,\,\ldots,\,n\}\to S\right\}$

Hành dữ liệt

Dĩ hạ đích$3\times 2$Củ trận:

$\left\{\left((1,\,1),\,a\right),\,\left((1,\,2),\,b\right),\,\left((2,\,1),\,c\right),\,\left((2,\,2),\,d\right),\,\left((2,\,2),\,e\right),\,\left((2,\,2),\,f\right)\right\}$

Nhất bàn hội như hạ bài liệt thành vi củ hình lai biểu kỳ:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}$

Anh văn tương hoành hướng đích nguyên tố tổ thống xưng vi “row”,Túng hướng thống xưng vi “column”;Đãn lưỡng ngạn đối thử khước dĩ bất đồng đích xưng hô; tạiTrung quốc đại lục,Hoành hướng đích nguyên tố tổ xưng vi “Hành”, túng hướng xưng vi “Liệt”, nhi tạiĐài loanTắc tương phản, hoành hướng xưng vi “Liệt”, túng hướng xưng vi “Hành”.

Hành sổ thị 1 hoặc liệt sổ thị 1 đích củ trận hựu khả phân biệt xưng viHành hướng lượngHòaLiệt hướng lượng,Tại hữu hạnDuyĐích tình huống hạ,Hướng lượngKhả dụng kỳ phân lượng biểu kỳ thành hành sổ hoặc liệt sổ thị 1 đích củ trận.

Phạm lệ

$\mathbf {B} =\left[i+2j\right]_{2\times 3}$Thị củ trận

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}3&5&7\\4&6&8\end{bmatrix}}$

Đích giản tả. Yếu chú ý đích thị, kế toán cơ biên trình trung, do vu sổ tổ đích thủ hạng thị đệ 0 hạng, cố biên trình giả khả năng hội tương đệ 1 hành ／ liệt xưng vi đệ 0 hành ／ liệt, tòng nhi đối củ trận đích tả pháp sản sinh ảnh hưởng, bỉ như củ trận$\mathbf {B}$Tựu yếu cải tả thành$\mathbf {B} =\left[i+2j+3\right]_{2\times 3}$.

Củ trận đích nguyên tố khả dĩ thị sổ tự, phù hào hoặc sổ học biểu đạt thức. Nhất bàn vi liễu chi viện củ trận đích vận toán, củ trận đích nguyên tố chi gian ứng đương năng tố gia giảm pháp hòa thừa pháp, sở dĩ thị mỗ cáHoànLí đích nguyên tố. Tối thường kiến đích thị nguyên tố chúc vuThật sổVực hoặcPhục sổVực đích củ trận, giản xưng vi thật củ trận hòa phục củ trận. Canh nhất bàn đích tình huống hạ, củ trận đích nguyên tố khả dĩ thị do nhất cá hoàn trung đích nguyên tố bài thành. Cấp định nhất cá hoàn$\mathbf {R}$,Sở hữu do$\mathbf {R}$Trung nguyên tố bài thành đích$m\times n$Củ trận đíchTập hợpTả tác${\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )$Hoặc${\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbf {R} )$.Nhược$m=n$,Tắc thông thường ký dĩ${\mathcal {M}}(m,\mathbf {R} )$Hoặc${\mathcal {M}}_{m}(\mathbf {R} )$,Xưng kỳ vi$n$Duy củ trận hoặcPhương trận.

Củ trận đích cơ bổn vận toán

Chủ điều mục:Củ trận gia pháp,Chuyển trí củ trậnHòaSơ đẳng củ trận

Củ trận đích tối cơ bổn vận toán bao quát củ trận gia ( giảm ) pháp, sổ thừa hòa chuyển trí vận toán. Bị xưng vi “Củ trận gia pháp”, “Sổ thừa” hòa “Chuyển trí” đích vận toán bất chỉ nhất chủng,Kỳ trung tối cơ bổn tối thường dụng đích định nghĩa như hạ:

Vận toán	Định nghĩa	Lệ tử
Gia ( giảm ) pháp	$m\times n$Củ trận$\mathbf {A}$Hòa$\mathbf {B}$Đích hòa ( soa ):$\mathbf {A} \pm \mathbf {B}$Vi nhất cá$m\times n$Củ trận, kỳ trung mỗi cá nguyên tố thị$\mathbf {A}$Hòa$\mathbf {B}$Tương ứng nguyên tố đích hòa ( soa ), $(\mathbf {A} \pm \mathbf {B} )_{i,j}=\mathbf {A} _{i,j}\pm \mathbf {B} _{i,j}$, Kỳ trung$1\leq i\leq m,1\leq j\leq n$	${\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}$
Sổ thừa	Tiêu lượng$c$Dữ củ trận$\mathbf {A}$Đích sổ thừa:$c\mathbf {A}$Đích mỗi cá nguyên tố thị$\mathbf {A}$Đích tương ứng nguyên tố dữ$c$Đích thừa tích, $(c\mathbf {A} )_{i,j}=c\cdot \mathbf {A} _{i,j}$	$2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot (-3)\\2\cdot 4&2\cdot (-2)&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$
Chuyển trí	$m\times n$Củ trận$\mathbf {A}$Đích chuyển trí thị nhất cá$n\times m$Đích củ trận, ký vi$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$( hữu ta thư trung dã ký vi$\mathbf {A} ^{\mathrm {tr} }$Hoặc$^{\mathrm {t} }\mathbf {A}$,$\mathbf {A} '$), kỳ trung đích đệ$i$Cá hành hướng lượng thị nguyên củ trận$\mathbf {A}$Đích đệ$i$Cá liệt hướng lượng; hoặc giả thuyết, chuyển trí củ trận$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$Đệ$i$Hành đệ$j$Liệt đích nguyên tố thị nguyên củ trận$\mathbf {A}$Đệ$j$Hành đệ$i$Liệt đích nguyên tố, $(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })_{i,j}=\mathbf {A} _{j,i}$	${\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{T}={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}$

Củ trận đích gia pháp vận toán mãn túc giao hoán luật:$\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$.Củ trận đích chuyển trí hòa sổ thừa vận toán đối gia pháp mãn túc phân phối luật:

$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }$

$c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B}$

Củ trận gia pháp hòa sổ thừa lưỡng chủng vận toán sử đắc${\mathcal {M}}(m,n,\mathbb {R} )$Thành vi nhất cá$mn$Duy đích thật sổTuyến tính không gian.Nhi chuyển trí hòa sổ thừa vận toán mãn túc loại tự vu kết hợp luật đích quy luật:

$c(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=c(\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }$

Củ trận dã hữu loại tự hành liệt thức đíchSơ đẳng biến hoán,Tức đối củ trận đích mỗ ta hành hòa mỗ ta liệt tiến hành tam loại thao tác: Giao hoán lưỡng hành ／ liệt, tương nhất hành ／ liệt đích mỗi cá nguyên tố đô thừa dĩ nhất cá cố định đích lượng, dĩ cập tương nhất hành ／ liệt đích mỗi cá nguyên tố thừa dĩ nhất cá cố định đích lượng chi hậu gia đáo lánh nhất hành ／ liệt đích tương ứng nguyên tố thượng. Giá ta thao tác tại cầu kỳNghịch củ trậnThời hữu dụng.

Củ trận thừa pháp

Chủ điều mục:Củ trận thừa pháp

Củ trậnAHòaBTương thừa đắc đáoABĐích kỳ ý đồ

Lưỡng cá củ trận đích thừa pháp cận đương đệ nhất cá củ trận$\mathbf {A}$Đích liệt sổ (column) hòa lánh nhất cá củ trận$\mathbf {B}$Đích hành sổ (row) tương đẳng thời tài năng định nghĩa. Như$\mathbf {A}$Thị$m\times n$Củ trận hòa$\mathbf {B}$Thị$n\times p$Củ trận, tha môn đíchThừa tích$\mathbf {AB}$Thị nhất cá$m\times p$Củ trận, tha đích nhất cá nguyên tố

$[\mathbf {AB} ]_{i,j}=A_{i,1}B_{1,j}+A_{i,2}B_{2,j}+\cdots +A_{i,n}B_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}A_{i,r}B_{r,j}$

Kỳ trung$1\leq i\leq m,\ 1\leq j\leq p'$'.

Lệ như

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}$

Củ trận đích thừa pháp mãn túc kết hợp luật hòa đối củ trận gia pháp đích phân phối luật ( tả phân phối luật hòa hữu phân phối luật ):

• Kết hợp luật:$(\mathbf {AB} )\mathbf {C} =\mathbf {A} (\mathbf {BC} )$
• Tả phân phối luật:$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {C} =\mathbf {AC} +\mathbf {BC}$
• Hữu phân phối luật:$\mathbf {C} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathbf {CA} +\mathbf {CB}$

Củ trận đích thừa pháp dữ sổ thừa vận toán chi gian dã mãn túc loại tự kết hợp luật đích quy luật; dữ chuyển trí chi gian tắc mãn túc đảo trí đích phân phối luật.

$c(\mathbf {AB} )=(c\mathbf {A} )\mathbf {B} =\mathbf {A} (c\mathbf {B} )$

$(\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$

Củ trận thừa phápBất mãn túcGiao hoán luật.Nhất bàn lai thuyết, củ trận$\mathbf {A}$Cập$\mathbf {B}$Đích thừa tích$\mathbf {AB}$Tồn tại, đãn$\mathbf {BA}$Bất nhất định tồn tại, tức sử tồn tại, đại đa sổ thời hầu$\mathbf {AB} \neq \mathbf {BA}$.Bỉ như hạ diện đích lệ tử:

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},\qquad \quad {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}$.

Giá nhất đặc tính sử đắc củ trận đại sổ dữ thường kiến đích nhất taSổ vực( hữu lý sổ, thật sổ, phục sổ ) dĩ cập hoàn (Đa hạng thức hoàn,Chỉnh sổ hoàn ) đô bất đồng. Cấp định nhất cá$n$Duy đích phương khối củ trận$\mathbf {A}$,Dữ$\mathbf {A}$Giao hoán đích sở hữu phương khối củ trận cấu thành nhất cá hoàn, xưng vi$\mathbf {A}$Đích giao hoán tử hoàn. Giá ta củ trận dã cấu thành${\mathcal {M}}(n,\mathbb {R} )$Đích nhất cá tử không gian, xưng vi$\mathbf {A}$Đích khả giao hoán không gian.Dữ${\mathcal {M}}(n,\mathbb {R} )$Trung sở hữu củ trận giao hoán đích củ trận chỉ hữu hình như$\lambda \mathbf {I} _{n},\,\lambda \in \mathbb {R}$Đích củ trận ( xưng vi sổ thừa củ trận ). Kỳ trung đích$\mathbf {I} _{n}$ThịĐan vị củ trận,Dã tựu thị chủ đối giác tuyến thượng đích nguyên tố vi 1, kỳ tha nguyên tố vi 0 đích củ trận. Nhậm ý củ trận$\mathbf {M}$Thừa dĩ đan vị củ trận đô đắc đáo tự thân:$\mathbf {M} \mathbf {I} _{n}=\mathbf {M} =\mathbf {I} _{n}\mathbf {M}$.

