Tích phân

“Khúc tuyến hạ diện tích”Trọng định hướng chí thử. Quan vu huyết tương trung dược vật nùng độ tùy thời gian đích định tích phân, thỉnh kiến “Khúc tuyến hạ diện tích ( dược vật đại tạ động lực học )”.

Đề kỳ:Thử điều mục hiệt đích chủ đề bất thịĐắc phân.

Tích phân( anh ngữ:Integral) thịVi tích phânHọc dữSổ học phân tíchLí đích nhất cá hạch tâm khái niệm. Thông thường phân viĐịnh tích phânHòaBất định tích phânLưỡng chủng. Trực quan địa thuyết, đối vu nhất cá cấp định đíchChínhThật trịHàm sổ$f(x)$,$f(x)$Tại nhất cá thật sổKhu gian$[a,b]$Thượng đích định tích phân

$$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$$

Khả dĩ tạiSổ trịThượng lý giải vi tại$\textstyle Oxy$Tọa tiêu bình diện thượng, doKhúc tuyến$(x,f(x))$($x\in [a,b]$), trực tuyến$x=a$,$x=b$Dĩ cập$x$Trục vi thành đíchKhúc biên thê hìnhĐíchDiện tíchTrị.

Hàm sổ$f(x)$Đích định tích phân thị hàm sổ dữ x trục vi thành đích khúc biên thê hình đích hữu hướng diện tích: Tại x trục thượng phương ( lam sắc ) đích diện tích vi chính, hạ phương ( hoàng sắc ) đích diện tích vi phụ.

$f(x)$ĐíchBất định tích phân( hoặc nguyên hàm sổ ) thị chỉ nhậm hà mãn túcĐạo sổThị hàm sổ$f(x)$ĐíchHàm sổ$F(x)$.Nhất cá hàm sổ$f(x)$Đích bất định tích phân bất thị duy nhất đích: Chỉ yếu$F(x)$Thị$f(x)$Đích bất định tích phân, na ma dữ chi tương soa nhất cá thường sổ đích hàm sổ$F(x)+C$Dã thị$f$Đích bất định tích phân.

Vi tích phân cơ bổn định lýThị vi tích phân học trung đích nhất điều trọng yếu định lý, doNgải tát khắc · ngưu đốnHòaQua đặc phất lí đức · uy liêm · lai bố ni tìTại thập thất thế kỷ phân biệt độc lập phát hiện.Vi tích phân cơ bổn định lýTương tích phân dữVi phânKiến lập liên hệ, thông quá trảo xuất nhất cá hàm sổ đích nguyên hàm sổ, tức khả phương tiện địa kế toán tha tại nhất cá khu gian thượng đích tích phân. Tích phân hòaĐạo sổDĩ thành vi cao đẳng sổ học trung tối cơ bổn đích công cụ, tịnh tại tự nhiên khoa học hòa công trình học trung đắc đáo quảng phiếm vận dụng.

Tích phân đích nhất cá nghiêm cách đích sổ học định nghĩa doBa ân cáp đức · lê mạnCấp xuất, nhân thử tập quán thượng ngã môn thường kiến đích tích phân dã xưng vi “Lê mạn tích phân”.Lê mạn đích định nghĩa vận dụng liễu cực hạn đích khái niệm, bả khúc biên thê hình thiết tưởng vi nhất hệ liệt củ hình tổ hợp đích cực hạn. Tòng thập cửu thế kỷ khởi, canh cao cấp đích tích phân định nghĩa trục tiệm xuất hiện, hữu liễu đối các chủng tích phânKhu gianThượng đích các chủng loại hình đích hàm sổ đích tích phân.ĐốiVi phân hình thứcĐích tích phân thịVi phân kỉ hàTrung đích cơ bổn khái niệm.

Đối tích phân khái niệm đích thôi quảng lai tự vuVật lý họcĐích nhu yếu, tịnh thể hiện tại hứa đa trọng yếu đích vật lý định luật trung, vưu kỳ thịĐiện động lực học.Hiện đại đích tích phân khái niệm cơ vuTrắc độ luận,Chủ yếu thị doNgang lợi · lặc bối cáchKiến lập đíchLặc bối cách tích phân.

Giản giới

Hàm sổ$f$Tại khu gian [0,1] thượng tích phân đích cận tự■Cực đại trị ( 5 bộ phân ) hòa■Cực tiểu trị ( 12 bộ phân )

Tích phân phát triển đích động lực nguyên tự thật tế ứng dụng trung đích nhu cầu. Thật tế thao tác trung, hữu thời hầu khả dĩ dụng thô lược đích phương thức tiến hành cổ toán nhất ta vị tri lượng, đãn tùy trứ khoa kỹ đích phát triển, ngận đa thời hầu nhu yếu tri đạo tinh xác đích sổ trị. Yếu cầu giản đan kỉ hà hình thể đích diện tích hoặc thể tích, khả dĩ sáo dụng dĩ tri đích công thức.Đãn như quả du vịnh trì thị noãn hình, phao vật hình hoặc canh gia bất quy tắc đích hình trạng, tựu nhu yếu dụng tích phân lai cầu xuất dung tích. Vật lý học trung, thường thường nhu yếu tri đạo nhất cá vật lý lượng ( bỉ nhưVị di) đối lánh nhất cá vật lý lượng ( bỉ nhưLực) đích luy tích hiệu quả, giá thời dã nhu yếu dụng đáo tích phân.

Thập ma thị tích phân ( động họa

Ngã môn dĩ hạ diện giá cá vấn đề tác vi giới thiệu tích phân khái niệm đích khai thủy:

Khảo lựBình phương cănHàm sổ$f:\,x\mapsto {\sqrt {x}}$,Kỳ trung$x\in [0,\,1]$.Tại khu gian [0,1] thượng, hàm sổ$f$“Hạ phương” đích diện tích thị đa thiếu?

