Hư sổ đan vị

Hư sổ đan vị$i$TạiPhục bình diệnĐích vị trí. Hoành trục thị thật sổ, thụ trục thị hư sổ

Cao tư chỉnh sổ đạo hàng
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

TạiSổ học,Vật lýCậpCông trình họcLí,Hư sổ đan vịThị chỉNhị thứ phương trình$x^{2}+1=0$Đích giải. Tuy nhiên một hữu giá dạng đíchThật sổKhả dĩ mãn túc giá cá nhị thứ phương trình, đãn khả dĩ thông quá hư sổ đan vị tươngThật sổHệ thống$\mathbb {R}$Diên thân chíPhục sổHệ thống$\mathbb {C}$.Diên thân đích chủ yếu động cơ vi hữu ngận đa thậtHệ sổĐa hạng thức phương trình thứcVô thật sổ giải. Lệ như cương tài đề đáo đích phương trình thức$x^{2}+1=0$Tựu vô thật sổ giải. Khả thị thảng nhược ngã môn duẫn hứa giải đáp viHư sổ,Na ma giá phương trình thức dĩ cập sở hữu đích đa hạng thức phương trình thức đô hữu giải. Hư sổ đan vị tiêu ký vi$i$,TạiĐiện cơ công trìnhHòa tương quan lĩnh vực trung tắc tiêu ký vi$j$,Giá thị vi liễu tị miễn dữĐiện lưu( ký vi$i(t)$Hoặc$i$) hỗn hào.

Định nghĩa

$\ldots$

${{i}^{-{3}}}=i$

${{i}^{-{2}}}=-1$

${{i}^{-{1}}}=-i$

${{i}^{0}}=1$

${{i}^{1}}=i$

${{i}^{2}}=-1$

${{i}^{3}}=-i$

${{i}^{4}}=1$

${{i}^{5}}=i$

${{i}^{6}}=-1$

$\ldots$

Hư sổ đan vị$i$Định nghĩa viNhị thứ phương trình thức$x^{2}+1=0$Đích lưỡng cá căn trung đích nhất cá. Giá phương trình thức hựu khả đẳng giới biểu đạt vi:

${{x}^{2}}=-1$.

Do ô thật sổ đíchBình phươngTuyệt bất khả năng thịPhụ sổ,Ngã môn giả thiết hữu giá ma nhất cá sổ mục giải đáp, cấp tha thiết định nhất cá phù hào$i$.Ngận trọng yếu đích nhất điểm thị,$i$Thị nhất cáLương định nghĩaĐích sổ học cấu tạo.

Lánh ngoại, hư sổ đan vị đồng dạng khả dĩ biểu kỳ vi:

$i={\sqrt {-{1}}}$

Nhiên nhi$i={\sqrt {-{1}}}$Vãng vãng bị ngộ nhận vi thị thác đích, tha môn đích chứng minh đích phương pháp thị:

Nhân vi$-1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1$,Đãn thị -1 bất đẳng ô 1.

Đãn thỉnh chú ý:${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$Thành lập đích điều kiện hữu$a$,$b$Bất năng viPhụ sổ.

Thật sổ vận toán khả dĩ diên thân chí hư sổ dữ phục sổ. Đương kế toán nhất cá biểu đạt thức thời, ngã môn chỉ nhu yếu giả thiết$i$Thị nhất cá vị tri sổ, nhiên hậu y chiếu$i$Đích định nghĩa, thế đại nhậm hà$i^{2}$Đích xuất hiện vi -1.$i$Đích canh cao chỉnh sổ mịch sổ dã khả dĩ thế đại vi$-i$,$1$,Hoặc$i$,Căn cư hạ thuật phương trình thức:

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i$,

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1$,

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i$.

Nhất bàn địa, hữu dĩ hạ đích công thức:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$

Kỳ trung${\bmod {4}}$Biểu kỳBị 4 trừ đích dư sổ.

iHòa-i

Phương trình$x^{2}=-1$Hữu lưỡng cá bất đồng đích giải, tha môn đô thị hữu hiệu đích, thả hỗ viCộng ách hư sổCậpĐảo sổ.Canh gia xác thiết địa, nhất đán cố định liễuPhương trìnhĐích nhất cá giải$i$,Na ma$-i$( bất đẳng vu$i$) dã thị nhất cá giải, do vu giá cá phương trình thị$i$Đích duy nhất đích định nghĩa, nhân thử giá cá định nghĩa biểu diện thượng hữu kỳ nghĩa. Nhiên nhi, chỉ yếu bả kỳ trung nhất cá giải tuyển định, tịnh cố định vi$i$,Na ma thật tế thượng thị một hữu kỳ nghĩa đích. Giá thị nhân vi, tuy nhiên$-i$Hòa$i$Tại sổ lượng thượng bất thị tương đẳng đích ( tha môn thị nhất đối cộng ách hư sổ ), đãn thị$i$Hòa$-i$Chi gian một hữu chất lượng thượng đích khu biệt ( -1 hòa +1 tựu bất thị giá dạng đích ). Tại nhậm hà đích đẳng thức trung đồng thời tương sở hữu i thế hoán vi -i, cai đẳng thức nhưng thành lập.

