Khích tích thuật

Đóa tích thuật,Dã xưngKhích tích thuật,Thật chất thượng thị nhất chủngCao giai đẳng soa cấp sổ cầu hòaVấn đề. Do bắc tốngThẩm quátThủ khai tiên hà, nam tốngDương huyHòa nguyên triềuChu thế kiệtĐa hữu cống hiến.

Thẩm quát tại 《Mộng khê bút đàm》 quyển thập bát 《 kỹ nghệ 》 thiên thủ sang khích tích thuật, thị dụng lai nghiên cứu mỗ chủng vật phẩm án quy luật đôi tích khởi lai cầu kỳ tổng sổ vấn đề. Khích tích thị chỉ tửu ung chi loại đích vật phẩm, vãng thượng đôi tích thành đài hình chi trạng, cầu kỳ tổng sổ, giá thị nhị giai đẳng soa cấp sổ cầu hòa vấn đề. Chí ô đóa tích thị đôi đóa cầu tích đích ý tư. Đóa tích thuật thị dương huy kế thẩm quát đích khích tích thuật chi hậu, khai sang cao giai đẳng soa cấp sổ đích nghiên cứu. Nguyên đại chu thế kiệt tắc tương đóa tích thuật đích nghiên cứu thôi hướng tối cao phong, tha sử dụng đíchChiêu soa thuậtThật tế thượng thị giải quyết liễu nhậm ý cao giai đẳng soa cấp sổ đích hữu hạn hạng cầu hòa vấn đề.

Thẩm quát khích tích thuật

Bắc tốngThẩm quátTại 《Mộng khê bút đàm》 quyển thập bát 《 kỹ nghệ 》 thiên, thủ sang khích tích thuật:Khích tích giả, vị tích chi hữu khích giả, như luy kỳ, tằng đàn cập sái gia tích anh chi loại. Tuy tự phúc đấu, tứ diện giai sát, duyên hữu khắc khuyết cập hư khích chi xử, dụng sô đồng pháp cầu chi, thường thất ô sổ thiếu. Dư tư nhi đắc chi, dụng tranh đồng pháp vi thượng vị; hạ vị biệt liệt: Hạ quảng dĩ thượng quảng giảm chi, dư giả dĩ cao thừa chi, lục nhi nhất, tịnh nhập thượng vị. Giả lệnh tích anh: Tối thượng hành túng hoành các nhị anh, tối hạ hành các thập nhị anh, hành hành tương thứ. Tiên dĩ thượng nhị hành tương thứ, suất chí thập nhị, đương thập nhất hành dã. Dĩ sô đồng pháp cầu chi, bội thượng hành trường đắc tứ, tịnh nhập hạ trường đắc thập lục, dĩ thượng quảng thừa chi, đắc chi tam thập nhị; hựu bội hạ hành trường đắc nhị thập tứ, tịnh nhập thượng trường, đắc nhị thập lục, dĩ hạ quảng thừa chi, đắc tam bách nhất thập nhị; tịnh nhị vị đắc tam bách tứ thập tứ, dĩ cao thừa chi, đắc tam thiên thất bách bát thập tứ. Trọng liệt hạ quảng thập nhị, dĩ thượng quảng giảm chi, dư thập, dĩ cao thừa chi, đắc nhất bách nhất thập, tịnh nhập thượng vị, đắc tam thiên bát bách cửu thập tứ; lục nhi nhất, đắc lục bách tứ thập cửu, thử vi anh sổ dã. Sô đồng cầu kiến thật phương chi tích, khích tích cầu kiến hợp giác bất tẫn, ích xuất tiện tích dã

Nhất cá tằng đàn, cộng$h$Tằng, thượng diện$a\times b$,Hạ để$c\times d$,

Giá thị nhị giai đẳng soa cấp sổ cầu hòa vấn đề:

$ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+...+(a+h-1)(b+h-1)$

Thẩm quát cấp xuất đích công thức${\frac {h}{6}}((2a+c)b+(2c+a)d+(d-b))$

Dương huy đóa tích thuật

Dương huy tại 《 tường giải cửu chương toán pháp 》《 thương công 》 thiên xiển thuật liễu phương đóa, sô manh đóa, sô đồng đóa, hòa tam giác đóa.