Vấn đề trung đích “Hạ phương” diện tích, thị chỉ hàm sổ$y=f(x)$Đích đồ tượng dữ x trục chi gian đích bộ phân đích diện tích$S$( kiến hữu đồ ). Ngã môn bả giá cá diện tích xưng vi hàm sổ$f$Tại khu gian [0,1] thượng đích tích phân, tả tác:

$S=\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,\mathrm {d} x\,\!.$

Kỳ trung đích$\mathrm {d} x$Xưng viTích phân biến lượng,Biểu kỳ yếu cầu diện tích đích phạm vi thị dụng tọa tiêu trục hoành trục đích khắc độ kế toán;$\int _{0}^{1}$Tắc biểu kỳ tòng 0 khai thủy toán khởi, đáo 1 vi chỉ, xưng viTích phân phạm viHoặcTích phân vực,Kỳ trung 0 xưng viTích phân hạ giới,1 xưng viTích phân thượng giới,$\int$Khiếu tốTích phân hào,Thị tòng lạp trường đích tự mẫu SDiễn biến quá lai đích. Hàm sổ${\sqrt {x}}$Tả tại trung gian, xưng viBị tích hàm sổ.

Cải tiến đích phương pháp thị dụng canh đa đích tiểu phương khuông lai tương hàm sổ đồ tượng “Phúc cái”, như hữu đồ trung đích tố pháp, tựu thị tương tọa tiêu trục hoành trục [0,1] đẳng phân thành 5 cá bộ phân: [0,0.2), [0.2,0.4), [0.4,0.6), [0.6,0.8), [0.8,1], nhiên hậu mỗi nhất bộ phân thượng phóng nhất cá hoàng sắc đích trường phương hình ( kiến hữu đồ■). Giá 5 cá trường phương hình đích cao độ phân biệt thị hàm sổ tại mỗi cá bộ phân đích cực đại trị ( dã tựu thị tối hữu trắc đích trị ):${\sqrt {0.2}}$,${\sqrt {0.4}}$,${\sqrt {0.6}}$,${\sqrt {0.8}}$,$1$.Giá dạng hàm sổ hạ phương đích bộ phân tựu bị 5 cá hoàng sắc trường phương hình phúc cái liễu, sở dĩ diện tích$S$Tiểu vu 5 cá hoàng sắc trường phương hình diện tích chi hòa:

${\sqrt {0.2}}\left(0.2-0\right)+{\sqrt {0.4}}\left(0.4-0.2\right)+{\sqrt {0.6}}\left(0.6-0.4\right)+{\sqrt {0.8}}\left(0.8-0.6\right)+{\sqrt {1}}\left(1-0.8\right)\approx 0.7497.\,\!$

Cầu xuất liễu$S$Đích thượng hạn chi hậu, dụng loại tự đích phương pháp khả dĩ cầu$S$Đích hạ hạn. Đồng dạng thị tương tọa tiêu trục đẳng phân thành nhược càn bộ phân, nhiên hậu tại mỗi cá bộ phân phóng thượng trường phương hình, bất quá giá thời hầu trường phương hình đích cao độ nhu yếu thị hàm sổ tại giá cá bộ phân đích tối tiểu trị, dã tựu thị tối tả trắc đích trị. Bỉ như, như quả tương hoành trục đẳng phân thành 12 cá bộ phân, nhiên hậu án chiếu dĩ thượng đích phương pháp phóng thượng lục sắc trường phương hình ( như hữu đồ■), na ma tòng đồ trung khả dĩ khán xuất,$S$Tất định đại vu lục sắc trường phương hình diện tích chi hòa:

${\sqrt {\frac {0}{12}}}\left({\frac {1}{12}}-0\right)+{\sqrt {\frac {1}{12}}}\left({\frac {2}{12}}-{\frac {1}{12}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {11}{12}}}\left(1-{\frac {11}{12}}\right)\approx 0.6203.\,\!$

Vu thị, diện tích$S$Đích thủ trị giới vu 0.6203 hòa 0.7497 chi gian. Yếu thủ đắc canh gia tinh xác đích cổ kế, khả dĩ tương hoành trục tế phân thành canh đa đích bộ phân, tịnh án chiếu đồng dạng đích phương pháp phóng trí trường phương hình, kế toán trường phương hình đích diện tích chi hòa. Tùy trứ trường phương hình việt lai việt đa, mỗi cá trường phương hình việt lai việt “Tế”, kế toán xuất đích$S$Đích phạm vi hội việt lai việt trách, tối hậu đắc xuất$S$Đích tinh xác trị.

Dĩ thượng đích phương pháp khả năng xuất hiện đích “Lậu động”, thị sở vị đích “Thủ trị phạm vi” bất nhất định hội việt lai việt tiểu, tối hậu tụ tập đáo đồng nhất cá trị thượng. Tuy nhiên trực quan thượng lai thuyết, do vu hàm sổ hạ phương đích đồ hình diện tích thị xác định đích, chỉ yếu bất đoạn địa dụng tương tự đích hình trạng “Bức cận”, tối hậu tổng hội xu hướng hàm sổ hạ phương đồ hình đíchChân thật diện tích.Nhiên nhi, đối vu mỗ ta “Bệnh thái” đích hàm sổ, dĩ thượng đích phương pháp thị vô pháp đắc đáo xác định đích sổ trị đích. Thập cửu thế kỷ đích sổ học giaBa ân cáp đức · lê mạnChứng minh liễu, đối vu mãn túc mỗ ta điều kiện đích lương thái hàm sổ, dĩ thượng đích phương pháp nhất định năng cầu xuất hàm sổ hạ phương đích diện tích. Hiện đại đích sổ học gia tương giá chủng phương pháp cầu xuất đích diện tích xưng viLê mạn tích phân,Tịnh cấp xuất liễu nghiêm cách đích định nghĩa ( kiến# nghiêm cách định nghĩaNhất tiết ). Đối vu na ta vô pháp dụng lê mạn đích phương pháp định nghĩa “Hàm sổ hạ phương đồ hình diện tích” đích hàm sổ, lê mạn chi hậu đích sổ học gia phát triển xuất liễu nhất ta canh khoan phiếm đích định nghĩa, nhượng giá ta hàm sổ dã năng định nghĩa tích phân.

