Giản sâm bất đẳng thức

Cầm sinh bất đẳng thức

Cầm sinh bất đẳng thức( anh ngữ:Jensen's inequality,Đài loan xưng tácGiản sâm bất đẳng thức), hoặc xưngDiên sâm bất đẳng thức,DĩĐan mạchSổ học giaƯớc hàn · diên sâmMệnh danh. Tha cấp xuấtTích phânĐíchĐột hàm sổTrị hòa đột hàm sổ đích tích phân trị gian đích quan hệ, tại thử bất đẳng thức tối giản đan hình thức trung, xiển minh liễu đối nhất bình quân tố đột hàm sổ chuyển hoán, hội tiểu ô đẳng ô tiên tố đột hàm sổ chuyển hoán tái bình quân. Nhược tương giản sâm bất đẳng thức ứng dụng tại nhị điểm thượng, tựu hồi đáo liễuĐột hàm sổĐích cơ bổn tính chất: Quá nhất cá đột hàm sổ thượng nhậm ý lưỡng điểm sở tácCát tuyếnNhất định tại giá lưỡng điểm gian đích hàm sổ đồ tượng đích thượng phương, tức:

$tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})\geq f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right),0\leq t\leq 1.$

Nhất bàn hình thức

Diên sâm bất đẳng thức khả dĩ dụngTrắc độ luậnHoặcKhái suất luậnĐích ngữ ngôn cấp xuất. Giá lưỡng chủng phương thức đô biểu minh đồng nhất cá ngận nhất bàn đích kết quả.

Trắc độ luận đích bản bổn

Giả thiết$\mu$Thị tập hợp$\Omega$Đích chính trắc độ, sử đắc$\mu (\Omega )=1$.Nhược$g$ThịLặc bối cách khả tíchĐíchThật trịHàm sổ, nhi$\varphi$Thị tại$g$Đích trị vực thượng định nghĩa đíchĐột hàm sổ,Tắc

$\varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu$

Khái suất luận đích bản bổn

Dĩ khái suất luận đích danh từ,$\mu$Thị cáKhái suất trắc độ.Hàm sổ$g$Hoán tác thật trịTùy cơ biến sổ$X$( tựu thuần sổ học nhi ngôn, lưỡng giả một hữu phân biệt ). Tại$\Omega$Không gian thượng, nhậm hà hàm sổ tương đối ô khái suất trắc độ$\mu$Đích tích phân tựu thành liễuKỳ vọng trị.Giá bất đẳng thức tựu thuyết, nhược$\varphi$Thị nhậm nhất đột hàm sổ, tắc

$\varphi \left(E(X)\right)\leq E(\varphi (X))\,$

Đặc lệ

Cơ suất mật độ hàm sổ đích hình thức

Giả thiết$\Omega$Thị thật sổ trục thượng đích khả trắc tử tập, nhi$f(x)$Thị phi phụ hàm sổ, sử đắc

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1.$

Dĩ khái suất luận đích ngữ ngôn,$f$Thị cáCơ suất mật độ hàm sổ.

Diên sâm bất đẳng thức biến thành dĩ hạ quan ô đột tích phân đích mệnh đề:

Nhược$g$Thị nhậm nhất thật trị khả trắc hàm sổ,$\varphi$Tại$g$Đích trị vực trung thị đột hàm sổ, tắc

$\varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (g(x))f(x)\,dx.$

Nhược$g(x)=x$,Tắc giá hình thức đích bất đẳng thức giản hóa thành nhất cá thường dụng đặc lệ:

$\varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,f(x)\,dx.$

Hữu hạn hình thức

Nhược$\Omega$Thị hữu hạn tập hợp$\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\}$,Nhi$\mu$Thị$\Omega$Thượng đíchChính quyKế sổ trắc độ,Tắc bất đẳng thức đích nhất bàn hình thức khả dĩ giản đan địa dụng hòa thức biểu kỳ:

$\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})\lambda _{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\varphi (g(x_{i}))\lambda _{i},$

Kỳ trung$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}=1,\lambda _{i}\geq 0$.

Nhược$\varphi$Thị ao hàm sổ, chỉ nhu bả bất đẳng thức phù hào điều chuyển.

Giả thiết$x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$Thị chính thật sổ,$g(x)=x$,$\lambda _{i}=1/n$Cập$\varphi (x)=\log(x)$.Thượng thuật hòa thức tiện thành liễu

$\log \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\log(x_{i})}{n}},$

Lưỡng biên thủ thủ dĩ$e$Vi để sổ đíchChỉ sổ hàm sổTựu đắc xuất thục tất đíchBình quân sổ bất đẳng thức:

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.$

Giá bất đẳng thức dã hữu vô hạn hạng đích ly tán hình thức.

Thống kế vật lý học

Thống kế vật lý học trung, nhược đột hàm sổ thị chỉ sổ hàm sổ, diên sâm bất đẳng thức đặc biệt trọng yếu:

$e^{\langle X\rangle }\leq \left\langle e^{X}\right\rangle,$

Kỳ trung phương quát hào biểu kỳKỳ vọng trị,Thị dĩTùy cơ biến sổXĐích mỗ cáKhái suất phân bốToán xuất. Giá cá tình hình đích chứng minh ngận giản đan ( tham kiến Chandler, Sec. 5.5 ): Tại dĩ hạ đẳng thức đích đệ tam cá chỉ sổ hàm sổ

$\left\langle e^{X}\right\rangle =e^{\langle X\rangle }\left\langle e^{X-\langle X\rangle }\right\rangle$

Sáo dụng bất đẳng thức

$e^{X}\geq 1+X,$

Tức đắc xuất sở cầu đích bất đẳng thức.

Tham khảo thư mục

• Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. 1987.ISBN0-07-054234-1.
• David Chandler. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. 1987.ISBN0-19-504277-8.

Ngoại bộ liên kết

• MathWorld thượng đích diên sâm bất đẳng thức võng hiệt(Hiệt diện tồn đương bị phân,Tồn vuHỗ liên võng đương án quán)