Phương đóa

Quả tử dĩ đóa, hạ phương thập tứ cá, vấn kế kỉ hà? Thuật viết: Hạ phương gia nhất, thừa hạ phương vi bình tích. Hựu gia bán vi cao, dĩ thừa hạ phương vi cao tích. Như tam nhi nhất.

$1+4+9+16....n^{2}={\frac {1}{3}}n(n+1)(n+{\frac {1}{2}})={\frac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)$.

Sô đồng đóa

Tức trường phương hình lập thể đóa, thượng diện trường$n$Cá, khoan$m$Cá, cao$h$Cá:

$4*2+5*3+6*4+7*5+\dots +(n+h-1)*(m+h-1)={\frac {h}{6}}((2n+n+h-1))*m+(2(n+h-1)+n)$

Tam giác đóa

Tam giác đóa hạ quảng nhất diện thập nhị cá, thượng tiêm, cao thập nhị cá, vấn: Kế kỉ hà?

Thuật viết: Hạ quảng gia nhất, thừa hạ quảng. Bình tích, hạ quảng gia nhị thừa chi, lập cao phương tích, như lục nhi nhất.

$1+3+6+10+\dots {\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {1}{6}}n(n+1)(n+2)$

Chu thế kiệt đóa tích thuật

Tam giác đóa

《Tứ nguyên ngọc giám》 《 quả đóa điệp tàng 》 đệ nhất vấn:

“Kim hữu tam giác đóa quả tử nhất sở, trị tiền nhất quán tam bách nhị thập văn, chỉ vân tòng thượng nhất cá trị tiền nhị văn, thứ hạ tằng tằng mỗi cá luy quý nhất văn, vấn để tử mỗi diện kỉ hà?”

Đáp viết: Cửu cá.

Thuật viết: Lập thiên nguyên nhất vi mỗi cá để tử, như tích cầu chi, đắc tam vạn nhất thiên lục bách bát thập vi ích thật thập vi tòng phương, nhị thập nhất vi tòng thượng liêm, nhất thập tứ vi hạ liêm, tam vi tòng ngung, tam kiệt phương khai chi, đắc mỗi cá để tử, hợp vấn.

Tam giác đóa cấp sổ

$1+3+6+10+...+{\frac {1}{2}}n(n+1)$

Tam giác đóa tự thượng nhi hạ, mỗi biên đích quả tử sổ thị:

$1,2,3,4,5,6,\dots,n$

Tự thượng nhi hạ, mỗi cá quả tử trị tiền:

$2,3,4,5,6,7,\dots,(n+1)$

Tam giác quả tử đóa giới trị V do hạ liệt cấp sổ biểu kỳ

$v=2+9+24+50+90+147+224+\dots +{\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}$

Giá thị nhất cá dĩ tri cấp sổ hòa, đảo cầu n đích sổ học vấn đề.

Chu thế kiệt dụng thiên nguyên thuật, lệnh thiên nguyên nhất vi mỗi để biên đích quả tử sổ$x=n$

Chu thế kiệt dụng đích cầu hòa công thức:$v={\frac {1}{2*3*4}}(3x+5)*x*(x+1)*(x+2)$

Kim$v=1320$Đắc

$3*x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0$

Giải chi, đắc$x=n=9$.

$v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320$.

Tam giác lạc nhất hình đóa

$1*2*3+2*3*4+3*4*5+\dots +n(n+1)(n+2)={\frac {1}{4}}n(n+1)(n+2)(n+3)$

Tứ giác lạc nhất hình đóa

$1*2*3+2*3*5+3*4*7+\dots +n(n+1)(2n+2)={\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}(n+2)$

Lam phong hình đóa

$1+6+18+\dots +n^{2}(n+1)={\frac {1}{24}}n(n+1)(n+2)(3n+1)$

Tam giác lam phong hình đóa

$6+48+180+\dots +n^{2}(n+1)(n+2)={\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)$

Tát tinh canh lạc nhất hình đóa

$1+5+15+35+70+\dots +{\frac {1}{24}}n(n+1)(n+2)(n+3)={\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$

Tam giác tát tinh canh lạc nhất hình đóa

$1+6+21+56+126+\dots +{\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)={\frac {1}{720}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)$

Tứ giác lam phong hình đóa

$6+90+336+900+\dots +n^{2}(n+1)(2n+1)={\frac {1}{10}}n(n+1)(n+2)(n(4n+1+{\frac {1}{2}})+(4n+{\frac {1}{2}}))$