Thuật ngữ hòa tiêu ký

Như quả nhất cá hàm sổ đích tích phân tồn tại, tịnh thả hữu hạn, tựu thuyết giá cá hàm sổ thịKhả tích đích.Nhất bàn lai thuyết, bị tích hàm sổ bất nhất định chỉ hữu nhất cáBiến lượng,Tích phân vực dã khả dĩ thị bất đồngDuy độĐích không gian, thậm chí thị một hữu trực quan kỉ hà ý nghĩa đích trừu tượng không gian. Như đồng thượng diện giới thiệu đích, đối vu chỉ hữu nhất cá biến lượng$x$Đích thật trị hàm sổ$f$,$f$Tại bế khu gian$[a,b]$Thượng đích tích phân ký tác

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.$

Kỳ trung đích$\mathrm {d} x$Trừ liễu biểu kỳ$x$Thị$f$Trung yếu tiến hành tích phân đích na cá biến lượng (Tích phân biến lượng) chi ngoại, hoàn khả dĩ biểu kỳ bất đồng đích hàm nghĩa. Tại lê mạn tích phân trung,$\mathrm {d} x$Biểu kỳ phân cát khu gian đích tiêu ký; tạiLặc bối cách tích phânTrung, biểu kỳ nhất cáTrắc độ;Hoặc cận cận biểu kỳ nhất cá độc lập đích lượng (Vi phân hình thức). Nhất bàn đích khu gian hoặc giả tích phân phạm vi$J$,$J$Thượng đích tích phân khả dĩ ký tác$\int _{J}f(x)\,\mathrm {d} x.$

Như quả biến lượng bất chỉ nhất cá, bỉ như thuyết tạiNhị trọng tích phânTrung, hàm sổ$f(x,y)\,\!$Tại khu vực D thượng đích tích phân ký tác

$\iint _{D}f(x,y)\,\!\,\mathrm {d} \sigma$Hoặc giả$\iint _{D}f(x,y)\,\!\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

Kỳ trung$\mathrm {d} \sigma$Dữ khu vực D đối ứng, thị tương ứng tích phân vực trung đíchVi phân nguyên.

Nghiêm cách định nghĩa

Định nghĩa tích phân đích phương pháp bất chỉ nhất chủng, các chủng định nghĩa chi gian dã bất thị hoàn toàn đẳng giới đích. Kỳ trung đích soa biệt chủ yếu thị tại định nghĩa mỗ ta đặc thù đích hàm sổ: Tại mỗ ta tích phân đích định nghĩa hạ giá ta hàm sổ bất khả tích phân, đãn tại lánh nhất ta định nghĩa chi hạ tha môn đích tích phân tồn tại. Nhiên nhi hữu thời dã hội nhân vi giáo học đích nguyên nhân tạo thành định nghĩa thượng đích soa biệt. Tối thường kiến đích tích phân định nghĩa thịLê mạn tích phânHòaLặc bối cách tích phân.

Lê mạn tích phân

Chủ điều mục:Lê mạn tích phân

Tại bế khu gian thượng thủ định nhất cá ( bất quy tắc đích ) thủ dạng phân cát hậu hoạch đắc đích lê mạn hòa

Lê mạn tích phân đắc danh vu đức quốc sổ học giaBa ân cáp đức · lê mạn,Kiến lập tại hàm sổ tại khu gian thủ dạng phân cát hậu đích lê mạn hòa chi thượng. Thiết hữuBế khu gian$[a,b]$,Na ma$[a,b]$Đích nhất cáPhân cátThị chỉ tại thử khu gian trung thủ nhất cá hữu hạn đích điểm liệt$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$.Mỗi cá bế khu gian$[x_{i},x_{i+1}]$Khiếu tố nhất cá tử khu gian. Định nghĩa$\lambda$Vi giá ta tử khu gian trường độ đích tối đại trị:$\lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})$,Kỳ trung$0\leq i\leq n-1$.Nhi bế khu gian$[a,b]$Thượng đích nhất cáThủ dạng phân cátThị chỉ tại tiến hành phân cát$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$Hậu, vu mỗi nhất cá tử khu gian trung$[x_{i},x_{i+1}]$Thủ xuất nhất điểm$x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}$.

Xác định đích tử khu gian thượng bất đồng đích thủ dạng phương thức cấu thành đích lê mạn hòa:■Hữu đoan trị,■Cực tiểu trị,■Cực đại trị,■Tả đoan trị.

Đối nhất cá tại bế khu gian$[a,b]$Hữu định nghĩa đích thật trị hàm sổ$f$,$f$Quan vu thủ dạng phân cát$x_{0},\ldots,x_{n}$,$t_{0},\ldots,t_{n-1}$ĐíchLê mạn hòaĐịnh nghĩa vi dĩ hạ hòa thức:

$\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})$

Hòa thức trung đích mỗi nhất hạng thị tử khu gian trường độ$x_{i+1}-x_{i}$Dữ tại$t_{i}$Xử đíchHàm sổ trị$f(t_{i})$Đích thừa tích. Trực quan địa thuyết, tựu thị dĩ tiêu ký điểm$t_{i}$Đáo X trục đíchCự lyVi cao, dĩ phân cát đích tử khu gian vi trường đíchCủ hìnhĐích diện tích.

Tối giản đan đích thủ dạng phân cát phương pháp thị tương khu gian quân quân địa phân thành nhược càn cá trường độ tương đẳng đích tử khu gian, nhiên hậu tại mỗi cá tử khu gian thượng án tương đồng đích chuẩn tắc thủ đắc tiêu ký điểm. Lệ như thủ mỗi cá tử khu gian hữu đoan$t_{i}=x_{i+1}$( kiến tả đồ tả thượng giác ) hoặc giả thủ mỗi cá tử khu gian thượng hàm sổ đích cực đại trị đối ứng đích$t_{i}$( tả đồ tả hạ giác ) đẳng đẳng. Bất đồng đích thủ dạng phân cát phương thức đắc đáo đích lê mạn hòa nhất bàn đô bất tương đồng, nhi như quả đương$\lambda$Túc cú tiểu đích thời hầu, sở hữu đích lê mạn hòa đô xu vu mỗ cáCực hạn,Na ma giá cá cực hạn tựu khiếu tố hàm sổ$f$Tại bế khu gian$[a,b]$Thượng đích lê mạn tích phân. Tức,$S$Thị hàm sổ$f$Tại bế khu gian$[a,b]$Thượng đích lê mạn tích phân, đương thả cận đương đối vu nhậm ý đích$\epsilon >0$,Đô tồn tại$\delta >0$,Sử đắc đối vu nhậm ý đích thủ dạng phân cát$x_{0},\ldots,x_{n}$,$t_{0},\ldots,t_{n-1}$,Chỉ yếu tha đích tử khu gian trường độ tối đại trị$\lambda \leq \delta$,Tựu hữu:

$\left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon.\,$

Dã tựu thị thuyết, đối vu nhất cá hàm sổ$f$,Như quả tại bế khu gian$[a,b]$Thượng, vô luận chẩm dạng tiến hành thủ dạng phân cát, chỉ yếu tha đích tử khu gian trường độ tối đại trị túc cú tiểu, hàm sổ$f$Đích lê mạn hòa đô hội xu hướng vu nhất cá xác định đích trị$S$,Na ma$f$Tại bế khu gian$[a,b]$Thượng đích lê mạn tích phân tồn tại, tịnh thả định nghĩa vi lê mạn hòa đích cực hạn$S$.Giá thời hầu xưng hàm sổ$f$ViLê mạn khả tíchĐích. Tương$f$Tại bế khu gian$[a,b]$Thượng đích lê mạn tích phân ký tác:

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x.$

Lặc bối cách tích phân

Chủ điều mục:Lặc bối cách tích phân

Lặc bối cách tích phân đích xuất hiện nguyên vuKhái suất luậnĐẳng lý luận trung đối canh vi bất quy tắc đích hàm sổ đích xử lý nhu yếu. Lê mạn tích phân vô pháp xử lý giá ta hàm sổ đích tích phân vấn đề. Nhân thử, nhu yếu canh viQuảng nghĩa hóaĐích tích phân khái niệm, sử đắc canh đa đích hàm sổ năng cú định nghĩa tích phân. Đồng thời, đối vu lê mạn khả tích đích hàm sổ, tân tích phân đích định nghĩa bất ứng đương dữ chi trùng đột. Lặc bối cách tích phân tựu thị giá dạng đích nhất chủng tích phân. Lê mạn tích phân đốiSơ đẳng hàm sổHòa phân đoạn liên tục đích hàm sổ định nghĩa liễu tích phân đích khái niệm, lặc bối cách tích phân tắc tương tích phân đích định nghĩa thôi quảng đáoTrắc độ không gianLí.

Lặc bối cách tích phân đích khái niệm định nghĩa tạiTrắc độĐích khái niệm thượng. Trắc độ thị nhật thường khái niệm trung trắc lượng trường độ, diện tích đích thôi quảng, tương kỳ dĩ công lý hóa đích phương thức định nghĩa. Lê mạn tích phân thật tế khả dĩ khán thành thị dụng nhất hệ liệt củ hình lai tẫn khả năng phô mãn hàm sổ khúc tuyến hạ phương đích đồ hình, nhi mỗi cá củ hình đích diện tích thị trường thừa khoan, hoặc giả thuyết thị lưỡng cá khu gian chi trường độ đích thừa tích. Trắc độ vi canh nhất bàn đích không gian trung đích tập hợp định nghĩa liễu loại tự trường độ đích khái niệm, tòng nhi năng cú “Trắc lượng” canh bất quy tắc đích hàm sổ khúc tuyến hạ phương đồ hình đích diện tích, tòng nhi định nghĩa tích phân. Tại nhất duy thật không gian trung, nhất cá khu gianA= [a,b] đích lặc bối cách trắc độ μ(A) thị khu gian đích hữu đoan trị giảm khứ tả đoan trị,b−a.Giá sử đắc lặc bối cách tích phân hòa chính thường ý nghĩa thượng đích lê mạn tích phân tương kiêm dung. Tại canh phục tạp đích tình huống hạ, tích phân đích tập hợp khả dĩ canh gia phục tạp, bất tái thị khu gian, thậm chí bất tái thị khu gian đích giao tập hoặc tịnh tập, kỳ “Trường độ” tắc do trắc độ lai cấp xuất.

Cấp định nhất cá tập hợp$\Omega$Thượng đích$\sigma -$Đại sổ${\mathcal {F}}$Dĩ cập${\mathcal {F}}$Thượng đích nhất cá trắc độ$\mu$,Na ma đối vu${\mathcal {F}}$Trung đích nhất cá nguyên tố$A\subset \Omega$,Định nghĩaChỉ kỳ hàm sổ$1_{A}$Quan vu trắc độ$\mu$Đích tích phân vi:

Lê mạn tích phân ( lam sắc ) hòa lặc bối cách tích phân ( hồng sắc )

$\int 1_{A}\,\mathrm {d} \mu =\mu (A)$

Tái định nghĩa khả trắc đích phi phụGiản đan hàm sổ$f=\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}$( kỳ trung$A_{i}\in {\mathcal {F}},\,\,a_{i}\geqslant 0$) đích tích phân vi:

$\int f\,\mathrm {d} \mu =\int \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}\right)\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int 1_{A_{i}}\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mu (A_{i})$

Đối vu nhất bàn đích hàm sổ$f:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$,Như quả đối mỗi cá khu gian$(a,b]$,Đô mãn túc$f^{-1}\left((a,b]\right)\in {\mathcal {F}}$,Na ma trắc độ luận trung định nghĩa$f$Thị khả trắc hàm sổ. Đối vu nhất cáPhi phụ đích khả trắc hàm sổ$f$,Tha đích tích phân định nghĩa vi:

$\int f\,\mathrm {d} \mu =\sup {\bigg \{}g,\quad g$Vi giản đan hàm sổ, tịnh thả$f-g$Hằng đại vu linh${\displaystyle.\,{\bigg \}}}$

Giá cá tích phân khả dĩ dụng dĩ hạ đích phương thức bức cận:

$\int f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to +\infty }\left[\sum _{k=0}^{n2^{n}-1}{\frac {k}{2^{n}}}\mu \left({\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f<{\frac {k+1}{2^{n}}}\right)+n\mu (f\geqslant n)\right]=\lim _{n\to +\infty }\left[{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n2^{n}-1}\mu \left({\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f\right)\right]$

Trực quan thượng, giá chủng bức cận phương thức thị tương$f$Đích trị vực phân cát thành đẳng khoan đích khu đoạn, tái khảo sát mỗi đoạn đích “Trường độ”, dụng kỳ trắc độ biểu kỳ, tái thừa dĩ khu đoạn sở tại đích cao độ. Kỳ phúc cái chi xử như hữu đồ trung đích hồng sắc khu vực sở kỳ. Phật lan đức (Folland)Tổng kết thuyết, “Lê mạn tích phân thị bả định nghĩa vực khu gian [a,b] hoa phân vi tử khu gian”, nhi lặc bối cách tích phân tắc thị “Hoa phân$f$Đích trị vực”.