Trừ liễu tối thường kiến đích củ trận thừa pháp định nghĩa dĩ ngoại, dã hữu nhất ta giác bất thường kiến đích củ trận thừa pháp, bỉ nhưA đạt mã thừa tíchHòaKhắc la nội khắc thừa tích.

Tuyến tính phương trình tổ

Chủ điều mục:Tuyến tính phương trình tổ

Củ trận thừa pháp đích nhất cá cơ bổn ứng dụng thị tại tuyến tính phương trình tổ thượng. Tuyến tính phương trình tổ thịPhương trình tổĐích nhất chủng, tha phù hợp dĩ hạ đích hình thức:

${\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \quad \quad \quad \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{cases}}$

Kỳ trung đích$a_{1,1},\,a_{1,2}$Dĩ cập$b_{1},\,b_{2}$Đẳng đẳng thị dĩ tri đích thường sổ, nhi$x_{1},\,x_{2}$Đẳng đẳng tắc thị yếu cầu đích vị tri sổ. Vận dụng củ trận đích phương thức, khả dĩ tương tuyến tính phương trình tổ tả thành nhất cá hướng lượng phương trình:

$\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b}$

Kỳ trung,$\mathbf {A}$Thị do phương trình tổ lí vị tri lượng đích hệ sổ bài thành đích$m\times n$Củ trận,$\mathbf {x}$Thị hàm hữu$n$Cá nguyên tố đích hành hướng lượng,$\mathbf {b}$Thị hàm hữu$m$Cá nguyên tố đích hành hướng lượng.

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

Giá cá tả pháp hạ, tương nguyên lai đích đa cá phương trình chuyển hóa thành nhất cá hướng lượng phương trình, tại dĩ tri củ trận$\mathbf {A}$Hòa hướng lượng$\mathbf {b}$Đích tình huống hạ, cầu vị tri hướng lượng$\mathbf {x}$.

Tuyến tính biến hoán

Chủ điều mục:Tuyến tính biến hoán

Củ trận thị tuyến tính biến hoán đích tiện lợi biểu đạt pháp. Củ trận thừa pháp đích bổn chất tại liên hệ đáo tuyến tính biến hoán đích thời hầu tối năng thể hiện, nhân vi củ trận thừa pháp hòa tuyến tính biến hoán đích hợp thành hữu dĩ hạ đích liên hệ: Dĩ$\mathbb {R} ^{n}$Biểu kỳ sở hữu trường độ vi$n$Đích hành hướng lượng đích tập hợp. Mỗi cá$m\times n$Đích củ trận$\mathbf {A}$Đô đại biểu liễu nhất cá tòng$\mathbb {R} ^{n}$Xạ đáo$\mathbb {R} ^{m}$Đích tuyến tính biến hoán. Phản quá lai, đối mỗi cá tuyến tính biến hoán$f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$,Đô tồn tại duy nhấtm×nCủ trận$\mathbf {A} _{f}$Sử đắc đối sở hữu$\mathbb {R} ^{n}$Trung đích nguyên tố$x$,$f(x)=A_{f}x$.Giá cá củ trận$\mathbf {A} _{f}$Đệ$i$Hành đệ$j$Liệt thượng đích nguyên tố thịChính tắc cơHướng lượng$\mathbf {e} _{j}=(0,\cdots,0,1,0,\cdots 0)^{T}$( đệjCá nguyên tố thị 1, kỳ dư nguyên tố thị 0 đích hướng lượng ) tại$f$Ánh xạ hậu đích hướng lượng$f(\mathbf {e} _{j})$Đích đệ$i$Cá nguyên tố.

Dã tựu thị thuyết, tòng$\mathbb {R} ^{n}$Xạ đáo$\mathbb {R} ^{m}$Đích tuyến tính biến hoán cấu thành đích hướng lượng không gian${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}\right)$Thượng tồn tại nhất cá đáo${\mathcal {M}}(m,n,\mathbb {R} )$ĐíchNhất nhất ánh xạ:$f\mapsto A_{f}$

Dĩ hạ thị nhất ta điển hình đích 2 duy thật bình diện thượng đích tuyến tính biến hoán đối bình diện hướng lượng ( đồ hình ) tạo thành đích hiệu quả, dĩ cập tha môn đối ứng đích 2 duy củ trận. Kỳ trung mỗi cá tuyến tính biến hoán tương lam sắc đồ hình ánh xạ thành lục sắc đồ hình; bình diện đích nguyên điểm (0, 0) dụng hắc điểm biểu kỳ.

Thôi di, Phúc độ m=1.25.	Thủy bìnhKính xạBiến hoán	“Tễ áp”Biến hoán, Áp súc trình độ r=3/2	Thân súc,3/2 bội	Toàn chuyển,Tả chuyển 30°
${\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {3}{2}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos({\frac {\pi }{6}})&-\sin({\frac {\pi }{6}})\\\sin({\frac {\pi }{6}})&\cos({\frac {\pi }{6}})\end{bmatrix}}$

Thiết hữu$k\times m$Đích củ trận$\mathbf {B}$Đại biểu tuyến tính biến hoán$g:\mathbf {R} ^{m}\rightarrow \mathbf {R} ^{k}$,Tắc củ trận tích$\mathbf {BA}$Đại biểu liễu tuyến tính biến hoán đích phục hợp$g\circ f$,Nhân vi

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\mathbf {Ax} )=\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x}$

Củ trận đích trậtThị chỉ củ trận trungTuyến tính vô quanĐích hành ／ liệt hướng lượng đích tối đại cá sổ,Đồng thời dã thị củ trận đối ứng đích tuyến tính biến hoán đíchTượng không gianĐích duy độ.Trật － linh hóa độ định lýThuyết minh củ trận đích liệt sổ lượng đẳng vu củ trận đích trật dữLinh không gianDuy độ chi hòa.

Phương khối củ trận

Chủ điều mục:Phương khối củ trận

Hành sổ dữ liệt sổ tương đồng đích củ trận xưng viPhương khối củ trận,Giản xưngPhương trận.Sở hữu$n$Duy đích phương khối củ trận cấu thành nhất cá tuyến tính không gian, giá cá không gian đối củ trận thừa pháp dã thị phong bế đích, nhân thử dã thị nhất cá đại sổ. Phương trận$\mathbf {A}$Xưng viKhả nghịchHoặc phi kỳ dị đích, như quả tồn tại lánh nhất cá phương trận$\mathbf {B}$,Sử đắc

$\mathbf {AB} =\mathbf {I} _{n}$

Thành lập. Giá thời hầu khả dĩ chứng minh dã hữu$\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}$Thành lập,Khả tương củ trận$\mathbf {B}$Xưng vi$\mathbf {A}$Đích nghịch củ trận.Nhất cá củ trận$\mathbf {A}$Đích nghịch củ trận như quả tồn tại đích thoại, tựu thị duy nhất đích, thông thường ký tác$\mathbf {A} ^{-1}$.

Củ trận$\mathbf {A}$Đích nguyên tố$A_{i,i}$Xưng vi kỳ chủ đối giác tuyến thượng đích nguyên tố. Phương khối củ trận$\mathbf {A}$Đích sở hữu chủ đối giác tuyến nguyên tố chi hòa xưng vi tha đíchTích,Tả tác$\mathrm {tr} (\mathbf {A} )$.Tẫn quản củ trận đích thừa pháp bất mãn túc giao hoán luật, phương trận tương thừa thời giao hoán thuận tự hội đạo trí thừa tích biến hóa, đãn tha môn đích tích bất hội biến, tức$\mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )$.Trừ thử dĩ ngoại, củ trận chuyển trí đích tích đẳng vu kỳ tự thân đích tích,$\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })$.

Như quả nhất cá phương trận chỉ hữu chủ đối giác tuyến thượng đích nguyên tố bất thị 0, kỳ tha đô thị 0, na ma xưng kỳ viĐối giác củ trận.Như quả chủ đối giác tuyến thượng phương đích nguyên tố đô thị 0, na ma xưng vi hạTam giác củ trận;Phản chi như quả chủ đối giác tuyến hạ phương đích nguyên tố đô thị 0, na ma xưng vi thượng tam giác củ trận. Lệ như$n=3$Đích thời hầu, giá ta củ trận phân biệt tả tác:

${\begin{bmatrix}d_{11}&0&0\\0&d_{22}&0\\0&0&d_{33}\\\end{bmatrix}}$( đối giác củ trận ),${\begin{bmatrix}l_{11}&0&0\\l_{21}&l_{22}&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}\\\end{bmatrix}}$( hạ tam giác củ trận ) hòa${\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{bmatrix}}$( thượng tam giác củ trận ).

Hành liệt thức

Chủ điều mục:Hành liệt thức

R²Lí đích nhất cá tuyến tính biến hoán f tương lam sắc đồ hình biến thành lục sắc đồ hình, diện tích bất biến, nhi thuận thời châm bài bố đích hướng lượngx1 hòax2 đích biến thành liễu nghịch thời châm bài bố. Đối ứng đích củ trận hành liệt thức thị -1.

Phương khối củ trận$\mathbf {A}$Đích hành liệt thức thị nhất cá tương kỳ ánh xạ đáo tiêu lượng đích hàm sổ, ký tác$\det(\mathbf {A} )$Hoặc$\mathbf {|A|}$,Phản ánh liễu củ trận tự thân đích nhất định đặc tính. Nhất cá phương trận đích hành liệt thức đẳng vu 0 đương thả cận đương cai phương trận bất khả nghịch. Hệ sổ thị thật sổ đích thời hầu, nhị duy ( tam duy ) phương trận$\mathbf {A}$Đích hành liệt thức đíchTuyệt đối trịBiểu kỳ đan vị diện tích ( thể tích ) đích đồ hình kinh quá$\mathbf {A}$Đối ứng đích tuyến tính biến hoán hậu đắc đáo đích đồ hình đích diện tích ( thể tích ), nhi tha đích chính phụ tắc đại biểu liễu đối ứng đích tuyến tính biến hoán thị phủ cải biến không gian đích định hướng: Hành liệt thức vi chính thuyết minh tha bảo trì không gian định hướng, hành liệt thức vi phụ tắc thuyết minh tha nghịch chuyển không gian định hướng.

2×2 củ trận đích hành liệt thức thị

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$.

3×3 củ trận đích hành liệt thức do 6 hạng tổ thành. Canh cao duy củ trận đích hành liệt thức tắc khả dĩ sử dụng lai bố ni tư công thức tả xuất,Hoặc sử dụngLạp phổ lạp tư triển khaiDo đê nhất duy đích củ trận hành liệt thứcĐệ thôiĐắc xuất.