$-i^{2}=1$

$-i=i^{-1}={\frac {1}{i}}$

Chính đương đích sử dụng

Hư sổ đan vị hữu thời ký vi${\sqrt {-1}}$.Đãn thị, sử dụng giá chủng ký pháp thời nhu yếu phi thường cẩn thận, giá thị nhân vi hữu ta tại thật sổ phạm vi nội thành lập đích công thức tại phục sổ phạm vi nội tịnh bất thành lập. Lệ như, công thức${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$Cận đối vu phi phụ đích thật sổ$a$Hòa$b$Tài thành lập.

Giả nhược giá cá quan hệ tại hư sổ nhưng thành lập, tắc hội xuất hiện dĩ hạ tình huống:

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$( bất chính xác )

$-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1$( bất chính xác )

${\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i$( bất chính xác )

iĐích vận toán

Hư sổ đan vị$i$Đích bình phương căn tại phục bình diện đích vị trí

Hứa đa thật sổ đích vận toán đô khả dĩ thôi quảng đáo$i$,Lệ nhưBình phương căn,Mịch,Đối sổHòaTam giác hàm sổ.Dĩ hạ vận toán trừ đệ nhất hạng ngoại, quân vi dữ$i$Hữu quan đíchĐa trị hàm sổ,Tại thật tế ứng dụng thời tất tu chỉ minh hàm sổ đích định nghĩa tuyển trạch tạiLê mạn diệnĐích na nhất chi. Hạ diện liệt xuất đích cận cận thị tối thường thải dụng đích lê mạn diện phân chi đích kế toán kết quả.

• $i$ĐíchBình phương cănVi:

$\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

Giá thị nhân vi:

${\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}$

Sử dụngToán thuật bình phương cănPhù hào biểu kỳ:

${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

Kỳ giải pháp vi tiên giả thiết lưỡng thật sổ$x$Cập$y$,Sử đắc$(x+iy)^{2}=i$,Cầu giải$x,y$

• Nhất cá sổ đích$ni$Thứ mịch vi:

$x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}$

Nhất cá sổ đích$ni$Thứ phương căn vi:

${\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}$

Lợi dụngÂu lạp công thức

$i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}$,$k\in \mathbb {Z}$

Đại nhập bất đồng đích$k$Trị, khả kế toán xuất vô hạn đa đích giải. Đương$k=0$Tối tiểu đích giải thị$e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx$0.20787957635076...

• Dĩ$i$Vi để đích đối sổ vi:

$\log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }$

• $i$ĐíchDư huyềnThị nhất cáThật sổ:

$\cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx$1.5430806348152...

• $i$ĐíchChính huyềnThịThuần hư sổ:

$\sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx$1.1752011936438...$i$

Tại trình thức ngữ ngôn

• Đại bộ phân đíchTrình thức ngữ ngônĐô bất đề cungHư sổ đan vị,ThảBình phương cănHàm sổ( đại đa visqrt()HoặcMath.Sqrt()) đíchDẫn sổBất khả dĩ thịPhụ sổ,Nhân thử, tất tu tự hành kiến lập loại biệt hậu phương khả sử dụng.
• ĐãnLispĐích hứa đa thật hiện dữ phương ngôn, nhưCommon Lisp,Nội kiếnHư sổHòaPhục sổĐích chi trì. Bất thiếuĐộng thái ngữ ngônThụ kỳ ảnh hưởng, dã tại ngữ ngôn bổn thân hoặc tiêu chuẩn khố trung chi trìHư sổHòaPhục sổ,NhưPython,Ruby.
• Nhất ta truyện thống biên trình ngữ ngôn, nhưC ngữ ngôn,Dã tòngC99Khai thủy chi trìHư sổHòaPhục sổ.
• TạiMatlab,Hư sổ đan vịĐích biểu kỳ phương pháp viiHoặcj,ĐãniHòajTạifor hồi quyểnKhả dĩ hữu kỳ tha dụng đồ.
• TạiMathematica,Hư sổ đan vịĐích biểu kỳ phương pháp viI,𝕚Hoặc𝕛.
• TạiMaple,Tất tu khải dụngHư sổCông năng, tịnh tuyển trạch dụngiHoàn thịjBiểu kỳHư sổ đan vị.
• GoNgữ ngôn ô đệ 1.0 bản tựu nội kiếnHư sổHòaPhục sổĐích chi trì, biến sổ loại hình vicomplex64Hòacomplex128.

Tham kiến

• Đại sổ cơ bổn định lý
• Hư sổ
• Phục bình diện
• Đan vị căn
• i

Tham khảo văn hiến

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

Ngoại bộ liên tiếp

• Âu lạp đối đa hạng thức đích phục sổ căn đích nghiên cứu
• i tác vi -1 đích bình phương căn ( anh văn thị tần )
• $i^{7321}$Đích kế toán phương pháp cử lệ ( anh văn thị tần )