Chí vu nhất bàn đích ( hữu chính hữu phụ đích )Khả trắc hàm sổ$f$,Tha đích tích phân thị hàm sổ khúc tuyến tại x trục thượng phương “Vi xuất” đích diện tích, giảm khứ khúc tuyến tại x trục hạ phương “Vi xuất” đích diện tích. Nghiêm cách định nghĩa nhu yếu dẫn tiến “Chính bộ hàm sổ” hòa “Phụ bộ hàm sổ” đích khái niệm:

$f^{+}:$Như quả$f(x)\geqslant 0,$Tắc$f^{+}(x)=f(x),$Phủ tắc$f^{+}(x)=0.$

$f^{-}:$Như quả$f(x)\leqslant 0,$Tắc$f^{-}(x)=-f(x),$Phủ tắc$f^{-}(x)=0.$

Khả dĩ nghiệm chứng, tổng hữu$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x).$Nhi$f$Đích tích phân định nghĩa vi:$\int f\,\mathrm {d} \mu =\int f^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int f^{-}\,\mathrm {d} \mu$

Dĩ thượng định nghĩa hữu ý nghĩa cận đương$\int f^{+}\,\mathrm {d} \mu$Hòa$\int f^{-}\,\mathrm {d} \mu$Trung chí thiếu hữu nhất cá đích trị thị hữu hạn đích ( phủ tắc hội xuất hiện vô cùng đại giảm vô cùng đại đích tình huống ), giá thời xưng$f$Đích lặc bối cáchTích phân tồn tạiHoặcTích phân hữu ý nghĩa.Như quả$\int f^{+}\,\mathrm {d} \mu$Hòa$\int f^{-}\,\mathrm {d} \mu$Đô thị hữu hạn đích, na ma xưng$f$Khả tích.

Cấp định nhất cá khả trắc tập hợp$A$,Khả dĩ định nghĩa khả tích hàm sổ tại$A$Thượng đích tích phân vi:

$\int _{A}f\,\mathrm {d} \mu =\int f1_{A}\,\mathrm {d} \mu.$

Kỳ tha định nghĩa

Trừ liễu lê mạn tích phân hòa lặc bối cách tích phân dĩ ngoại, hoàn hữu nhược càn bất đồng đích tích phân định nghĩa, thích dụng vu bất đồng chủng loại đích hàm sổ.

• Đạt bố tích phân:Đẳng giới vu lê mạn tích phân đích nhất chủng định nghĩa, bỉ lê mạn tích phân canh gia giản đan, khả dụng lai bang trợ định nghĩa lê mạn tích phân.
• Lê mạn － tư đế nhĩ kiệt tư tích phân:Lê mạn tích phân đích thôi quảng, dụng nhất bàn đích hàm sổ g(x) đại thế x tác vi tích phân biến lượng, dã tựu thị tương lê mạn hòa trung đích$(x_{i+1}-x_{i})$Thôi quảng vi$(g(x_{i+1})-g(x_{i}))$.
• Lặc bối cách － tư đế nhĩ kiệt tư tích phân:Lặc bối cách tích phân đích thôi quảng, thôi quảng phương thức loại tự vu lê mạn － tư đế nhĩ kiệt tư tích phân, dụngHữu giới biến soa hàm sổg đại thế trắc độ$\mu$.
• Cáp nhĩ tích phân: Do a nhĩ phất lôi đức · cáp nhĩ vu 1933 niên dẫn nhập, dụng lai xử lý cục bộ khẩn thác phác quần thượng đích khả trắc hàm sổ đích tích phân, tham kiếnCáp nhĩ trắc độ.
• Y đằng tích phân:DoY đằng thanhVu nhị thập thế kỷ ngũ thập niên đại dẫn nhập, dụng vu kế toán bao hàmTùy cơ quá trìnhNhưDuy nạp quá trìnhHoặcBán ưởngĐích hàm sổ đích tích phân.

Tính chất

Thông thường ý nghĩa thượng đích tích phân đô mãn túc nhất ta cơ bổn đích tính chất. Dĩ hạ đích${\mathcal {I}}$Tại lê mạn tích phân ý nghĩa thượng biểu kỳ nhất cá khu gian, tại lặc bối cách tích phân ý nghĩa hạ biểu kỳ nhất cá khả trắc tập hợp.

Tuyến tính

Tích phân thị tuyến tính đích. Như quả nhất cá hàm sổ$f$Khả tích, na ma tha thừa dĩ nhất cá thường sổ hậu nhưng nhiên khả tích. Như quả hàm sổ$f$Hòa$g$Khả tích, na ma tha môn đích hòa dữ soa dã khả tích.

$\int _{\mathcal {I}}(\alpha f+\beta g)=\alpha \int _{\mathcal {I}}f+\beta \int _{\mathcal {I}}g\,$

Sở hữu tại${\mathcal {I}}$Thượng khả tích đích hàm sổ cấu thành liễu nhất cáTuyến tính không gian.Lê mạn tích phân đích ý nghĩa thượng, sở hữu khu gian [a,b] thượng lê mạn khả tích đích hàm sổ$f$Hòa$g$Đô mãn túc:

$\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,\mathrm {d} x=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x.\,$

Sở hữu tại khả trắc tập hợp${\mathcal {I}}$Thượng lặc bối cách khả tích đích hàm sổ$f$Hòa$g$Đô mãn túc:

$\int _{\mathcal {I}}(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \int _{\mathcal {I}}f\,\mathrm {d} \mu +\beta \int _{\mathcal {I}}g\,\mathrm {d} \mu.$

Tại tích phân khu vực thượng, tích phân hữu khả gia tính. Lê mạn tích phân ý nghĩa thượng, như quả nhất cá hàm sổ$f$Tại mỗ khu gian thượng lê mạn khả tích, na ma đối vu khu gian nội đích tam cá thật sổ a, b, c, hữu

$\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,$

Như quả hàm sổ$f$Tại lưỡng cá bất tương giao đích khả trắc tập${\mathcal {I}}$Hòa${\mathcal {J}}$Thượng lặc bối cách khả tích, na ma

$\int _{{\mathcal {I}}\cup {\mathcal {J}}}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\mathcal {I}}f\,\mathrm {d} \mu +\int _{\mathcal {J}}f\,\mathrm {d} \mu.$

Như quả hàm sổ$f$Lặc bối cách khả tích, na ma đối nhậm ý$\epsilon >0$,Đô tồn tại$\delta$,Sử đắc${\mathcal {F}}$Trung nhậm ý đích nguyên tố$A$,Chỉ yếu$\mu (A)<\delta$,Tựu hữu$\int _{A}\left|f\right|\,\mathrm {d} \mu <\epsilon$

Bảo hào tính

Như quả nhất cá hàm sổ$f$Tại mỗ cá khu gian thượng lê mạn khả tích, tịnh thả tại thử khu gian thượng đại vu đẳng vu linh. Na ma tha tại giá cá khu gian thượng đích tích phân dã đại vu đẳng vu linh. Như quả$f$Lặc bối cách khả tích tịnh thảKỉ hồ tổng thịĐại vu đẳng vu linh, na ma tha đích lặc bối cách tích phân dã đại vu đẳng vu linh. Tác vi thôi luận, như quả lưỡng cá${\mathcal {I}}$Thượng đích khả tích hàm sổ$f$Hòa$g$Tương bỉ,$f$( kỉ hồ ) tổng thị tiểu vu đẳng vu$g$,Na ma$f$Đích ( lặc bối cách ) tích phân dã tiểu vu đẳng vu$g$Đích ( lặc bối cách ) tích phân.

Như quả lê mạn khả tích đích phi phụ hàm sổ$f$Tại${\mathcal {I}}$Thượng đích tích phân đẳng vu 0, na ma trừ liễu hữu hạn cá điểm dĩ ngoại,$f=0$.Như quả lặc bối cách khả tích đích phi phụ hàm sổ$f$Tại${\mathcal {I}}$Thượng đích tích phân đẳng vu 0, na ma$f$Kỉ hồ xử xử vi 0. Như quả${\mathcal {F}}$Trung nguyên tố$A$Đích trắc độ$\mu (A)$Đẳng vu 0, na ma nhậm hà khả tích hàm sổ tại$A$Thượng đích tích phân đẳng vu 0.

Hàm sổ đích tích phân biểu kỳ liễu hàm sổ tại mỗ cá khu vực thượng đích chỉnh thể tính chất, cải biến hàm sổ mỗ điểm đích thủ trị bất hội cải biến tha đích tích phân trị. Đối vu lê mạn khả tích đích hàm sổ, cải biến hữu hạn cá điểm đích thủ trị, kỳ tích phân bất biến. Đối vu lặc bối cách khả tích đích hàm sổ, mỗ cá trắc độ vi 0 đích tập hợp thượng đích hàm sổ trị cải biến, bất hội ảnh hưởng tha đích tích phân trị. Như quả lưỡng cá hàm sổ kỉ hồ xử xử tương đồng, na ma tha môn đích tích phân tương đồng. Như quả đối${\mathcal {F}}$Trung nhậm ý nguyên tố$A$,Khả tích hàm sổ$f$Tại$A$Thượng đích tích phân tổng đẳng vu ( đại vu đẳng vu ) khả tích hàm sổ$g$Tại$A$Thượng đích tích phân, na ma$f$Kỉ hồ xử xử đẳng vu ( đại vu đẳng vu )$g$.

Giới trị tính chất

Như quả$f$Tại${\mathcal {I}}$Thượng khả tích,$M$Hòa$m$Phân biệt thị$f$Tại${\mathcal {I}}$Thượng đích tối đại trị hòa tối tiểu trị, na ma:

$mL({\mathcal {I}})\leqslant \int _{\mathcal {I}}f\leqslant ML({\mathcal {I}})$

Kỳ trung đích$L({\mathcal {I}})$Tại lê mạn tích phân trung biểu kỳ khu gian${\mathcal {I}}$Đích trường độ, tại lặc bối cách tích phân trung biểu kỳ${\mathcal {I}}$Đích trắc độ.

Tuyệt đối liên tục tính

Tích phân đích tuyệt đối liên tục tính biểu minh, như quả hàm sổ tại mỗ khu gian hoặc tập hợp thượng khả tích, na ma đương tích phân khu vực thị cận hồ toàn khu vực đích thời hầu, tích phân đích trị dã hội bức cận tại toàn khu vực thượng đích tích phân trị. Như quả hàm sổ$f$Tại mỗ khu gian${\mathcal {I}}$Thượng lê mạn khả tích, na ma đối vu mãn túc${\mathcal {I}}_{n}\subset {\mathcal {I}}_{n+1}$,$\lim _{n\to \infty }{\mathcal {I}}_{n}={\mathcal {I}}$Đích khu gian tự liệt$\left({\mathcal {I}}_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$,Hữu

$\lim _{n\to \infty }\int _{{\mathcal {I}}_{n}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\mathcal {I}}f(x)\,\mathrm {d} x$

Tích phân bất đẳng thức

Thiệp cập tích phân đích cơ bổn bất đẳng thức khả dĩ khán tác thị nhất ta ly tán bất đẳng thức đích loại bỉ. NhưKha tây bất đẳng thứcĐích tích phân bản bổn: Giả như hữu hàm sổ$f$Hòa$g$Sử đắc$fg$,$f^{2}$,$g^{2}$Đô tại khu gian${\mathcal {I}}$Thượng lê mạn khả tích, na ma

$\left(\int _{\mathcal {I}}(fg)(x)\,\mathrm {d} x\right)^{2}\leq \left(\int _{\mathcal {I}}f(x)^{2}\,\mathrm {d} x\right)\left(\int _{\mathcal {I}}g(x)^{2}\,\mathrm {d} x\right).$

Nhi canh quảng phiếm đíchHách nhĩ đức bất đẳng thứcDã hữu tích phân bản bổn. Thiết hữu chính thật sổ$p$Hòa$q$,Kỳ đảo sổ hòa vi 1:${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$,Tắc đối lê mạn khả tích hàm sổ$f$Hòa$g$,Hữu dĩ hạ bất đẳng quan hệ ( tại hạ thức các hạng hữu ý nghĩa đích thời hầu ):

$\left|\int f(x)g(x)\,\mathrm {d} x\right|\leqslant \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{q}}.$

Khả dĩ khán xuất kha tây bất đẳng thức thị hách nhĩ đức bất đẳng thức tại$p=q=2$Đích thời hầu đích đặc lệ.

Thử ngoạiMẫn khả phu tư cơ bất đẳng thứcDã hữu tích phân bản bổn. Thiết hữu chính thật sổ$p\geqslant 1$,Tắc đối lê mạn khả tích hàm sổ$f$Hòa$g$,Hữu dĩ hạ bất đẳng quan hệ:

$\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.$

Đối vu lặc bối cách khả tích đích hàm sổ, loại tự đích bất đẳng thức khả dĩ bang trợ cấu kiến$L^{p}$Không gian.

Nhất cá hàm sổ$f$Khả tích đương thả cận đương hàm sổ$|f|$Khả tích, tịnh thả$f$Đích tích phân đích tuyệt đối trị, tiểu vu đẳng vu kỳ tuyệt đối trị đích tích phân:$\left|\int _{\mathcal {I}}f\right|\leqslant \int _{\mathcal {I}}|f|$.Như quả hàm sổ$f$Lặc bối cách khả tích, na ma$|f|$Kỉ hồ xử xử hữu hạn.

Vi tích phân cơ bổn định lý

Chủ điều mục:Vi tích phân cơ bổn định lý

Vi tích phân cơ bổn định lý thị tương vi phân vận toán ( cầu đạo vận toán ) hòa tích phân vận toán ( nguyên hàm sổ ) liên hệ tại nhất khởi đích cơ bổn định lý. Tòng cơ bổn định lý khả dĩ khán xuất vi phân hòa tích phân vận toán chi gian đích hỗ nghịch quan hệ. Định lý tự thuật như hạ:

Thiết hữu tạiBế khu gian[a,b] thượngLiên tụcĐích khả tích hàm sổ$f$.Khảo lự tích phân thượng hạn hàm sổ$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$,Tắc$F$Tại bế khu gian [a,b] thượng liên tục, tại khai khu gian (a,b) thượng khả đạo, tịnh thả đối khai khu gian (a,b) trung nhậm ý đích$x$Hữu:

$F'(x)=f(x)$

Vi tích phân cơ bổn định lý đích nhất cá thật dụng đích trực tiếp thôi luận, dã bị xưng vi vi tích phân đệ nhị cơ bổn định lý:

Thiết hữu tạiBế khu gian[a,b] thượngLiên tụcĐích khả tích hàm sổ$f$.Khảo lự tha đích nhất cá nguyên hàm sổ$F(x)$,Tức:

$F'(x)=f(x)$

Tắc$f$Tại khu gian [a,b] thượng đích định tích phân mãn túc:

$\int _{a}^{b}f(t)\mathrm {d} t=F(b)-F(a).$

Thôi quảng

Phản thường tích phân

Chủ điều mục:Phản thường tích phân

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi$
Giá thị nhất cá kí hàm hữu vô hạn tích phân khu gian, bị tích hàm sổ dã vô hạn đích tích phân

Hiệp nghĩa đích lê mạn tích phân trung, bị tích hàm sổ thị định nghĩa tại bế khu gian ( trường độ hữu hạn ) thượng đích hàm sổ, nhân thử thủ trị dã thị tại hữu hạn khu gian trung. Phản thường tích phân dã xưng vi quảng nghĩa tích phân, thị đối canh nhất bàn khu gian thượng đích hàm sổ định nghĩa đích tích phân, nghiên cứu tại hiệp nghĩa lê mạn tích phân đích bị tích hàm sổ điều kiện một hữu mãn túc thời, thị phủ năng cú hữu tích phân đích định nghĩa. Nhất cá cơ bổn đích tình hình thị, bị tích hàm sổ tại bán khai khu gian [a,b) thượng hữu định nghĩa, nhiên nhi tại tự biến lượng xu hướng khai khu gian đích mỗ nhất đoan ( bỉ như thuyếtb) thời, hàm sổ hữu “Hà điểm” ( hàm sổ trị xu hướng vô cùng hoặc một hữu cực hạn ). Giá thời hầu, khảo sát bị tích hàm sổ tại bế khu gian [a,b- ε] thượng đích tích phân trị$I_{\epsilon }$,Như quả đương kỳ trung đích chính thật sổ ε xu hướng vu 0 đích thời hầu, tích phân trị$I_{\epsilon }$Xu vu nhất cá cực hạn$I$,Na ma tựu xưng bị tích hàm sổ tại [a,b) thượng quảng nghĩa khả tích, tịnh thả xưng kỳ vi hà tích phân$I$.Giá cá định nghĩa dã khả dĩ giản đan địa ký tác:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{a}^{b-\epsilon }f(x)\,\mathrm {d} x$

Lánh nhất cá cơ bổn đích tình hình thị khu gian trường độ vi vô hạn đại đích tình hình, xưng vi vô cùng hạn quảng nghĩa tích phân. Bỉ như thuyết bị tích hàm sổ tại tại bế khu gian [a,∞) thượng hữu định nghĩa. Khảo lự bị tích hàm sổ tại bế khu gian [a,b] thượng đích tích phân trị$I_{b}$,Như quả đươngbXu hướng chính vô cùng đại đích thời hầu, tích phân trị$I_{b}$Xu vu nhất cá cực hạn$I$,Na ma tựu xưng bị tích hàm sổ tại [a,∞) thượng quảng nghĩa khả tích, tịnh thả xưng vi vô cùng hạn tích phân$I$.Giá cá định nghĩa dã khả dĩ giản đan địa ký tác:

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

Kỳ dư canh gia phục tạp đích tình hình bao quát hà điểm tại khu gian nội bộ, hoặc giả đồng thời bao hàm liễu vô cùng hạn đích tình hình đẳng đẳng. Giá ta tình hình đô khả dĩ sách phân vi cơ bổn tình hình đích tổ hợp, nhiên hậu sử dụng dĩ thượng đích phương pháp tham thảo quảng nghĩa tích phân đích tồn tại tính. Bỉ như, khảo lự hàm sổ$f(x)={\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}$Tại chính thật sổ khu gian ( 0 đáo chính vô cùng ) thượng đích tích phân ( như hữu đồ sở kỳ ). Giá thị nhất cá song trọng quảng nghĩa tích phân. Nhất phương diện hàm sổ tại 0 xử hữu hà điểm ( tại 0 phụ cận xu hướng chính vô cùng ), lánh nhất phương diện hàm sổ tích phân khu vực thị vô cùng hạn ( trực đáo chính vô cùng đại ). Giá thời hầu khả dĩ tương giá cá tích phân phân cát vi lưỡng cá bộ phân lai khảo sát. Bỉ như thuyết dĩ 1 vi giới hạn, tả hữu phân cát vi 0 đáo 1 đích tích phân hòa 1 đáo chính vô cùng đại đích tích phân.

Thủ tiên khảo sát 1 đáo chính vô cùng đại đích bộ phân, y cư thượng thuật phương pháp, khả dĩ thủ tiên khảo sát$f(x)$Tại bế khu gian [1,t] thượng đích tích phân:

$I_{t}=\int _{1}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}$

Đương thật sổtXu vu vô cùng đại đích thời hầu, thượng thuật tích phân trị đích cực hạn vi$\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}.$Sở dĩ$f(x)$Tòng 1 đáo chính vô cùng đại đích tích phân khả dĩ định nghĩa vi:

$\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}$

Đồng dạng địa, khảo sát tòng 0 đáo 1 đích bộ phân, khả dĩ thủ tiên khảo sát$f(x)$Tại bế khu gian [s,1] thượng đích tích phân:

$I_{s}=\int _{s}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}$

Đương chính thật sổsXu vu 0 đích thời hầu, thượng thuật tích phân trị đích cực hạn vi$\lim _{s\to 0}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)={\frac {\pi }{2}}.$Sở dĩ$f(x)$Tòng 0 đáo 1 đích tích phân khả dĩ định nghĩa vi:

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\lim _{s\to 0}\int _{s}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}$

Nhân thử khả dĩ định nghĩa$f(x)={\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}$Tại chính thật sổ khu gian ( 0 đáo chính vô cùng ) thượng đích tích phân vi giá lưỡng bộ phân đích hòa:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}+\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}=\pi$

Đa trọng tích phân

Chủ điều mục:Đa trọng tích phân

Hiệp nghĩa tích phân đích tích phân phạm vi thị thật sổ đích nhất cá khu gian hoặc giả khả trắc tử tập. Đa trọng tích phân tương tích phân phạm vi khoách triển đáo đa duy không gian trung đích khu vực hoặc khả trắc tử tập. Bỉ như thuyết nhị trọng tích phân đích tích phân phạm vi thị bình diện thượng đích nhất cá khu vực. Giá thời hầu tích phân$\int _{D}f(x)\,\mathrm {d} x$Trung đích biến lượng$x$Khả dĩ thị ( phú dư liễuThác phác kết cấuĐích )Hướng lượng không gianLí diện đích nhất cá hướng lượng.Phú bỉ ni định lýChứng minh, tại nhất định điều kiện hạ, đa trọng tích phân khả dĩ chuyển hoán vi luy thứ tích phân. Dã tựu thị thuyết, tại đa duy không gian thượng đích tích phân khả dĩ thông quá chuyển hóa vi đa cá khảm sáo đích nhất trọng tích phân lai kế toán. Thông thường đích phương pháp thị tương đa trọng đích tích phân biến lượng chuyển biến vi các cá tọa tiêu chỉ tiêu thượng đích tích phân biến lượng. Lệ như, khảo lự dĩ hạ nhị trọng tích phân:

$\int _{C}e^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} \sigma.$

Kỳ trung đích$C=\{(x,y)\;|\;x^{2}+y^{2}\leqslant 1\}$Thị nhất cá bán kính vi 1 đích viên bàn. Giá cá nhị trọng tích phân khả dĩ chuyển biến thành:

$\int _{C}e^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} \sigma =\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-y^{2}}}}^{\sqrt {1-y^{2}}}e^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}e^{-r^{2}}\,r\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta.$

Lộ kính tích phân dữ khúc diện tích phân

Chủ điều mục:Lộ kính tích phânHòaKhúc diện tích phân

Lộ kính tích phân dã xưng khúc tuyến tích phân, khả dĩ khán tác thị khu gian thượng tích phân đích thôi quảng. Tích phân đích phạm vi bất thị khu gian ( trực tuyến đoạn ), nhi thị cao duy không gian trung đích hữu hướngKhúc tuyến.Hậu giả xưng vi tích phân lộ kính. Lộ kính tích phân hữu ngận đa chủng loại, đương tích phân lộ kính vi bế hợp khúc tuyến thời, xưng vi hoàn lộ tích phân hoặc vi đạo tích phân. Lộ kính tích phân đích bị tích hàm sổ khả dĩ thị tiêu lượng hàm sổ ( tiêu lượng tràng ) hoặc hướng lượng hàm sổ ( hướng lượng tràng ). Như quả bị tích hàm sổFThị nhất cáThê độ tràng,Na maFĐích khúc tuyến tích phân dữ sở thủ đích lộ kính vô quan, nhi chỉ dữ lộ kính đích khởi điểm hòa chung điểm đích tuyển thủ hữu quan. Dữ lộ kính tích phân loại tự, bình diện khu vực đích nhị trọng tích phân khả dĩ thôi quảng vi tại cao duy không gian trung đích ( hữu hướng )Khúc diệnThượng tiến hành tích phân, xưng vi khúc diện tích phân.Lộ kính tích phânHòaKhúc diện tích phânThị vật lý học trung ngận trọng yếu đích công cụ, lệ như kế toánĐiện tràngHoặcTrọng lựcTràng trung đích tố công,Lượng tử lực họcTrung kế toánLạp tửXuất hiện đíchKhái suất,Hội dụng đáo lộ kính tích phân.Lưu thể lực họcTrung kế toánLưu thểĐích lưu lượng,Điện lực họcTrung sử dụngCao tư định luậtKế toán điện tràng hòa điện hà phân bố thời, hội dụng đáo khúc diện tích phân.

Chủng loại

• Lê mạn tích phân
• Đạt bố tích phân
• Lặc bối cách tích phân
• Lê mạn - tư đế nhĩ cát tư tích phân
• Sổ trị tích phân

Tham kiến

• Vi tích phân cơ bổn định lý
• Bất định tích phân
• Định tích phân
• Tích phân phù hào
• Tích phân biểu
• Khúc tuyến hạ diện tích ( dược vật đại tạ động lực học )