Lưỡng cá củ trận tương thừa, thừa tích đích hành liệt thức đẳng vu tha môn đích hành liệt thức đích thừa tích:$\det(\mathbf {AB} )=\det(\mathbf {A} )\cdot \det(\mathbf {B} )$.Tương củ trận đích nhất hành ／ liệt thừa dĩ mỗ cá hệ sổ gia đáo lánh nhất hành ／ liệt thượng bất cải biến củ trận đích hành liệt thức, tương củ trận đích lưỡng hành ／ liệt hỗ hoán tắc sử đắc kỳ hành liệt thức biến hào.Dụng giá lưỡng chủng thao tác khả dĩ tương củ trận biến thành nhất cá thượng tam giác củ trận hoặc hạ tam giác củ trận, nhi hậu lưỡng chủng củ trận đích hành liệt thức tựu thị chủ đối giác tuyến thượng nguyên tố đích thừa tích, nhân thử năng phương tiện địa kế toán. Vận dụng hành liệt thức khả dĩ kế toán tuyến tính phương trình tổ đích giải ( kiếnKhắc lai mỗ pháp tắc).

Đặc chinh trị dữ đặc chinh hướng lượng

Chủ điều mục:Đặc chinh hướng lượng

$n\times n$Đích phương khối củ trận$\mathbf {A}$Đích nhất cá đặc chinh trị hòa đối ứng đặc chinh hướng lượng thị mãn túc

$\mathbf {Av} =\lambda \mathbf {v}$Đích tiêu lượng$\lambda$Dĩ cập phi linh hướng lượng$\mathbf {v}$.Đặc chinh trị hòa đặc chinh hướng lượng đích khái niệm đối nghiên cứu tuyến tính biến hoán ngận hữu bang trợ. Nhất cá tuyến tính biến hoán khả dĩ thông quá tha đối ứng đích củ trận tạiHướng lượngThượng đích tác dụng lai khả thị hóa. Nhất bàn lai thuyết, nhất cá hướng lượng tại kinh quá ánh xạ chi hậu khả dĩ biến vi nhậm hà khả năng đích hướng lượng, nhi đặc chinh hướng lượng cụ hữu canh hảo đích tính chất.Giả thiết tại cấp định đích cơ để hạ, nhất cá tuyến tính biến hoán đối ứng trứ mỗ cá củ trận$\mathbf {A}$,Như quả nhất cá hướng lượng$\mathbf {x}$Khả dĩ tả thành củ trận đích kỉ cá đặc chinh hướng lượng đích tuyến tính tổ hợp:

$\mathbf {x} =c_{1}\mathbf {x} _{\lambda _{1}}+c_{2}\mathbf {x} _{\lambda _{2}}+\cdots +c_{k}\mathbf {x} _{\lambda _{k}}$

Kỳ trung đích$\mathbf {x} _{\lambda _{i}}$Biểu kỳ thử hướng lượng đối ứng đích đặc chinh trị thị$\lambda _{i}$,Na ma hướng lượng$\mathbf {x}$Kinh quá tuyến tính biến hoán hậu hội biến thành:

$\mathbf {Ax} =c_{1}\lambda _{1}\mathbf {x} _{\lambda _{1}}+c_{2}\lambda _{2}\mathbf {x} _{\lambda _{2}}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}\mathbf {x} _{\lambda _{k}}$

Khả dĩ thanh sở địa tri đạo biến hoán hậu hướng lượng đích kết cấu.

Lánh nhất cá đẳng giới đích đặc chinh trị định nghĩa thị: Tiêu lượng$\lambda$Vi đặc chinh trị, như quả củ trận$\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} _{n}$Thị bất khả nghịch củ trận. Căn cư bất khả nghịch củ trận đích tính chất, giá cá định nghĩa dã khả dĩ dụng hành liệt thức phương trình miêu thuật:$\lambda$Vi đặc chinh trị, như quả

$\det(\lambda \mathbf {I} _{n}-\mathbf {A} )=0.\$Giá cá định nghĩa trung đích hành liệt thức khả dĩ triển khai thành nhất cá quan vu$\lambda$ĐíchnGiaiĐa hạng thức,Khiếu tố củ trậnAĐíchĐặc chinh đa hạng thức,Ký vi$p_{\mathbf {A} }$.Đặc chinh đa hạng thức thị nhất cá thủ nhất đa hạng thức ( tối cao thứ hạng hệ sổ thị 1 đích đa hạng thức ). Tha đích căn tựu thị củ trận$\mathbf {A}$Đặc chinh trị.Cáp mật nhĩ đốn － khải lai định lýThuyết minh, như quả dụng củ trận$\mathbf {A}$Bổn thân đại thế đa hạng thức trung đích bất định nguyên$\lambda$,Na ma đa hạng thức đích trị thịLinh củ trận:

$p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=0$.

Đối xưng

Chủ điều mục:Đối xưng củ trận

Chuyển trí đẳng vu tự kỷ đích củ trận, tức mãn túc$\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$Đích phương khối củ trận$\mathbf {A}$Khiếu tốĐối xưng củ trận.Mãn túc$\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$Đích củ trận xưng viPhản đối xưng củ trận.Tại phục hệ sổ củ trận trung, tắc hữuAi nhĩ mễ đặc củ trậnĐích khái niệm: Mãn túc$\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{*}$Đích phương khối củ trận xưng vi ai nhĩ mễ đặc củ trận, kỳ trung đích$\mathbf {A} ^{*}$Biểu kỳ$\mathbf {A}$ĐíchCộng ách chuyển tríCủ trận.

Căn cưPhổ định lý,Thật đối xưng củ trận hòa phục ai nhĩ mễ đặc củ trận ủng hữu đặc chinh cơ, tức do củ trận đích đặc chinh hướng lượng tổ thành đích cơ để. Nhân thử nhậm hà hướng lượng đô năng biểu kỳ thành củ trận đặc chinh hướng lượng đích tuyến tính tổ hợp. Thử ngoại, giá lưỡng loại củ trận đích đặc chinh trị đô thị thật sổ.

Chính định tính

Củ trận biểu đạt thức	${\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}$
Chính định tính	Bất định củ trận	Chính định củ trận
Đối ứng nhị thứ hình	$Q(x,y)={\frac {1}{4}}(x^{2}-y^{2})$	$Q(x,y)={\frac {1}{4}}(x^{2}+y^{2})$
Thủ trị đồ tượng
Thuyết minh	Chính định củ trận đối ứng đích nhị thứ hình đích thủ trị phạm vi vĩnh viễn thị chính đích, Bất định củ trận đối ứng đích nhị thứ hình thủ trị tắc khả chính khả phụ

Chủ điều mục:Chính định củ trận

$n\times n$Đích thật đối xưng củ trận$\mathbf {A}$Như quả mãn túc đối sở hữu phi linh hướng lượng$\mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}$,Đối ứng đíchNhị thứ hình

$Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {Ax}$

Hàm sổ trịĐô thị chính sổ, tựu xưng$\mathbf {A}$Vi chính định củ trận. Loại tự địa hoàn hữu bán chính định củ trận, phụ định củ trận, bất định củ trận đẳng khái niệm.Đối xưng củ trận đích chính định tính dữ kỳ đặc chinh trị mật thiết tương quan. Củ trận thị chính định đích đương thả cận đương kỳ đặc chinh trị đô thị chính sổ.

Củ trận đích kế toán

Củ trận tại hứa đa học khoa lĩnh vực trung đô hữu ứng dụng, tại ngận đa thời hầu, trừ liễu nhu yếu tri đạo củ trận đích lý luận tính chất dĩ ngoại, hoàn nhu yếu kế toán củ trận đích sổ trị. Vi liễu củ trận đích kế toán năng cú túc cú tinh xác dữ khoái tiệp,Sổ trị tuyến tính đại sổTrung chuyên môn hữu nghiên cứu củ trận đích sổ trị kế toán phương pháp.Dữ kỳ tha đích sổ trị kế toán nhất dạng, củ trận đích sổ trị kế toán chú trọng đích chủ yếu dã thịToán phápĐíchPhục tạp độHòaSổ trị ổn định tính.Củ trận đích sổ trị kế toán khả dĩ sử dụng trực tiếp kế toán, dã khả dĩ dụng điệt đại toán pháp, lệ như tại kế toán phương khối củ trận đích đặc chinh trị thời, khả dĩ tòng nhất cá phi linh hướng lượng$x_{0}$Khai thủy, thông quá đặc định điệt đại phương pháp đắc đáo nhất cáBức cậnMỗ cá đặc chinh hướng lượng đích hướng lượng tự liệt.

Trắc lượng nhất cá toán pháp đích phục tạp độ thị chỉ cổ kế thử toán pháp nhu yếu đích cơ bổn vận toán như sổ tự đích gia pháp hòa thừa pháp đích thứ sổ, hoặc giả trảo xuất tha đích nhất cá thượng giới. Lệ như án chiếu định nghĩa kế toán đích thoại, lưỡng cá$n$Giai phương trận đích thừa pháp nhu yếu$n^{3}$Thứ sổ tự thừa pháp kế toán, nhân vi kỳ thừa tích thị nhất cá$n$Giai phương trận, hữu$n^{2}$Cá nguyên tố, kế toán mỗi cá nguyên tố nhu yếu$n$Thứ sổ tự thừa pháp. Như quả sử dụngThi đặc lạp sâm toán phápĐích thoại, khả dĩ tương sổ tự thừa pháp đích thứ sổ giảm đê đáo đại ước$n^{2.8}$Thứ.Thử ngoại, biên trình ngữ ngôn hoặc hoàn cảnh bổn thân đối toán pháp đích phục tạp độ dã hội hữu ảnh hưởng.

Mỗ ta đặc thù loại hình đích củ trận huề đái đích sổ cư lượng bỉ nhất bàn củ trận yếu thiếu, đồng thời đái lai đích tín tức lượng bỉ nhất bàn củ trận đa. Nhất cá trọng yếu đích lệ tử thị hi sơ củ trận, giá loại củ trận trung tuyệt đại bộ phân đích nguyên tố thị linh. Hữu quan hi sơ củ trận đích kế toán, như kế toán hi sơ củ trận$\mathbf {A}$Đích tuyến tính phương trình tổ$\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$Thời, khả dĩ sử dụng nhất ta chuyên dụng vu hi sơ củ trận đích đặc thù toán pháp ( bỉ nhưCộng ách thê độ pháp), giảm đê kế toán phục tạp độ.

