Hách nhĩ đức bất đẳng thức

Hách nhĩ đức bất đẳng thứcThịSổ học phân tíchĐích nhất điều bất đẳng thức, thủ danh tự đức quốc sổ học giaÁo thác · hách nhĩ đức.Giá thị nhất điều yết kỳL^pKhông gianĐích tương hỗ quan hệ đích cơ bổn bất đẳng thức:

Thiết$S$Vi trắc độ không gian,$1\leq p,q\leq \infty$,Cập${1 \over p}+{1 \over q}=1$,Thiết$f$Tại$L^{p}(S)$Nội,$g$Tại$L^{q}(S)$Nội. Tắc$f{\mbox{ }}g$Tại$L^{1}(S)$Nội, thả hữu

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},$

Đẳng hào đương thả cận đương$|f|^{p}$Dữ$|g|^{q}$(Kỉ hồ xử xử) tuyến tính tương quan thời thủ đắc, tức hữu thường sổ$\alpha,\beta$Sử đắc$\alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}$Đối kỉ hồ sở hữu$x\in S$Thành lập.

Nhược$S$Thủ tác$\{1,...,n\}$Phụ kế sổ trắc độ, tiện đắc hách nhĩ đức bất đẳng thức đích đặc thù tình hình: Đối sở hữuThật sổ( hoặcPhục sổ)$x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}$,Hữu

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}$.

Ngã môn xưngpHòaqHỗ viHách nhĩ đức cộng ách.

Nhược thủ$S$ViTự nhiên sổTập phụ kế sổ trắc độ, tiện đắc dữ thượng loại tự đíchVô cùng cấp sổBất đẳng thức.

Đương$p=q=2$,Tiện đắc đáoKha tây - thi ngõa tì bất đẳng thức.

Hách nhĩ đức bất đẳng thức khả dĩ chứng minh$L^{p}$Không gian thượng nhất bàn hóa đíchTam giác bất đẳng thức,Mẫn khả phu tư cơ bất đẳng thức,Hòa chứng minh$L^{p}$Không gian thị$L^{q}$Không gian đíchĐối ngẫu.

Bị chú

• Tại hách nhĩ đức cộng ách đích định nghĩa trung, 1/∞ ý vị trứ linh.

• Như quả 1 ≤p,q< ∞, na ma ||f||_pHòa ||g||_qBiểu kỳ ( khả năng vô cùng đích ) biểu đạt thức:

${\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}$Dĩ cập${\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.$

• Như quảp= ∞, na ma ||f||_∞Biểu kỳ |f| đíchBổn tính thượng xác giới,||g||_∞Dã loại tự.

• Tại hách nhĩ đức bất đẳng thức đích hữu đoan, 0 thừa dĩ ∞ dĩ cập ∞ thừa dĩ 0 ý vị trứ 0. Bảa> 0 thừa dĩ ∞, tắc đắc xuất ∞.

Chứng minh

Hách nhĩ đức bất đẳng thức hữu hứa đa chứng minh, chủ yếu đích tưởng pháp thịDương thị bất đẳng thức.

Như quả ||f||_p= 0, na mafμ- kỉ hồ xử xử vi linh, thả thừa tíchfgμ- kỉ hồ xử xử vi linh, nhân thử hách nhĩ đức bất đẳng thức đích tả đoan vi linh. Như quả ||g||_q= 0 dã thị giá dạng. Nhân thử, ngã môn khả dĩ giả thiết ||f||_p> 0 thả ||g||_q> 0.

Như quả ||f||_p= ∞ hoặc ||g||_q= ∞, na ma bất đẳng thức đích hữu đoan vi vô cùng đại. Nhân thử, ngã môn khả dĩ giả thiết ||f||_pHòa ||g||_qVị vu (0,∞) nội.

Như quảp= ∞ thảq= 1, na ma kỉ hồ xử xử hữu |fg| ≤ ||f||_∞|g|, bất đẳng thức tựu khả dĩ tòng lặc bối cách tích phân đích đan điều tính thôi xuất. Đối vup= 1 hòaq= ∞, tình huống dã loại tự. Nhân thử, ngã môn hoàn khả dĩ giả thiếtp,q∈ (1,∞).

Phân biệt dụngfHòagTrừ ||f||_p||g||_q,Ngã môn khả dĩ giả thiết:

$\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.$

Ngã môn hiện tại sử dụng dương thị bất đẳng thức:

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},$

Đối vu sở hữu phi phụ đíchaHòab,Đương thả cận đươnga^p=b^qThời đẳng thức thành lập. Nhân thử:

$|f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.$

Lưỡng biên tích phân, đắc:

$\|fg\|_{1}\leq 1,$

Giá tiện chứng minh liễu hách nhĩ đức bất đẳng thức.

Tạip∈ (1,∞) hòa ||f||_p= ||g||_q= 1 đích giả thiết hạ, đẳng thức thành lập đương thả cận đương kỉ hồ xử xử hữu |f|^p= |g|^q.Canh nhất bàn địa, như quả ||f||_pHòa ||g||_qVị vu (0,∞) nội, na ma hách nhĩ đức bất đẳng thức biến vi đẳng thức, đương thả cận đương tồn tạiα,β> 0 ( tứcα= ||g||_qThảβ= ||f||_p), sử đắc:

$\alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}\,$μ- kỉ hồ xử xử (*)

||f||_p= 0 đích tình huống đối ứng vu (*) trung đíchβ= 0. ||g||_q=0 đích tình huống đối ứng vu (*) trung đíchα= 0.

Phản hướng hách nhĩ đức bất đẳng thức

Đương$0<p<1$Thời,$\|\cdot \|_{p}$Bất tái mãn túc tam giác bất đẳng thức, thử thời thành lậpPhản hướng hách nhĩ đức bất đẳng thức(Reverse Hölder inequality):

$\|fg\|_{1}\geq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$

Tham khảo văn hiến

• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934,ISBN0521358809
• Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47
• Kuptsov, L.P.,Hölder inequality,Hazewinkel, Michiel ( biên ),Sổ học bách khoa toàn thư,Springer,2001,ISBN978-1-55608-010-4
• Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888,17:145–150
• Kuttler, Kenneth,An introduction to linear algebra(PDF),Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007[2009-02-02],( nguyên thủy nội dungTồn đương(PDF)Vu 2008-08-07 )
• Hình gia tỉnh. Young bất đẳng thức tại Lp không gian trung đích ứng dụng. Liêu thành đại học học báo ( tự nhiên khoa học bản ). 2007 niên đệ 3 kỳ,Đệ 20 quyển.ISSN 1672-6634.
• Trương nguyện chương. Young bất đẳng thức đích chứng minh cập ứng dụng. Hà nam khoa học. 2004 niên đệ 01 kỳ,Đệ 22 quyển.ISSN 1004-3918.