Toán pháp đích sổ trị ổn định tính thị chỉ thâu nhập trị đích tiểu biến hóa bất hội nhượng kế toán kết quả sản sinh ngận đại thiên soa. Lệ như kế toánCủ trận đích nghịchThời, khả dĩ dụng dĩ hạ đích toán pháp ( kỳ trung$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$Biểu kỳ$\mathbf {A}$ĐíchBạn tùy củ trận,$\mathrm {det} (\mathbf {A} )$Biểu kỳ$\mathbf {A}$ĐíchHành liệt thức)

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A} )}}$

Giá cá toán pháp tại$\mathbf {A}$Đích hành liệt thức tiếp cận 0 đích thời hầu hội dẫn khởi ngận đại đíchXá nhập ngộ soa.Nhi như quả sử dụng toàn tuyển chủ nguyên đích cao tư tiêu khứ pháp cầu nghịch, tắc tại phục tạp độ hàng đê đích đồng thời năng cú tị miễn xá nhập ngộ soa, bảo chứng sổ trị ổn định tính.

Củ trận phân giải

Chủ điều mục:Củ trận phân giải,Đối giác hóa,Cao tư tiêu khứ phápHòaBa lai tư toán pháp

Củ trận nghiên cứu đích nhất đại phương hướng thị tương nhất bàn đích củ trận dụng nhất ta bỉ giác “Giản đan” đích củ trận lai biểu kỳ. Giá chủng biểu kỳ phương thức xưng vi củ trận đích biến hoán dữ phân giải. Củ trận biến hoán dữ phân giải đích phương pháp hữu ngận đa, tha môn đích mục đích đô thị hi vọng hóa giản hậu đích củ trận bảo trì nguyên củ trận đích mỗ ta tính chất, bỉ như hành liệt thức, trật hoặc nghịch củ trận, nhi hình thức tương đối giản đan, nhân nhi năng dụng dung dịch địa tiến hành thảo luận hòa kế toán, hoặc giả năng sử đắc mỗ ta toán pháp canh dịch chấp hành.

LU phân giảiTương củ trận phân giải vi nhất cá hạ tam giác củ trận$\mathbf {L}$Hòa nhất cá thượng tam giác củ trận$\mathbf {U}$Đích thừa tích.Phân giải hậu đích củ trận khả dĩ phương tiện mỗ ta vấn đề đích giải quyết. Lệ như giải tuyến tính phương trình tổ thời, như quả tương hệ sổ củ trận$\mathbf {A}$Phân giải thành$\mathbf {A} =\mathbf {LU}$Đích hình thức, na ma phương trình đích cầu giải khả dĩ phân giải vi cầu giải$\mathbf {Ly} =\mathbf {b}$Hòa$\mathbf {Ux} =\mathbf {y}$Lưỡng bộ, nhi hậu lưỡng cá phương trình khả dĩ thập phân giản khiết địa cầu giải ( tường kiếnTam giác củ trậnTrung “Hướng tiền dữ hướng hậu thế hoán” nhất tiết ). Hựu lệ như tại cầu củ trận đích hành liệt thức thời, như quả trực tiếp kế toán nhất cá củ trận$\mathbf {A}$Đích hành liệt thức, nhu yếu kế toán đại ước$(n+1)!$Thứ gia pháp hòa thừa pháp; nhi như quả tiên đối củ trận tố$\mathbf {LU}$Phân giải, tái cầu hành liệt thức, tựu chỉ nhu yếu đại ước$n^{3}$Thứ gia pháp hòa thừa pháp, đại đại hàng đê liễu kế toán thứ sổ. Giá thị nhân vi tố$\mathbf {LU}$Phân giải đích phục tạp độ đại ước thị$n^{3}$Thứ, nhi hậu chú ý đáo$\mathbf {L}$Hòa$\mathbf {U}$Thị tam giác củ trận, sở dĩ cầu tha môn đích hành liệt thức chỉ nhu yếu tương chủ đối giác tuyến thượng nguyên tố tương thừa tức khả.

Nhược nhĩ đương củ trận, kỳ trung hôi sắc khuông nội đích thị nhược nhĩ đương khối

Cao tư tiêu khứ pháp dã thị nhất chủng củ trận phân giải phương pháp. Thông quá sơ đẳng biến hoán thao tác, khả dĩ tương nhậm hà củ trận biến viGiai thê hình củ trận,Nhi mỗi cá thao tác khả dĩ khán tố thị tương củ trận thừa thượng nhất cá đặc định đíchSơ đẳng củ trận.Kỳ dị trị phân giảiTắc thị lánh nhất chủng phân giải phương pháp, tương nhất cá củ trận biểu kỳ thành 3 cá củ trận đích thừa tích:$\mathbf {A} =\mathbf {UDV}$.Kỳ trung$\mathbf {U}$Hòa$\mathbf {V}$ThịDậu củ trận,$\mathbf {D}$ThịĐối giác củ trận.

Đặc chinh phân giảiThị tương nhất cá củ trận$\mathbf {A}$Tả thành$\mathbf {PDP} ^{-1}$Đích hình thức, kỳ trung$\mathbf {P}$Thị nhất cá khả nghịch củ trận,$\mathbf {D}$Thị đối giác củ trận.Như quả$\mathbf {A}$Đích đặc chinh phân giải tồn tại, tựu xưng tha thị khả đối giác hóa đích củ trận. Bất năng đối giác hóa đích củ trận, dã hữu loại tự đích phân giải phương thức. Nhậm ý đích củ trận$\mathbf {A}$Đô khả dĩ tả thành$\mathbf {PJP} ^{-1}$Đích hình thức, kỳ trung đích củ trận$\mathbf {J}$ThịNhược nhĩ đương tiêu chuẩn hình.Nhược nhĩ đương tiêu chuẩn hình thị củ trận đích nhất chủng, tha dữ đối giác củ trận loại tự, chỉ bất quá chủ đối giác tuyến thượng đích nguyên tố bất thị sổ trị, nhi thị nhược nhĩ đương khối: Chủ đối giác tuyến thượng vi đồng nhất nguyên tố$\lambda _{i}$,Chủ đối giác tuyến hữu thượng nhất hành đích thứ đối giác tuyến thượng đô thị 1, kỳ tha nguyên tố đô thị 0 đích củ trận ( kiến hữu đồ ).Đặc chinh phân giải khả dĩ phương tiện kế toán củ trận đíchMịch thứHòa đa hạng thức, như yếu kế toán$\mathbf {A} ^{n}$:

$\mathbf {A} ^{n}=(\mathbf {PDP} ^{-1})^{n}=\mathbf {PDP} ^{-1}\mathbf {PDP} ^{-1}\ldots \mathbf {PDP} ^{-1}=\mathbf {PD} ^{n}\mathbf {P} ^{-1}$

Nhi kỳ trung đối giác củ trận đích mịch thứ$\mathbf {D} ^{n}$Yếu bỉ$\mathbf {A} ^{n}$Dung dịch kế toán đắc đa. Đồng lý hoàn khả kế toánCủ trận chỉ sổ:$e^{\mathbf {A} }$( tạiTuyến tính vi phân phương trìnhTrung hữu ứng dụng ),Củ trận đối sổHòaCủ trận đích bình phương căn.Vi liễu đề cao toán pháp đích sổ trị ổn định tính, hoàn hữuThư nhĩ phân giảiĐẳng củ trận phân giải phương pháp.

Củ trận đích thôi quảng

Củ trận đích nguyên tố trừ liễu khả dĩ thị thật sổ hòa phục sổ dĩ ngoại, dã khả dĩ nhậm ý hoàn hoặcVựcTrung nguyên tố. Tại tuyến tính đại sổ trung, củ trận đích tính chất khả dĩ kinh do hữu hạn duy đích tuyến tính không gian trung đích tuyến tính biến hoán định nghĩa. Canh quảng phiếm đích, vô hạn duy không gian trung đíchTuyến tính toán tử,Tắc khả dĩ định nghĩa canh quảng phiếm đích vô cùng duy củ trận. Củ trận đích lánh nhất chủng thôi quảng thịTrương lượng.Tiêu lượng khả dĩ khán thành linh duy phương thức bài liệt đích sổ cư ( chỉ hữu nhất cá “Điểm” ), hướng lượng khả dĩ khán thành thị nhất duy phương thức bài liệt đích sổ cư ( nhược càn cá “Điểm” bài thành đích “Tuyến đoạn” ), củ trận khả dĩ khán thành thị nhị duy phương thức bài liệt đích sổ cư ( nhược càn cá “Tuyến đoạn” bài thành đích “Củ hình” ), nhi trương lượng đích khái niệm tắc bao quát liễu giá kỉ chủng bài liệt phương thức. Tại trương lượng đích khái niệm trung, tiêu lượng thị linh duy trương lượng, hướng lượng thị nhất duy trương lượng, củ trận thị nhị duy trương lượng, nhi canh cao duy phương thức bài liệt đích sổ cư phương thức tựu thị cao duy trương lượng.

Nhất bàn vực hòa hoàn thượng đích củ trận

Củ trận đích nguyên tố trừ liễu khả dĩ thị thật sổ hòa phục sổ dĩ ngoại, hoàn khả dĩ thị nhậm hà năng cú sử đắc củ trận đích vận toán luật thành lập đích nguyên tố. Thủ tiên, củ trận đích nguyên tố khả dĩ thị nhậm ý nhất cá vực ( tức năng cú tiến hành “Gia giảm thừa trừ” vận toán đích tập hợp ) trung nguyên tố. Lệ nhưBiên mã lý luậnTrung hội xuất hiện hệ sổ viHữu hạn vựcTrung nguyên tố đích củ trận, dĩ cập hữu lý sổ hệ sổ đích củ trận. Như quả củ trận đích hệ sổ sở tại vực$\mathbf {K}$Bất thịĐại sổ bế vực,Na ma tại cầu củ trận đích đặc chinh trị thời, do vu đặc chinh trị thị tương ứng đích đặc chinh đa hạng thức đích căn, khả năng bất tại hệ sổ vực$\mathbf {K}$Trung, nhi thị tại hệ sổ vực đích mỗ cá khoách vựcLTrung. Phản quá lai, như quả khảo lựKhoách vực$\mathbf {L/K}$,Dĩ cập$\mathbf {L}$Trung đích nhất cá nguyên tố$\alpha$,Dĩ cập$\mathbf {L}$Trung tuyến tính biến hoán$m_{\alpha }:\,x\mapsto \alpha x$,Na ma do vu$m_{\alpha }$Dã thị nhất cá$\mathbf {K}$- tuyến tính biến hoán, tha khả dĩ biểu kỳ thành nhất cá$n\times n$Đích$\mathbf {K}$Hệ sổ củ trận$X_{\alpha }$,Kỳ trung đích$n$Thị khoách vực$\mathbf {L/K}$Đích giai sổ.$\alpha$Thị giá cá củ trận đích đặc chinh trị, giá cá củ trận đích đặc chinh đa hạng thức$p_{X_{\alpha }}$Thị$\alpha$Tại$\mathbf {K}$Trung đíchTối tiểu đa hạng thức$\operatorname {min} _{\mathbf {K} }(\alpha )$Đích mịch thứ:

$p_{X_{\alpha }}=\left(\operatorname {min} _{\mathbf {K} }(\alpha )\right)^{r}\,$.Kỳ trung đích$r$Thị khoách vực$\mathbf {L/K}$$(\alpha )$Đích giai sổ.

Canh nhất bàn đích tình huống thị củ trận đích nguyên tố chúc vu mỗ cá hoàn$\mathbf {R}$.Hoàn thị bỉ vực canh quảng phiếm đích khái niệm, chỉ yếu cầu kỳ trung nguyên tố năng cú tiến hành gia giảm pháp hòa thừa pháp vận toán ( bất nhất định năng định nghĩa trừ pháp ). Cấp định nhất cá hoàn$\mathbf {R}$,${\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )$Trung đích củ trận chi gian khả dĩ tương hỗ gia giảm dĩ cập tương thừa, sở dĩ${\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )$Quan vu củ trận đích gia pháp hòa thừa pháp dã cấu thành nhất cá hoàn, xưng viCủ trận hoàn.$n$Duy phương trận đích hoàn${\mathcal {M}}(n,\mathbf {R} )$Dữ tả$\mathbf {R}$-Mô$\mathbf {R} ^{n}$ĐíchTự đồng tháiHoànĐồng cấu.

Nhược$\mathbf {R}$ThịGiao hoán hoàn,Tắc${\mathcal {M}}(m,\mathbf {R} )$Thị nhất cá đáiĐan vị nguyênĐích$\mathbf {R}$-Đại sổ,Mãn túc kết hợp luật, đãn bất mãn túc giao hoán luật. Kỳ trung đích củ trận nhưng nhiên khả dĩ dụng lai bố ni tư công thức định nghĩaHành liệt thức.Nhất cá củ trận khả nghịch đương thả cận đương kỳ hành liệt thức vi hoàn$\mathbf {R}$Trung đíchKhả nghịch nguyên( vực thượng đích củ trận khả nghịch chỉ nhu hành liệt thức bất đẳng vu 0 ).

Củ trận dữ tuyến tính biến hoán

Tiền diện dĩ kinh đề đáo, sở hữu$\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$Đích tuyến tính biến hoán đô đối ứng trứ nhất cá${\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )$Trung đích củ trận. Canh nhất bàn địa, cấp định liễu cơ để hậu, nhậm ý lưỡng cá hữu hạn duy tuyến tính không gian chi gian đích tuyến tính ánh xạ$f:\mathbf {V} \rightarrow \mathbf {W}$Dã đối ứng trứ nhất cá củ trận$\mathbf {A} _{f}=(a_{ij})$.Thiết không gian$\mathbf {V}$Hòa$\mathbf {W}$Đích cơ để phân biệt thị$\mathbf {v} _{1},\ldots,\mathbf {v} _{n}$Hòa$\mathbf {w} _{1},\ldots,\mathbf {w} _{m}$,Na ma

Đối nhậm ý$j=1,\ldots,n$,$f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}$

Củ trận$\mathbf {A} _{f}$Thật tế thượng “Ký lục” liễu$\mathbf {V}$Trung mỗi cá cơ để hướng lượng kinh quá biến hoán hậu đắc đáo đích$\mathbf {W}$Trung đích tượng tại cơ để$(\mathbf {w} _{1},\ldots,\mathbf {w} _{m})$Hạ đích hình thức. Yếu chú ý củ trận đích nội dung thủ quyết vu cơ để đích tuyển trạch. Khả dĩ thuyết, củ trận thị tuyến tính biến hoánfTại đặc định “Giác độ” ( cơ để ) hạ đích “Tố miêu”. Bất đồng đích “Giác độ” hạ, miêu thuật$f$Đích củ trận thị bất đồng đích, đãn giá ta củ trận đô thịTương tự củ trận.Dữ củ trận hữu quan đích cơ bổn khái niệm đô khả dĩ dụng tuyến tính biến hoán đích tằng diện lai giải thích, bỉ như nhất cá củ trận đích chuyển trí khả dĩ dụngfĐíchĐối ngẫu biến hoán$f^{*}:\mathbf {W} ^{*}\rightarrow \mathbf {V} ^{*}$Lai biểu kỳ.

Đương củ trận đích nguyên tố thị đái đan vị nguyên đích hoàn$\mathbf {R}$Trung đích nguyên tố thời,$m\times n$Đích$\mathbf {R}$- củ trận đối ứng đích tắc thị$\mathbf {R}$-Tự do mô$\mathbf {R} ^{m}$Hòa$\mathbf {R} ^{n}$Chi gian đích$\mathbf {R}$- tuyến tính biến hoán.$n=m$Đích thời hầu, giá ta$\mathbf {R}$- tuyến tính biến hoán khả dĩ tương hỗ phục hợp, nhân thử$n$Duy đích$\mathbf {R}$- củ trận hoàn năng cú dữ$\mathbf {R}$- tự đồng thái hoàn$\mathbf {R} ^{n}$Đồng cấu.

Củ trận quần

Chủ điều mục:Củ trận quần

QuầnThị bỉ hoàn canh khoan phiếm đích đại sổ kết cấu, chỉ nhu yếu tập hợp phối bị nhất cá mãn túc kết hợp luật đíchNhị nguyên vận toán,Tức tương lưỡng cá quần nội nguyên tố ánh xạ đáo quần nội nhất nguyên tố đích vận toán. Củ trận quần thị chỉ củ trận quan vu củ trận thừa pháp tổ thành đích quần.Hiển nhiên, chỉ hữu phương khối củ trận tài năng cấu thành thừa pháp quần. Sở hữu$n$Duy đích khả nghịch phương trận cấu thành nhất cá quần, xưng vi$n$GiaiNhất bàn tuyến tính quần.Do vu quần nội mỗi cá nguyên tố đô tất tu thị khả nghịch đích, nhậm ý đích củ trận quần đô tất nhiên thị nhất bàn tuyến tính quần đíchTử quần.

Năng cú tại củ trận thừa pháp hòa cầu nghịch củ trận vận toán hạ bảo trì đích tính chất đô khả dĩ dụng lai khắc họa nhất định đích củ trận quần. Lệ như sở hữu hành liệt thức vi 1 đích củ trận khả dĩ cấu thành nhất cá quần, xưng vi$n$GiaiĐặc thù tuyến tính quần.Sở hữu$n$Duy đíchChính giao củ trận,Tức mãn túc:

$\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\mathbf {M} =\mathbf {I}$

Đích củ trận$\mathbf {M}$Dã cấu thành nhất cá quần, xưng vi$n$GiaiChính giao quần.Chính giao củ trận đắc danh vu tha tại$\mathbf {R} ^{n}$Trung đối ứng đích tuyến tính biến hoán cụ hữu bảo giác tính, dã tựu thị thuyết đối cơ bổn đíchĐiểm tích,Mãn túc

$(\mathbf {Mv} )\cdot (\mathbf {Mw} )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}$

Mỗi cáHữu hạn quầnĐô đồng cấu vu nhất cá củ trận quần. Thật tế thượng, mỗi cá hữu hạn quần đô đồng cấu vu mỗ cáTrí hoán quầnĐích tử quần, nhi mỗi cá trí hoán quần đô đồng cấu vu nhất cá củ trận quần ( kiến trí hoán quần đíchChính tắc quần biểu kỳ) giám vu củ trận quần đích tính chất khả dĩ thông quá dữ củ trận tương quan đích canh đa thủ đoạn canh hảo địa lý giải, thường thường thông quá nghiên cứu củ trận quần lai nghiên cứu nhất cá hữu hạn quần. Tương quan đích lý luận xưng viQuần biểu kỳ luận.

Vô hạn duy củ trận

Chủ điều mục:Vô hạn duy củ trận

Vô cùng duy củ trận khả dĩ chỉ hành sổ hoặc liệt sổ vô cùng đại, hoặc lưỡng giả đô thị vô cùng đại đích củ trận.Tẫn quản giá dạng đích củ trận vô pháp hoàn chỉnh tả xuất, đãn chỉ yếu tri đạo mỗi hành mỗi liệt đích nguyên tố đích trị, nhưng nhiên khả dĩ đối tha tiến hành củ trận thao tác hòa vận toán. Giá lí củ trận đích hành sổ hòa liệt sổ thậm chí bất nhất định nhu yếu thịKhả sổ tập.Nhu yếu chú ý đích thị, vô cùng duy củ trận đích thừa pháp thiệp cập đáoVô cùng cấp sổCầu hòa, nhân thử chỉ hữu tại tương quan đích vô cùng cấp sổThu liễmĐích thời hầu, tài năng định nghĩa củ trận đích thừa tích.Vô hạn duy củ trận dã khả dĩ thị phương khối củ trận, định nghĩa vi hành tiêu ký tập hợp dữ liệt tiêu ký tập hợp tương đồng đích củ trận ( như$\mathbb {N} \times \mathbb {N}$).

Vô hạn củ trận vô pháp định nghĩa thông thường ý nghĩa thượng đích hành liệt thức, nhân thử khả nghịch củ trận bất nhất định thị phương khối củ trận, đồng lý, dậu củ trận dã bất nhất định yếu thị phương khối củ trận.

Không củ trận

Chủ điều mục:Không củ trận

Không củ trận thị chỉ hành sổ hoặc liệt sổ vi linh đích củ trận.Không củ trận đích định nghĩa khả dĩ hoàn thiện nhất ta quan vuLinh duy không gianĐích ước định. Bao quát ước định nhất cá củ trận dữ không củ trận tương thừa đắc đáo đích dã thị không củ trận, lưỡng cá$n\times 0$Hòa$0\times p$Đích không củ trận tương thừa thị nhất cá$n\times p$ĐíchLinh củ trận( sở hữu nguyên tố đô thị linh đích củ trận ). 0×0 đích không củ trận đích hành liệt thức ước định vi 1, sở dĩ tha dã khả dĩ hữu nghịch củ trận, ước định vi tha tự kỷ.

Phân khối củ trận

Phân khối củ trậnThị chỉ nhất cá đại củ trận phân cát thành “Củ trận đích củ trận”. Cử lệ, dĩ hạ đích củ trận

$P={\begin{bmatrix}1&2&3&2\\1&2&7&5\\4&9&2&6\\6&1&5&8\end{bmatrix}}$

Khả phân cát thành 4 cá 2×2 đích củ trận

$P_{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}},P_{12}={\begin{bmatrix}3&2\\7&5\end{bmatrix}},P_{21}={\begin{bmatrix}4&9\\6&1\end{bmatrix}},P_{22}={\begin{bmatrix}2&6\\5&8\end{bmatrix}}$

$P={\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{bmatrix}}$.Tương củ trận phân khối khả dĩ sử đắc củ trận kết cấu thanh tích, tại mỗ ta thời hầu khả dĩ phương tiện vận toán, chứng minh. Lưỡng cá đại tiểu tương đồng, phân khối phương thức dã tương đồng đích củ trận khả dĩ tương gia. Hành hòa liệt đích khối sổ phù hợp củ trận thừa pháp yếu cầu thời, phân khối củ trận dã khả dĩ tương thừa. Tương củ trận phân khối tương thừa đích kết quả dữ trực tiếp tương thừa thị nhất dạng đích. Dụng phân khối củ trận cầu nghịch, khả dĩ tương cao giai củ trận đích cầu nghịch chuyển hóa vi đa thứ đê giai củ trận đích cầu nghịch.

Ứng dụng

Củ trận tại hứa đa lĩnh vực đô ứng dụng quảng phiếm. Hữu ta thời hầu dụng đáo củ trận thị nhân vi kỳ biểu đạt phương thức khẩn thấu, lệ như tạiBác dịch luậnHòaKinh tế họcTrung, hội dụngThu ích củ trậnLai biểu kỳ lưỡng cá bác dịch đối tượng tại các chủng quyết sách phương thức hạ đích thu ích.Văn bổn oạt quậtHòaTác dẫn điểnHối biên đích thời hầu, bỉ như tạiTF-IDFPhương pháp trung, dã hội dụng đáoVăn kiện hạng củ trậnLai truy tung đặc định từ hối tại đa cá văn kiện trung đích xuất hiện tần suất.

Phục sổ khả dĩ dụng thật hệ sổ đích 2×2 củ trận biểu kỳ:

$a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},$

Giá chủng biểu kỳ pháp dữ phục sổ đích gia giảm pháp, thừa pháp đô tương kiêm dung. Bỉ như, 2×2 đích toàn chuyển củ trận khả dĩ dụng lai biểu kỳ mô trường vi 1 đích phục sổ, nhất cá hướng lượng thừa dĩ thử toàn chuyển củ trận khả dĩ thị tác nhất cá phục sổ thừa dĩ cai mô trường vi 1 đích phục sổ. ĐốiTứ nguyên sổDã hữu loại tự đích củ trận biểu đạt.

Tảo kỳ đíchMật mãKỹ thuật nhưHi nhĩ mật mãDã dụng đáo củ trận. Nhiên nhi, củ trận đích tuyến tính tính chất sử giá loại mật mã tương đối dung dịch phá giải.Kế toán cơ đồ tượng xử lýDã hội dụng đáo củ trận lai biểu kỳ xử lý đối tượng, tịnh thả dụng phóng xạ toàn chuyển củ trận lai kế toán đối tượng đích biến hoán, thật hiện tam duy đối tượng tại đặc định nhị duy bình mạc thượng đích đầu ảnh.Đa hạng thức hoànThượng đích củ trận tạiKhống chế luậnTrung hữu trọng yếu tác dụng.

Hóa họcTrung dã hữu củ trận đích ứng dụng, đặc biệt tại sử dụngLượng tử lý luậnThảo luậnPhân tử kiệnHòaQuang phổĐích thời hầu. Cụ thể lệ tử hữu giảiLa đặc hán phương trìnhThời dụngTrọng điệp củ trậnHòaPhúc kha củ trậnLai đắc đáoCáp đặc lí － phúc khắcPhương pháp trung đíchPhân tử quỹ đạo.

Đồ luận

Nhất cá vô hướng đồ đích lân tiếp củ trận${\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$.

Đồ luận trung khả dĩ dụng củ trận miêu thuật nhất cáHữu hạn đồ.Giá cá củ trận khiếu tố tương quan củ trận đíchLân tiếp củ trận,Ký lục liễu đồ đích mỗi lưỡng cáĐỉnh điểmChi gian thị phủ hữu biên liên tiếp. Đối giản đan đồ lai thuyết, lân tiếp củ trận đích nguyên tố chỉ thủ lưỡng cá trị: 0 hòa 1, đệ$i$Hành đệ$j$Liệt thượng thủ trị vi 0, biểu kỳ một hữu tòng đệ$i$Cá đỉnh điểm liên đáo đệ$j$Cá đỉnh điểm đích biên, thủ trị vi 1 tắc thuyết minh hữu. Như quả thị nhất bàn tình huống đích thoại, đệ$i$Hành đệ$j$Liệt thượng đích thủ trị thị tòng đệ$i$Cá đỉnh điểm liên đáo đệjCáĐỉnh điểmĐích biên đích sổ mục.Cự ly củ trậnTắc thị biểu kỳ đồ trung các đỉnh điểm chi gian cự ly đích củ trận.Tại nghiên cứu hỗ liên võng đẳngPhục tạp võng lạcĐích thời hầu, lân tiếp củ trận thường thường hội thịHi sơ củ trận.Nhân thửVõng lạc lý luậnTrung hữu chuyên môn nghiên cứu hi sơ củ trận đích phương diện.

Sổ học phân tích

Tại đa nguyên hàm sổ vi tích phân học trung, đối nhị giai thiên đạo sổ tồn tại đích hàm sổ$f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R}$,Khả dĩ định nghĩa kỳHải sâm củ trận:

$H(f)(x)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)\right]$.

$n=2$Thời, hải sâm củ trận${\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}$Đích đặc chinh trị nhất chính nhất phụ, thuyết minh hàm sổ$f(x,y)=x^{2}-y^{2}$Tại$(x=0,y=0)$Xử hữu nhất cáAn điểm( hồng sắc điểm )

Nghiêm cách lai thuyết, cận đương hàm sổ tại mỗ nhất điểm thượng đích nhị giai thiên đạo sổ tồn tại, tài năng định nghĩa giá nhất điểm thượng đích hải sâm củ trận. Hải sâm củ trận cấp xuất liễu hàm sổ tại giá nhất điểm đích biến hóa suất phương diện đích tín tức. Đương cấp định đích điểm$\mathbf {x} =(x_{1},\ldots,x_{n})$Thị hàm sổBình ổn điểm( tức hàm sổ$f$Tại giá nhất điểm thượng đích nhất giai thiên đạo sổ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$Đô thị 0 ) thời, tựu nhu yếu lợi dụng hải sâm củ trận lai tra khán hàm sổ tại giá nhất điểm chu vi đích tăng trường đặc tính. Đa nguyên hàm sổ tại điểm$\mathbf {x}$ĐíchThái lặc triển khaiThị:

$f(x+h)=f(x)+\nabla f(x)\cdot h+{\frac {1}{2}}h^{T}H(f)(x)h+\circ \left(\|x\|^{3}\right)$

Như quả hàm sổ tại điểmxĐích nhất giai thiên đạo sổ đô thị 0, na ma$\nabla f=0$,Sở dĩ hàm sổ tạixPhụ cận đích biến hóa suất thủ quyết vu hải sâm củ trận$H(f)(x)$Đích tính chất. Như quả$H(f)(x)$Thị chính định củ trận, na ma hàm sổ tại điểmxThủ đắc cục bộ tối tiểu trị, như quả thị phụ định củ trận, tắc hàm sổ tạixThủ đắc cục bộ tối đại trị. Tại giá loại tình huống hạ, quan vu hàm sổfĐích điều kiện tối ưu hóa vấn đề khả dĩ chuyển biến vi quan vu hải sâm củ trận đíchNhị thứ quy hoaVấn đề.

Củ trận tại đa nguyên hàm sổ vi tích phân trung đích lánh nhất cá ứng dụng thịNhã khả bỉ củ trận.Hàm sổ$f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$Tại mỗ nhất điểmxThượng đích nhất giai thiên đạo sổ tồn tại thời, khả dĩ định nghĩa tha tại giá điểm thượng đích nhã khả bỉ củ trận:

$J_{f}(x)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$.Như quả$n>m$,Nhi$J_{f}(x)$Hựu thị mãn trật củ trận ( trật đẳng vu$m$) đích thoại, căn cưPhản hàm sổ định lý,Khả dĩ trảo đáo hàm sổ$f$TạixPhụ cận đích nhất cá cục bộ đích phản hàm sổ.

Thiên vi phân phương trìnhLý luận trung, nhị giai nghĩ tuyến tính thiên vi phân phương trình khả dĩ căn cư tối cao thứ thiên đạo hạng hệ sổ cấu thành đích củ trận đích chính định tính phân loại. Giả thiết hữu nhất cá nhị giai nghĩ tuyến tính thiên vi phân phương trình:

$(\mathbf {E} )\qquad \qquad \sum _{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+cf=g\qquad$Tịnh giả thiết$a_{ij}=a_{ji}$

Ký củ trận$\mathbf {A} =\left[a_{ij}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}$.Như quả củ trận$\mathbf {A}$Thị chính định hoặc phụ định củ trận, na ma tựu xưng phương trình$(\mathbf {E} )$Vi thỏa viên hình thiên vi phân phương trình; như quả$\mathbf {A}$Bất khả nghịch, tựu xưng$(\mathbf {E} )$Vi phao vật hình thiên vi phân phương trình, như quả$\mathbf {A}$Khả nghịch nhi thả kháp hữu$n-1$Cá đặc chinh trị đồng hào, tựu xưng$(\mathbf {E} )$Vi song khúc hình thiên vi phân phương trình. Kỳ tha tình huống hạ dã xưng$(\mathbf {E} )$Vi siêu song khúc hình thiên vi phân phương trình. Bất đồng loại hình đích phương trình giải đích hình thức dã bất nhất dạng.

Dụng sổ trị phương pháp giải thiên vi phân phương trình thời canh nhu yếu dụng đáo củ trận. Nhất cá trọng yếu đích phương pháp thịHữu hạn nguyên phương pháp,Tại cầu giải các chủng vật lý trung ngộ đáo đích thiên vi phân phương trình thời quảng phiếm sử dụng. Hữu hạn nguyên phương pháp đích cơ bổn tư tưởng thị dụng nhất hệ liệt “Giản đan” hàm sổ đích tuyến tính tổ hợp lai “Bức cận” thiên vi phân phương trình đích tinh xác giải. Giá ta “Giản đan” hàm sổ thông thường thị chỉ tương cầu giải khu vực phân cát thành nhất định sổ lượng đích “Tiểu khối” hậu, cận tại mỗ nhất “Tiểu khối” thượng phi linh đích phân đoạn tuyến tính hàm sổ. Tuyển định liễu võng cách hòa “Giản đan” hàm sổ hậu, khả dĩ cầu giải quan vuCương độ củ trậnĐích phương trình đắc đáo cận tự giải. Hữu hạn nguyên lý luận trung chứng minh liễu tại mãn túc nhất định đích điều kiện hạ, cận tự giải tương tùy trứ võng cách xu vu tinh tế nhi nhược thu liễm đáo tinh xác giải.

Khái suất luận dữ thống kế

Khái suất luận trung thường dụng đáoTùy cơ củ trận,Tức hành hướng lượng thịKhái suất hướng lượng( tức sở hữu đích nguyên tố đô tại 0 hòa 1 chi gian, tịnh thả gia khởi lai đẳng vu 1 đích hướng lượng ) đích củ trận. Tùy cơ củ trận khả dụng lai định nghĩa hữu hạn khái suất không gian trung đíchMã nhĩ khả phu liên.Thiết tùy cơ biến lượng$X_{n}$Thị mỗ cá mã nhĩ khả phu liên tại$t=n$Thời khắc đích trạng thái, sở hữu khả năng đích trạng thái$S=\left\{s_{1},s_{2},\cdots,s_{m}\right\}$Xưng vi trạng thái không gian, na ma tùy cơ củ trận$M_{n}^{n+1}$Tắc ký lục liễu giả thiết dĩ tri$X_{n}$Đích khả năng tình huống hạ$X_{n+1}$Tố các chủng thủ trị đích khả năng tính.$M_{n}^{n+1}$Đích đệ$i$Hành đệ$j$Liệt thượng đích nguyên tố biểu kỳ đương$X_{n}=s_{j}$Đích thời hầu,$X_{n+1}=s_{i}$Đích khả năng tính.$M_{n}^{n+1}$Đích đệ$j$Hành ký lục liễu tòng$X_{n}=s_{j}$Chuyển di đáo$X_{n+1}$Các chủng trạng thái đích khả năng tính. Sở dĩ$M_{n}^{n+1}$Khiếu tố$t=n$Thời khắc đích chuyển di củ trận. Như quả mã nhĩ khả phu liên đích chuyển di củ trận bất tùy thời khắc biến hóa, tắc xưng vi tề thứ mã nhĩ khả phu liên. Giá thời mã nhĩ khả phu liên đíchHấp dẫn tháiKhả dĩ thông quá kế toán chuyển di củ trận đích đặc chinh hướng lượng đắc đáo.

Thống kế học trung dã hội dụng đáo các chủng bất đồng đích củ trận.Miêu thuật thống kế họcTrung thường thường nhu yếu dụng củ trận đích hình thức lai miêu thuật sổ cư dạng bổn, hiển đắc canh vi khẩn thấu. Kỉ cá tùy cơ biến lượng đíchHiệp phương soa củ trậnBiểu kỳ tha môn chi gian đíchHiệp phương soaQuan hệ, tại mỗ chủng trình độ thượng biểu kỳ liễu tha môn tương hỗ gian đích quan liên trình độ ( đãn bất tuyệt đối ).

Thống kế học trung dụng đáo củ trận đích lánh nhất cá địa phương thịTuyến tính hồi quyTrung đíchTối tiểu nhị thừa phápPhân tích. Đương quan trắc đáo tùy cơ dạng bổn$(Y_{i},X_{i1},\ldots,X_{ip}),\,i=1,\ldots,n$Thời, tuyến tính hồi quy pháp đích mục tiêu thị hi vọng trảo đáo dĩ hạ đích tuyến tính quan hệ:

$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\varepsilon _{i},\qquad i=1,\ldots,n$

Tức tương biến lượng$\mathbf {Y}$Biểu kỳ thành$\mathbf {X}$Đích phân lượng đích tuyến tính tổ hợp dữ nhất cá dĩ tri đích tùy cơ ngộ soa đích hòa. Giá cá biểu kỳ khả dĩ tả thành củ trận đích hình thức, tịnh lợi dụng củ trận đíchKỳ dị trị phân giảiLai phân tích.

Lánh nhất chủng tùy cơ củ trận (random matrix) thị chỉ mỗi cá nguyên tố đô thị tùy cơ biến lượng đích củ trận, giá ta tùy cơ biến lượng khả dĩ đô tuân tuần đồng nhất cá phân bố, hoặc các tự tuân tuần bất đồng đích phân bố. Nhất cá thường kiến đích lệ tử thị toàn bộ nguyên tố đô thị tương hỗ độc lập đích tiêu chuẩnChính thái phân bốTùy cơ biến lượng đích tùy cơ củ trận. Giá chủng tùy cơ củ trận tạiSổ luậnHòaVật lýTrung dã hữu ứng dụng.

Vật lý học thượng đích đối xưng tính cập tuyến tính biến hoán

Canh đa tín tức:Đối xưng tính ( vật lý học )

Tuyến tính biến hoán cập kỳ sở đối ứng đíchĐối xưng,Tại hiện đại vật lý học trung hữu trứ trọng yếu đích giác sắc. Lệ như, tạiLượng tử tràng luậnTrung,Cơ bổn lạp tửThị do hiệp nghĩa tương đối luận đíchLạc luân tư quầnSở biểu kỳ, cụ thể lai thuyết, tức tha môn tạiToàn lượng quầnHạ đích biểu hiện. Nội hàmPhao lợi củ trậnCập canh thông dụng đíchĐịch lạp khắc củ trậnĐích cụ thể biểu kỳ, tạiPhí mễ tửĐích vật lý miêu thuật trung, thị nhất hạng bất khả hoặc khuyết đích cấu thành bộ phân, nhi phí mễ tử đích biểu hiện khả dĩ dụngToàn lượngLai biểu thuật.Miêu thuật tối khinh đích tam chủngKhoa khắcThời, nhu yếu dụng đáo nhất chủng nội hàmĐặc thù dậu quầnSU(3) đích quần luận biểu kỳ; vật lý học gia tại kế toán thời hội dụng nhất chủng canh giản tiện đích củ trận biểu kỳ, khiếuCái nhĩ mạn củ trận,Giá chủng củ trận dã bị dụng tác SU(3)Quy phạm quần,Nhi cường hạch lực đích hiện đại miêu thuật ──Lượng tử sắc động lực họcĐích cơ sở chính thị SU(3). Hoàn hữuTạp bỉ bác - tiểu lâm - ích xuyên củ trận( CKM củ trận ): TạiNhược tương hỗ tác dụngTrung trọng yếu đích cơ bổn khoa khắc thái, dữ chỉ định lạp tử gian bất đồngChất lượngĐích khoa khắc thái bất nhất dạng, đãn lưỡng giả khước thị thành tuyến tính quan hệ, nhi CKM củ trận sở biểu đạt đích tựu thị giá nhất điểm.

Lượng tử thái đích tuyến tính tổ hợp

1925 niên hải sâm bảo đề xuất đệ nhất cáLượng tử lực họcMô hình thời, sử dụng liễu vô hạn duy củ trận lai biểu kỳ lý luận trung tác dụng tại lượng tử thái thượng đích toán tử.Giá chủng tố pháp tạiCủ trận lực họcTrung dã năng kiến đáo. Lệ nhưMật độ củ trậnTựu thị dụng lai khắc họa lượng tử hệ thống trung “Thuần”Lượng tử tháiĐích tuyến tính tổ hợp biểu kỳ đích “Hỗn hợp” lượng tử thái.

Lánh nhất chủng củ trận thị dụng lai miêu thuật cấu thành thật nghiệm lạp tử vật lý cơ thạch đích tán xạ thật nghiệm đích trọng yếu công cụ. Đương lạp tử tạiGia tốc khíTrung phát sinh bính chàng, nguyên bổn một hữu tương hỗ tác dụng đích lạp tử tại cao tốc vận động trung tiến nhập kỳ tha lạp tử đích tác dụng khu, động lượng cải biến, hình thành nhất hệ liệt tân đích lạp tử. Giá chủng bính chàng khả dĩ giải thích vi kết quả lạp tử trạng thái hòa nhập xạ lạp tử trạng thái tuyến tính tổ hợp đích tiêu lượng tích. Kỳ trung đích tuyến tính tổ hợp khả dĩ biểu đạt vi nhất cá củ trận, xưng viS củ trận,Kỳ trung ký lục liễu sở hữu khả năng đích lạp tử gian tương hỗ tác dụng.

Giản chính mô thức

Củ trận tại vật lý học trung đích lánh nhất loại phiếm ứng dụng thị miêu thuật tuyến tính ngẫu hợp điều hòa hệ thống. Giá loại hệ thống đíchVận động phương trìnhKhả dĩ dụng củ trận đích hình thức lai biểu kỳ, tức dụng nhất cá chất lượng củ trận thừa dĩ nhất cá quảng nghĩa tốc độ lai cấp xuất vận động hạng, dụng lực củ trận thừa dĩ vị di hướng lượng lai khắc họa tương hỗ tác dụng. Cầu hệ thống đích giải đích tối ưu phương pháp thị tương củ trận đích đặc chinh hướng lượng cầu xuất ( thông quáĐối giác hóaĐẳng phương thức ), xưng vi hệ thống đíchGiản chính mô thức.Giá chủng cầu giải phương thức tại nghiên cứu phân tử nội bộ động lực học mô thức thời thập phân trọng yếu: Hệ thống nội bộ do hóa học kiện kết hợp đích nguyên tử đích chấn động khả dĩ biểu kỳ thành giản chính chấn động mô thức đích điệp gia.Miêu thuật lực học chấn động hoặc điện lộ chấn đãng thời, dã nhu yếu sử dụng giản chính mô thức cầu giải.

Kỉ hà quang học

TạiKỉ hà quang họcLí, khả dĩ trảo đáo ngận đa nhu yếu dụng đáo củ trận đích địa phương. Kỉ hà quang học thị nhất chủng hốt lược liễuQuang ba ba động tínhĐích cận tự lý luận, giá lý luận đích mô hình tương quang tuyến thị vi kỉ hàXạ tuyến.Thải dụngCận trục cận tự,Giả nhược quang tuyến dữQuang trụcChi gian đích giáp giác ngận tiểu, tắcThấu kínhHoặcPhản xạNguyên kiện đối ô quang tuyến đích tác dụng, khả dĩ biểu đạt vi 2×2 củ trận dữ hướng lượng đích thừa tích. Giá hướng lượng đích lưỡng cá phân lượng thị quang tuyến đích kỉ hà tính chất ( quang tuyến đíchTà suất,Quang tuyến cân quang trục chi gian tạiChủ bình diệnĐích thùy trực cự ly ). Giá củ trận xưng viQuang tuyến truyện thâu củ trận,Nội trung nguyên tố biên mã liễu quang học nguyên kiện đích tính chất. Đối ô chiết xạ, giá củ trận hựu tế phân vi lưỡng chủng: “Chiết xạ củ trận” dữ “Bình di củ trận”. Chiết xạ củ trận miêu thuật quang tuyến ngộ đáo thấu kính đích chiết xạ hành vi. Bình di củ trận miêu thuật quang tuyến tòng nhất cá chủ bình diện truyện bá đáo lánh nhất cá chủ bình diện đích bình di hành vi.

Do nhất hệ liệt thấu kính hoặc phản xạ nguyên kiện tổ thành đích quang học hệ thống, khả dĩ ngận giản đan địa dĩ đối ứng đích củ trận tổ hợp lai miêu thuật kỳ quang tuyến truyện bá lộ kính.

Điện tử học

TạiĐiện tử họcLí, truyện thống đíchVõng mục phân tíchHoặcTiết điểm phân tíchHội hoạch đắc nhất cáTuyến tính phương trình tổ,Giá khả dĩ dĩ củ trận lai biểu kỳ dữ kế toán.

Ngận đa chủng điện tử nguyên kiện đích điện lộ hành vi khả dĩ dụng củ trận lai miêu thuật. Thiết định$A$Vi thâu nhập hướng lượng, kỳ lưỡng cá phân lượng vi thâu nhập điện áp$v_{1}$Dữ thâu nhập điện lưu$i_{1}$.Thiết định$B$Vi thâu xuất hướng lượng, kỳ lưỡng cá phân lượng vi thâu xuất điện áp$v_{2}$Dữ thâu xuất điện lưu$i_{2}$.Giá điện tử nguyên kiện đích điện lộ hành vi khả dĩ miêu thuật vi$B=H\cdot A$;Kỳ trung,$H$Thị 2×2 củ trận, nội hữu nhất cáTrở khángNguyên tố$h_{12}$,Nhất cáĐạo nạpNguyên tố$h_{21}$,Lưỡng cáVô lượng cươngNguyên tố$h_{11}$Dữ$h_{22}$.Giá dạng, điện lộ đích kế toán khả dĩ ước hóa vi củ trận kế toán.

Tham kiến

• Củ trận luận chuyên hữu danh từ biểu:Hữu quan củ trận luận sở dụng đáo đích danh từ đích định nghĩa
• Phương khối củ trận
• Củ trận phạm sổ
• Nhã khả bỉ củ trận

Chú thích dữ tham khảo

Tham khảo văn hiến

• Arnold, Vladimir I.; Cooke, Roger, Ordinary differential equations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 1992,ISBN978-3-540-54813-3
• Artin, Michael, Algebra, Prentice Hall, 1991,ISBN978-0-89871-510-1
• Association for Computing Machinery, Computer Graphics, Tata McGraw–Hill, 1979,ISBN978-0-07-059376-3
• Baker, Andrew J., Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 2003,ISBN978-1-85233-470-3
• Bau III, David; Trefethen, Lloyd N., Numerical linear algebra, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997,ISBN978-0-89871-361-9
• Bretscher, Otto, Linear Algebra with Applications 3rd, Prentice Hall, 2005
• Vương ngạc phương, cao đẳng đại sổ giáo trình đệ 1 bản, thanh hoa đại học xuất bản xã, 1997,ISBN9787302024521
• Bronson, Richard, Schaum's outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGraw–Hill, 1989,ISBN978-0-07-007978-6
• Brown, William A., Matrices and vector spaces, New York, NY: M. Dekker, 1991,ISBN978-0-8247-8419-5
• Coburn, Nathaniel, Vector and tensor analysis, New York, NY: Macmillan, 1955,OCLC 1029828
• Conrey, J. Brian, Ranks of elliptic curves and random matrix theory,Cambridge University Press,2007,ISBN978-0-521-69964-8
• Fudenberg, Drew; Tirole, Jean, Game Theory, MIT Press, 1983
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S., Elliptic partial differential equations of second order 2nd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 2001,ISBN978-3-540-41160-4
• Godsil, Chris; Royle, Gordon, Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics207,Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 2004,ISBN978-0-387-95220-8
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F., Matrix Computations 3rd, Johns Hopkins, 1996,ISBN978-0-8018-5414-9
• Greub, Werner Hildbert, Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 1975,ISBN978-0-387-90110-7
• Guenther, Robert D., Modern Optics, John Wiley, 1990,ISBN0-471-60538-7
• Halmos, Paul Richard, A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics192nd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 1982,ISBN978-0-387-90685-0,MR 0675952
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985,ISBN978-0-521-38632-6
• Householder, Alston S., The theory of matrices in numerical analysis, New York, NY: Dover Publications, 1975,MR 0378371
• Krzanowski, Wojtek J., Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series3,The Clarendon Press Oxford University Press, 1988,ISBN978-0-19-852211-9,MR 0969370
• Itõ, Kiyosi ( biên ), Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV 2nd, MIT Press, 1987,ISBN978-0-262-09026-1,MR 0901762
• Ash, Robert B.,A Course In Algebraic Number Theory(PDF),Dept. of Mathematics, University of Illinois,[2012-04-15],( nguyên thủy nội dungTồn đương(PDF)Vu 2017-05-18 )
• Lang, Serge, Analysis II, Addison-Wesley, 1969
• Lang, Serge, Calculus of several variables 3rd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 1987a,ISBN978-0-387-96405-8
• Lang, Serge, Linear algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 1987b,ISBN978-0-387-96412-6
• Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan, Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling 1st, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999,ISBN978-0-89871-425-8
• Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich, Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, 1999,ISBN978-0-262-13360-9
• Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K., Stochastic processes, New York, NY: McGraw–Hill, 1978,ISBN978-0-07-096612-3
• Mirsky, Leonid,An Introduction to Linear Algebra,Courier Dover Publications, 1990,ISBN978-0-486-66434-7
• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J., Numerical Optimization 2nd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag: 449, 2006,ISBN978-0-387-30303-1
• Bohm, Arno, Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, 2001,ISBN0-387-95330-2
• Burgess, Cliff; Moore, Guy, The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, 2007,ISBN0-521-86036-9
• Guenther, Robert D., Modern Optics, John Wiley, 1990,ISBN0-471-60538-7
• Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard, Quantum Field Theory, McGraw–Hill, 1980,ISBN0-07-032071-3
• Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J., Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 1997,ISBN0-521-55506-X
• Schiff, Leonard I., Quantum Mechanics 3rd, McGraw–Hill, 1968
• Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, 1995,ISBN0-521-55001-7
• Wherrett, Brian S., Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice–Hall International, 1987,ISBN0-13-365461-3
• Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul, Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 2006,ISBN978-1-4020-4530-1
• Lâm chí hưng; dương trung bằng, dữ cấp định củ trận A đích khả giao hoán tử hoàn C(A) đích nhất ta tham thảo, phủ điền học viện học báo, 2010 niên, 17(2), 2010
• Oualline, Steve, Practical C++ programming,O'Reilly,2003,ISBN978-0-596-00419-4
• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T., LU Decomposition and Its Applications,Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing(PDF)2nd, Cambridge University Press: 34–42, 1992, (Nguyên thủy nội dung(PDF)Tồn đương vu 2009-09-06 )
• Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory, The traveling salesman problem and its variations, Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 2002,ISBN978-1-4020-0664-7
• Reichl, Linda E., The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 2004,ISBN978-0-387-98788-0
• Rowen, Louis Halle, Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, RI:American Mathematical Society,2008,ISBN978-0-8218-4153-2
• Šolin, Pavel, Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, 2005,ISBN978-0-471-76409-0
• Stinson, Douglas R., Cryptography, Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, 2005,ISBN978-1-58488-508-5
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland, Introduction to Numerical Analysis 3rd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 2002,ISBN978-0-387-95452-3
• Ward, J. P., Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications403,Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group, 1997,ISBN978-0-7923-4513-8,MR 1458894
• ( trung văn )Cư dư mã; lâm thúy cầm, tuyến tính đại sổ, thanh hoa đại học xuất bản xã, 2002,ISBN978-7-302-06507-4
• ( trung văn )Khắc lai nhân, mạc lí tư; trứ, trương lý kinh, trương cẩm viêm,Giang trạch hàmDịch, 《 cổ kim sổ học tư tưởng 》 đệ tam quyển, thượng hải khoa học kỹ thuật xuất bản xã, 2002,ISBN7-5323-6172-1
• Wolfram, Stephen, The Mathematica Book 5th, Champaign, IL: Wolfram Media, 2003,ISBN978-1-57955-022-6
• Thankappan, V. K., Quantum Mechanics 2nd, New Age International, 1993,ISBN9788122405262
• Faliva, Mario; Zoia, Maria Grazia, Dynamic Model Analysis: Advanced Matrix Methods and Unit-Root Econometrics Representation Theorems 2nd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag: 218, 2008,ISBN9783540859956
• Y trạch nhĩ lai tư, lưu hiểu diễm, lưu học thâm dịch, vi phân phương trình sổ trị phân tích cơ sở giáo trình, thanh hoa đại học xuất bản xã, 2005,ISBN9787302106524
• Đổng khả vinh, củ trận lý luận đích lịch sử nghiên cứu, 《 sơn đông đại học 》, 2007
• Bôcher, Maxime, Introduction to higher algebra, New York, NY: Dover Publications, 2004,ISBN978-0-486-49570-5
• Cayley, Arthur,The collected mathematical papers of Arthur Cayley,I (1841–1853), Cambridge University Press: 123–126, 1889
• Dieudonné, Jean( biên ), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900, Paris, FR: Hermann, 1978
• Hawkins, Thomas, Cauchy and the spectral theory of matrices, Historia Mathematica, 1975,2:1–29,ISSN 0315-0860,MR 0469635,doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4
• Knobloch, Eberhard, From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations, The intersection of history and mathematics, Science Networks Historical Studies15,Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser: 51–66, 1994,MR 1308079
• Kronecker, Leopold,Hensel, Kurt,Biên,Leopold Kronecker's Werke,Teubner, 1897
• Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut, The Historical Development of Quantum Theory 1st, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, 1987,ISBN978-0-387-96284-9
• Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung, Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary 2nd, Oxford University Press, 1999,ISBN978-0-19-853936-0
• Weierstrass, Karl,Collected works3,1915[2012-05-06],( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2008-10-11 )

Ngoại bộ liên tiếp

Bách khoa toàn thư

• Hazewinkel, Michiel ( biên ),Matrix,Sổ học bách khoa toàn thư,Springer,2001,ISBN978-1-55608-010-4

Lịch sử

• MacTutor: Matrices and determinants(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán)
• Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán)
• Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán)

Tại tuyến thư tịch

• Kaw, Autar K.,Introduction to Matrix Algebra,[2015-01-10],ISBN978-0-615-25126-4,( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2008-08-08 )
• The Matrix Cookbook(PDF),[2014-03-24],( nguyên thủy nội dungTồn đương(PDF)Vu 2013-12-12 )
• Brookes, Mike,The Matrix Reference Manual,London:Imperial College,2005[2008-12-10],( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2021-03-22 )

Tuyến thượng củ trận kế toán khí

• Matrix Calculator (DotNumerics),[2015-01-10],(Nguyên thủy nội dungTồn đương vu 2014-09-04 )
• Xiao, Gang,Matrix calculator,[2008-12-10],( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2020-06-12 )
• Online matrix calculator,[2008-12-10],(Nguyên thủy nội dungTồn đương vu 2008-12-12 )
• Online matrix calculator (ZK framework),[2009-11-26],(Nguyên thủy nội dungTồn đương vu 2013-05-12 )
• Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher,MacAnova,University of Minnesota,School of Statistics,[2008-12-10],( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2021-03-22 ),a freeware package for matrix algebra and statistics
• Online matrix calculator,[2009-12-14],( nguyên thủy nội dungTồn đươngVu 2021-04-27 )
• Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán)