Thác phác không gian

Thác phác không gian( anh ngữ:Topological space) thị nhất chủng phú dư “Nhất điểm phụ cận” giá cá khái niệm đích trừu tượngSổ học kết cấu;Thác phác không gian dã thị nhất cá tập hợp, kỳ nguyên tố xưng vi điểm, do thử khả dĩ định nghĩa xuất nhưThu liễm,Liên thông,Liên tụcĐẳng khái niệm. Thác phác không gian tại hiện đạiSổ họcĐích các cá phân chi đô hữu ứng dụng, thị nhất cá cư ô trung tâm địa vị đích, thống nhất tính đích khái niệm. Thác phác không gian hữu độc lập nghiên cứu đích giới trị, nghiên cứu thác phác không gian đích sổ học phân chi xưng viThác phác học.

Định nghĩa động cơ

Thác phác kết cấu tối thật dụng đích động cơ, tại ô chẩm ma khứ định nghĩa “Nhất điểm đích phụ cận”, dụng dĩ định nghĩaHàm sổ cực hạn.

Đối ôĐộ lượng không gian$(M,\,d)$Nội đích nhậm nhất điểm$x$,Khả định nghĩa trung tâm vi$x$,Bán kính vi$r>0$ĐíchKhai cầu

$B(x;r):=\left\{y\in M\,{\bigg |}\,d(x,\,y)<r\right\}$

Nhiên hậu bả khai cầu thị vi điểm$x$Phụ cận đích “Khai phóng biên giới khu vực”. Đãn khảo lự đáo “Khu vực” ứng cai thị hữu nhậm ý hình trạng đích, na nhất bàn đích “Khai phóng biên giới khu vực”, ứng cai thị nhậm thủ lí diện đích điểm$x$,Đô hội hữu nhất cá cú tiểu đích khai cầu$B(x;r)$Hoàn toàn lạc tại giá cá khu vực lí, dã tựu thị thuyết, khả dĩ định nghĩa$(M,\,d)$ĐíchKhai tử tập$O\subseteq M$Vi mãn túc như hạ điều kiện đích tử tập hợp

$(\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]$

Giá dạng định nghĩa đích khai tập hữu nhất ta hữu thú đích tính chất:

(1)Nhậm nhị khai tập đíchGiao tậpDã thịKhai tập

Nhậm thủ lưỡng cá$(M,\,d)$Đích khai tử tập$O_{1},\,O_{2}\subseteq M$,Nhược$x\in O_{1}\cap O_{2}$,Căn cư định nghĩa tồn tại$r_{1},\,r_{2}>0$Sử đắc

$B(x;r_{1})\subseteq O_{1}$

$B(x;r_{2})\subseteq O_{2}$

Giá dạng nhược thủ$r=\min {\{r_{1},\,r_{2}\}}$,Tắc hội hữu:

$B(x;r)\subseteq O_{1}\cap O_{2}$

Dã tựu thị thuyết,$O_{1}\cap O_{2}$Dã thị cá khai tập.

(2)Nhậm ý cá khai tập đíchTịnh tậpDã hội thị khai tập

Nhược${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$Thị nhất quần khai tập sở cấu thành đích tập hợp, dã tựu thị thuyết

$\forall O\{(O\in {\mathfrak {A}})\Rightarrow (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]\}$

Như quả thủ

$a\in \bigcup {\mathfrak {A}}$

Hoán cú thoại thuyết:

$\exists O[\,(O\in {\mathfrak {A}})\wedge (a\in O)\,]$

Giá dạng đích thoại, hiển nhiên hữu

$(\exists r>0)\left[\,B(a;r)\subseteq \bigcup {\mathfrak {A}}\,\right]$

Sở dĩ$\bigcup {\mathfrak {A}}$Dã hội thị nhất cá khai tập.

Dĩ thượng đích tính chất xúc sử nhân môn tại bất y thácĐộ lượngTình huống hạ, khứ định nghĩa nhất cá miêu thuật “Nhất điểm đích phụ cận” đích kết cấu, hoán cú thoại thuyết, khứ trừu tượng đích định nghĩa nhất quầnKhai tập thị giá ma dạng đích đặc thù tập hợp, nhậm nhị khai tập đích giao tập thị khai đích thả nhậm ý khai tập đích tịnh tập dã thị khai đích.

Chính thức định nghĩa

Thượng đồ vi tam điểm tập hợp {1,2,3} thượng tứ cá thác phác đích lệ tử hòa lưỡng cá phản lệ. Tả hạ giác đích tập hợp tịnh bất thị cá thác phác không gian, nhân vi khuyết thiếu {2} hòa {3} đích tịnh tập {2,3}; hữu hạ giác đích tập hợp dã bất thị cá thác phác không gian, nhân vi khuyết thiếu {1,2} hòa {2,3} đích giao tập {2}.

Thác phác kết cấu nhất từ hàm cái liễuKhai tập hệ,Bế tập hệ,Lân vực hệ,Khai hạch,Bế bao,Đạo lai tập,Lự tửĐẳng nhược càn khái niệm. Khả dĩ tòng giá ta khái niệm xuất phát, cấp xuất nhược càn chủng đẳng giới kết cấu, đãn đại bộ phân thư tịch đô dĩ khai tập hệ vi chuẩn.

Khai tập hệ

Căn cưĐịnh nghĩa động cơNhất tiết khả dĩ tác như hạ đích định nghĩa:

 $X$  đích tử tậpTộc${\mathfrak {O}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$Nhược mãn túc dĩ hạKhai tập công lý

Chính thức định nghĩa	Trực quan giải thích
$X,\,\varnothing \in {\mathfrak {O}}$	$X$  bổn thân hòa không tập hợp dã thị khai đích
$\forall O_{1}\forall O_{2}[\,(O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O}})\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O}})\,]$	Hữu hạn cá khai tập đíchGiao tậpDã thị khai đích
$\forall {\mathfrak {A}}\left[\,({\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {O}})\Rightarrow \left(\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathfrak {O}}\right)\,\right]$	Nhậm ý cá khai tập đíchTịnh tậpDã thị khai đích

Tắc xưng${\mathfrak {O}}$Vi  $X$  đíchKhai tập hệ( kỳ trung đích nguyên tố xưng viKhai tập) hoặcThác phác,$(X,\,{\mathfrak {O}})$Tắc bị xưng vi nhấtThác phác không gian,$X$  nội đích nguyên tố  $x\in X$Tắc xưng vi thác phác không gian  $(X,\,{\mathfrak {O}})$ĐíchĐiểm.

Khai tập hệ đích đại hào${\mathfrak {O}}$Thị tự mẫu “O” đíchĐức văn tiêm giác thể,Thủ danh tựĐức ngữHình dung từ“offen”( khai đích ).

Tòng khai tập hệ xuất phát định nghĩa kỳ tha khái niệm: ($A\subseteq X$Vi$X$Đích tử tập )

• Bế tập:Nhược$X-A$Thị khai tập, tắc xưng$A$Thị bế tập.
• Lân vực:Nhược tồn tại khai tập$O$Sử đắc$x\in O\subseteq A$,Tắc xưng$A$Thị điểm$x$Đích lân vực.
• Khai hạch:$A$ĐíchKhai hạch( hoặcNội bộ)$A^{\circ }$Định nghĩa vi$A$Nội sở hữu khai tập chi tịnh, dã tựu thị
  $A^{\circ }:=\bigcup \left\{O\in {\mathfrak {O}}\,{\big |}\,O\subseteq A\right\}$

Bế tập hệ

$X$Đích tử tậpTộc${\mathfrak {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$Nhược mãn túc như hạBế tập công lý:

Chính thức định nghĩa	Trực quan giải thích
$X,\,\varnothing \in {\mathfrak {F}}$	$X$  bổn thân hòa không tập hợp dã thị bế đích
$\forall F_{1}\forall F_{2}[\,(F_{1},\,F_{2}\in {\mathfrak {F}})\Rightarrow (F_{1}\cup F_{2}\in {\mathfrak {F}})\,]$	Hữu hạn cá bế tập đíchTịnh tậpThị bế đích
$\forall {\mathfrak {B}}\left[\,({\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {F}})\Rightarrow \left(\bigcap {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {F}}\right)\,\right]$	Nhậm ý cá bế tập đíchGiao tậpThị bế đích

Tắc xưng${\mathfrak {F}}$Vi$X$ĐíchBế tập hệ( kỳ trung đích nguyên tố xưng viBế tập).

Khai tập hệ đích đại hào${\mathfrak {F}}$Thị tự mẫu “F” đíchĐức văn tiêm giác thể,Thủ danh tựPháp ngữĐộng từ“fermer”( quan bế ) đíchQuá khứ phân từ“fermé”( phong bế đích ).

Căn cưĐức ma căn định lýHòaLượng từ phù hào đích ý nghĩa,Dĩ hạ đích tử tập tộc

${\mathfrak {O}}_{\mathfrak {F}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-O\in {\mathfrak {F}}\right\}$

Vi khai tập hệ, loại tự địa, đối ô khai tập hệ${\mathfrak {O}}$,Dĩ hạ đích tử tập tộc

${\mathfrak {F}}_{\mathfrak {O}}=\left\{F\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,F-O\in {\mathfrak {O}}\right\}$

Vi bế tập hệ,Sở dĩ bế tập hệ cân thác phác thị đẳng giới đích kết cấu.

Tòng bế tập hệ xuất phát định nghĩa kỳ tha khái niệm: ($A\subseteq X$Vi$X$Đích tử tập )

• Khai tập:$X-A$Thị bế tập, tắc xưng$A$Thị khai tập.
• Bế bao:$A$Đích bế bao${\overline {A}}$Định nghĩa vi bao hàm A đích sở hữu bế tập chi giao, dã tựu thị
  ${\overline {A}}:=\bigcap \left\{F\in {\mathfrak {F}}\,{\big |}\,A\subseteq F\right\}$

Lân vực hệ

Hàm sổ${\mathfrak {U}}:X\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]$(${\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]$Chỉ$X$ĐíchMịch tậpĐích mịch tập, dã tựu thị do sở hữu tử tậpTộcSở cấu thành đích tập hợp ) nhược đối nhậm ý$x\in X$Mãn túc như hạLân vực công lý:

Chính thức định nghĩa	Trực quan giải thích
$\forall U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (x\in U)\,\}$	$x$Chúc ô${\mathfrak {U}}(x)$Đích nhậm ý nguyên tố (${\mathfrak {U}}(x)$Lí đích nguyên tố đô thị$x$Đích lân vực )
$\forall U\forall V\{\,[\,U,\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow [\,U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}$	$x$Đích nhậm nhị lân vực đích giao tập dã thị$x$Đích lân vực
$(\forall V\subseteq X)[\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(U\subseteq V)\Rightarrow [\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}$	Bao hàm nhậm hà$x$Đích lân vực đích nhậm ý tử tập dã thị$x$Đích lân vực
$[\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,][\,\exists V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(V\subseteq U)\wedge (\forall y\in V)[\,U\in {\mathfrak {U}}(y)\,]\,\}$	$x$Đích mỗi cá lân vực nội hữu cá$x$Đích lân vực, sử đích đại lân vực đô thị tiểu lân vực lí diện điểm đích lĩnh vực

Giá dạng nhậm ý${\mathfrak {U}}(x)$Bị xưng vi$x$ĐíchLân vực hệ,${\mathfrak {U}}(x)$Lí đích nguyên tố$U\in {\mathfrak {U}}(x)$Tắc xưng vi$x$ĐíchLân vực.

Hoán cú thoại thuyết, hàm sổ${\mathfrak {U}}$Tương$X$Đích mỗi cá điểm$x\in X$Ánh xạ chí${\mathfrak {U}}(x)$,Nhi${\mathfrak {U}}(x)$Tắc thị sở hữu$x$Đích lân vực sở cấu thành đích tập tộc.

Lân vực hệ đích đại hào${\mathfrak {U}}$Thị tự mẫu “U” đíchĐức văn tiêm giác thể,Thủ danh tựĐức ngữĐộng từ“umgeben”( hoàn nhiễu ) đíchDanh từ hóa“Umgebung”( chu vi, hoàn cảnh ).

Nhược thủ dĩ hạ đích tử tập tộc

${\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\forall x)\{\,(x\in O)\Rightarrow [\,O\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}\right\}$

Nhân vi$X$Bao hàm nhậm ý lân vực,$X$Bổn thân hiển nhiên vi nhậm ý$x\in X$Đích lĩnh vực, cố$X\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}$;Lánh ngoại không tập hợp$\varnothing$Một hữu nhậm hà chúc ô tha đích điểm, sở dĩ căn cưThật chất điều kiện đích ý nghĩa,$\varnothing \in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}$.

Nhược thủ$O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}$,Căn cư lân vực công lý đích đệ nhị hạng hữu$O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}$;Nhược thủ${\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}$,Thả$x\in \bigcup {\mathfrak {B}}$,Na hoán cú thoại thuyết

$\exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\,]$

Giá dạng đích thoại hữu

$\exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\wedge (O\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}})\,]$

Na giá dạng căn cư lân vực công lý đệ tam hạng,$\bigcup {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}$,Sở dĩ${\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}$Đích xác thị cá khai tập hợp hệ.

Loại tự địa đối ô khai tập hệ${\mathfrak {O}}$,Nhược đối nhậm ý$x\in X$Thủ

${\mathfrak {U}}(x)=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,\exists O[\,(O\in {\mathfrak {O}})\wedge (O\subseteq U)\wedge (x\in O)\,]\right\}$

Na${\mathfrak {U}}(x)$Dã hội phù hợp thượng diện tứ khoản lân vực hệ công lý ( chú ý đáo đệ tứ hạng thủ$V=U^{\circ }$), sở dĩĐối sở hữu$x\in X$Định nghĩa liễu lân vực hệ đẳng đồng ô định nghĩa liễu nhất cá thác phác.

Tòng lân vực hệ xuất phát định nghĩa kỳ tha khái niệm: ($A\subseteq X$Vi$X$Đích tử tập )

• Khai tập:Đối nhậm ý$x\in A$,Hữu$A\in {\mathfrak {U}}(x)$,Tắc xưng$A$Thị khai tập. ( khai tập bổn thân thị tha sở hữu điểm đích lân vực )
• Khai hạch:$A^{\circ }=\left\{x\in X\,{\big |}\,\exists U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\wedge (U\subseteq A)\,\}\right\}$( khai hạch lí đích mỗi nhất điểm, đô hữu nhất cá bao hàm ô$A$Đích lĩnh vực. )
• Bế bao:${\overline {A}}=\left\{x\in X\,{\big |}\,\forall U\{[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (U\cap A\neq \varnothing )\}\right\}$.( bế bao lí mỗi nhất điểm đích lĩnh vực, đô cân$A$Hữu giao tập. )

Bế bao công lý

$X$Đích mịch tập$P(X)$Thượng đích nhất nguyên vận toán$c:P(X)\to P(X)$( tức tương$X$Đích tử tập A ánh xạ vi$X$Đích tử tập$c(A)$) xưng viBế bao vận toán( tượng xưng vi nguyên tượng đíchBế bao). Đương thả cận đương vận toán$c$Mãn túc hạ thuật đíchBế bao công lý:

• A₁:$A\subseteq c(A)$;
• A₂:$c(c(A))=c(A)$;
• A₃:$c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)$;
• A₄:$c(\varnothing )=\varnothing$.

Tập hợp$A$Đích bế bao thông thường ký vi${\overline {A}}$.

Tòng bế bao xuất phát định nghĩa kỳ tha khái niệm:

• TòngBế baoĐịnh nghĩaBế tập:$X$Đích tử tập$A$Thị bế tập, đương thả cận đương$A={\overline {A}}$.
• TòngBế baoĐịnh nghĩaKhai hạch:$X$Đích tử tập$A$Đích khai hạch$A^{\circ }=X-{\overline {X-A}}$.
• TòngBế baoĐịnh nghĩaLân vực:$X$Đích tử tập$U$Thị điểm$x$Đích lân vực, đương thả cận đương$x\notin {\overline {X-U}}$.

Khai hạch công lý

$X$Đích mịch tập$P(X)$Thượng đích nhất nguyên vận toán$o:P(X)\to P(X)$( tức tương$X$Đích tử tập A ánh xạ vi$X$Đích tử tập$o(A)$) xưng viKhai hạch vận toán( tượng xưng vi nguyên tượng đíchKhai hạchHoặcNội bộ). Đương thả cận đương vận toán$o$Mãn túc như hạKhai hạch công lý:

• I₁:$o(A)\subseteq A$;
• I₂:$o(o(A))=o(A)$;
• I₃:$o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)$;
• I₄:$o(X)=X$.

Tập hợp$A$Đích khai hạch thông thường ký vi$A^{\circ }$. ( hiển nhiên, khai hạch vận toán thị bế bao vận toán đích đối ngẫu khái niệm ).

Tòng khai hạch xuất phát định nghĩa kỳ tha khái niệm:

• TòngKhai hạchĐịnh nghĩaKhai tập:$X$Đích tử tập$A$Thị khai tập, đương thả cận đương$A=A^{\circ }$.
• TòngKhai hạchĐịnh nghĩaLân vực:$X$Đích tử tập$U$Thị điểm$x$Đích lân vực, đương thả cận đương$x\in U^{\circ }$.
• TòngKhai hạchĐịnh nghĩaBế bao:$X$Đích tử tập$A$Đích bế bao${\overline {A}}=X-(X-A)^{\circ }$.

Đạo lai tập công lý

$X$Đích mịch tập${\mathcal {P}}(X)$Thượng đích nhất nguyên vận toán$d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$( tức tương$X$Đích tử tập$A$Ánh xạ vi$X$Đích tử tập$d(A)$) xưng viĐạo lai tập vận toán( tượng xưng vi nguyên tượng đíchĐạo lai tập), đương thả cận đương$d$Mãn túc dĩ hạĐạo lai tập công lý:

• D₁:$d(\varnothing )=\varnothing$;
• D₂:$d(d(A))\subseteq d(A)\cup A$;
• D₃:$\forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})$;
• D₄:$d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)$

Tòng đạo lai tập xuất phát định nghĩa kỳ tha khái niệm:

• TòngĐạo lai tậpĐịnh nghĩaBế tập:$X$Đích tử tập$A$Thị bế tập, đương thả cận đương$d(A)\subseteq A$.

Thác phác chi gian đích quan hệ

Chủ điều mục:Thác phác bỉ giác

Đồng nhất cá toàn tập khả dĩ ủng hữu bất đồng đích thác phác, hữu ta thị hữu dụng đích, hữu ta thị bình dung đích, giá ta thác phác chi gian khả dĩ hình thành nhất chủngThiên tự quan hệ.Đương thác phác${\mathfrak {T}}_{1}$Đích mỗi nhất cá khai tập đô thị thác phác${\mathfrak {T}}_{2}$Đích khai tập thời, xưng thác phác${\mathfrak {T}}_{2}$Bỉ thác phác${\mathfrak {T}}_{1}$CanhTế,Hoặc xưng thác phác${\mathfrak {T}}_{1}$Bỉ thác phác${\mathfrak {T}}_{2}$CanhThô.

Cận y lại ô đặc định khai tập đích tồn tại nhi thành lập đích kết luận, tại canh tế đích thác phác thượng y nhiên thành lập; loại tự đích, cận y lại ô đặc định tập hợp bất thị khai tập nhi thành lập đích kết luận, tại canh thô đích thác phác thượng dã y nhiên thành lập.

Tối thô đích thác phác thị do không tập hòa toàn tập lưỡng cá nguyên tố cấu thành đích thác phác, tối tế đích thác phác thị ly tán thác phác, giá lưỡng cá thác phác đô thị bình dung đích.

Tại hữu ta văn hiến trung, ngã môn dã dụng đại tiểu hoặc giả cường nhược lai biểu kỳ giá lí thô tế đích khái niệm.

Liên tục ánh xạ dữ đồng phôi

Loại tự định nghĩa thác phác không gian, liên tục ánh xạ dã hữu cơ ô khai tập, bế tập, khai hạch, bế bao hòa lân vực đẳng khái niệm đích đẳng giới định nghĩa.

Định nghĩa—
$(X,\,{\mathfrak {O}}_{X})$Dữ$(Y,\,{\mathfrak {O}}_{Y})$Đô thị thác phác không gian, như quảHàm sổ$f:X\to Y$Mãn túc:

$(\forall B\in {\mathfrak {O}}_{Y})[f^{-1}(B)\in {\mathfrak {O}}_{X}]$

Xưng$f$Vi${\mathfrak {O}}_{X}$-${\mathfrak {O}}_{Y}$Liên tục.

Nhược canh tiến nhất bộ,$f$ViĐối xạNhi hữuPhản hàm sổ$f^{-1}:Y\to X$Thả$f^{-1}$Vi${\mathfrak {O}}_{Y}$-${\mathfrak {O}}_{X}$Liên tục,Tắc xưng$f$Vi${\mathfrak {O}}_{X}$-${\mathfrak {O}}_{Y}$Đồng phôi ánh xạ,Thả xưng$X$Dữ$Y$Thị đồng phôi đích.

Tính chất

• $f$Đối nhậm hà bế tập đích nguyên tượng thị bế tập.
• Đối điểm$f(x)$Đích nhậm nhất lân vực$V$,Đô tồn tại điểm$x$Đích nhất cá lân vực$U$,Sử đắc$f(U)\subset V$,Tắc xưng$f(x)$Tại điểm$x$Liên tục, nhi liên tục ánh xạ tức điểm điểm liên tục đích ánh xạ.
• Đối nhậm nhất tập hợp$A$,$f({\overline {A}})\subseteq {\overline {f(A)}}$Thành lập.
• Đối nhậm nhất tập hợp$A$,$f^{-1}(A^{\circ })\subseteq (f^{-1}(A))^{\circ }$Thành lập.

Thác phác không gian phạm trù

Thác phác không gian tác viVật kiện,Liên tục ánh xạ tác viThái xạ,Cấu thành liễuThác phác không gian phạm trù,Tha thị sổ học trung đích nhất cá cơ sở tính đíchPhạm trù.Thí đồ thông quáBất biến lượngLai đối giá cá phạm trù tiến hành phân loại đích tưởng pháp, kích phát hòa sản sinh liễu chỉnh cá lĩnh vực đích nghiên cứu công tác, bao quátĐồng luân luận,Đồng điều luậnHòaK- lý luận.

Tương quan khái niệm

Cơ bổn khái niệm

Cấp định thác phác không gian$(X,\tau )$,A thị X đích tử tập, hữu dĩ hạ khái niệm ( kế tục sử dụng thượng diện đích phù hào ):

Nội bộ, nội điểm

A đích khai hạch o(A) hựu xưng vi A đíchNội bộ,Kỳ nguyên tố xưng vi A đíchNội điểm.

Ngoại bộ, ngoại điểm

X - c(A) xưng vi A đíchNgoại bộ,Kỳ nguyên tố xưng vi A đíchNgoại điểm.

Biên giới, biên giới điểm

c(A)∩c(X-A) xưng vi A đíchBiên giới,Kỳ nguyên tố xưng vi A đíchBiên giới điểm.

Xúc điểm

A đích bế bao c(A) trung đích điểm xưng vi A đíchXúc điểm.

Trù mật tính, trù mật tập

Xưng A tại X trung thịTrù mật đích( hoặc xưngTrù mật tập), đương thả cận đương c(A) = X.

Biên duyên tập

Xưng A thị X đíchBiên duyên tập,Đương thả cận đương X-A tại X trung thị trù mật đích.

Sơ tính, sơ tập

Xưng A tại X trung thịSơ đích( hoặc xưngSơ tập), đương thả cận đương c(A) thị X trung đích biên duyên tập.

Đệ nhất phạm trù tập, đệ nhị phạm trù tập

Xưng A thị X trung đíchĐệ nhất phạm trù tập,Đương thả cận đương A khả dĩ biểu kỳ vi khả sổ cá sơ tập đích tịnh. Xưng A thị X trung đíchĐệ nhị phạm trù tập,Đương thả cận đương A bất thị X trung đích đệ nhất phạm trù tập.

Tụ điểm, đạo lai tập

X trung đích điểm x xưng vi A đíchTụ điểm,Đương thả cận đương x ∈ c(A - {x}) ( hoặc giả đẳng giới địa, x đích nhậm ý lân vực chí thiếu bao hàm x dĩ ngoại đích A đích nhất cá điểm ). A đích sở hữu tụ điểm tổ thành đích tập hợp xưng vi A đíchĐạo lai tập.

Cô lập điểm

A trung đích điểm x xưng vi A đíchCô lập điểm,Đương thả cận đương tha bất thị A đích tụ điểm.

Cô điểm tập, ly tán tập

Xưng A viCô điểm tậpHoặcLy tán tập,Đương thả cận đương A trung sở hữu đích điểm đô thị A đích cô lập điểm.

Tự mật tập

Xưng A viTự mật tập,Đương thả cận đương A trung đích điểm đô thị A đích tụ điểm ( đẳng giới địa, A trung một hữu A đích cô lập điểm ).

Hoàn bị tập

Xưng A viHoàn bị tập,Đương thả cận đương A đẳng ô kỳ đạo lai tập.

Tự mật hạch

A đích tối đại tự mật tử tập xưng vi A đíchTự mật hạch.

Vô hạch tập

Xưng A thịVô hạch tập,Đương thả cận đương A đích tự mật hạch thị ∅ ( hoặc đẳng giới địa, A đích nhậm ý phi không tử tập đô hàm hữu cô lập điểm ).

Võng

VõngĐích mục đích tại thôi quảng tự liệt cập cực hạn, võng đích thu tính xưng tácMoore-Smith thu liễm.Kỳ quan kiện tại ô dĩHữu hướng tập hợpĐại thế tự nhiên sổ tập$\mathbb {N}$.

Không gian$X$Thượng đích nhất cá võng$(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$Thị tòng hữu hướng tập hợp$A$Ánh chí$X$Đích ánh xạ.

Nhược tồn tại$x\in X$,Sử đắc đối mỗi cá$x$Đích lân vực$U$Đô tồn tại$\beta \in A$,Sử đắc$\alpha \geq \beta \Rightarrow x_{\alpha }\in U$,Tắc xưng võng$(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$Thu liễm chí$x$.

Kỉ hồ sở hữu điểm tập thác phác học đích cơ bổn khái niệm đô năng biểu thuật tác võng đích thu liễm tính, thỉnh tham duyệt chủ điều mụcVõng

Thác phác không gian đích lệ tử

• Thật sổTậpRCấu thành nhất cá thác phác không gian: Toàn thể khaiKhu gianCấu thành kỳ thượng đích nhất tổ thác phác cơ, kỳ thượng đích thác phác tựu do giá tổ cơ lai sinh thành. Giá ý vị trứ thật sổ tậpRThượng đích khai tập thị nhất tổ khai khu gian đích tịnh ( khai khu gian đích sổ lượng khả dĩ thị vô cùng đa cá, đãn tiến nhất bộ khả dĩ chứng minh, sở hữu đích khai tập khả dĩ biểu kỳ vi khả sổ cá hỗ bất tương giao đích khai khu gian đích tịnh ). Tòng hứa đa phương diện lai thuyết, thật sổ tập đô thị tối cơ bổn đích thác phác không gian, tịnh thả tha dã chỉ đạo trứ ngã môn hoạch đắc đối thác phác không gian đích hứa đa trực quan lý giải; đãn thị dã tồn tại hứa đa “Kỳ quái” đích thác phác không gian, tha môn hữu bội ô ngã môn tòng thật sổ tập hoạch đắc đích trực quan lý giải.
• Canh nhất bàn đích, n duyÂu kỉ lí đắc không gianRⁿCấu thành nhất cá thác phác không gian, kỳ thượng đích khai tập tựu do khai cầu lai sinh thành.
• Nhậm hàĐộ lượng không gianĐô khả cấu thành nhất cá thác phác không gian, như quả kỳ thượng đích khai tập do khai cầu lai sinh thành. Giá trung tình huống bao quát liễu hứa đa phi thường hữu dụng đích vô cùng duy không gian, nhưPhiếm hàm phân tíchLĩnh vực trung đíchBanach không gianHòaHi nhĩ bá đặc không gian.
• Nhậm hàCục bộ thểĐô tự nhiên địa ủng hữu nhất cá thác phác, tịnh thả giá cá thác phác khả dĩ khoách trương thành vi giá cá vực thượng đíchHướng lượng không gian.
• Trừ liễu do toàn thể khai khu gian sinh thành đích thác phác chi ngoại, thật sổ tập hoàn khả dĩ phú dư lánh ngoại nhất chủng thác phác —Hạ hạn thác phác( lower limit topology ). Giá chủng thác phác đích khai tập do hạ liệt điểm tập cấu thành — không tập, toàn tập hòa do toàn thể bán khai khu gian [a,b) sinh thành đích tập hợp. Giá chủng thác phác nghiêm cách địa tế ô thượng diện định nghĩa đích âu kỉ lí đắc thác phác; tại giá chủng thác phác không gian trung, nhất cá điểm liệt thu liễm ô nhất điểm, đương thả cận đương, cai điểm liệt tại âu kỉ lí đắc thác phác trung dã thu liễm ô giá cá điểm. Giá dạng ngã môn tựu cấp xuất liễu nhất cá tập hợp ủng hữu bất đồng thác phác đích kỳ lệ.
• Lưu hìnhĐô thị nhất cá thác phác không gian.
• Mỗi nhất cáĐan hìnhĐô thị nhất cá thác phác không gian. Đan hình thị nhất chủng tạiKế toán kỉ hà họcTrung phi thường hữu dụng đíchĐột tập.Tại 0, 1, 2 hòa 3 duy không gian trung, tương ứng đích đan hình phân biệt thịĐiểm,Tuyến đoạn,Tam giác hìnhHòaTứ diện thể.
• Mỗi nhất cáĐan thể phục hìnhĐô thị nhất cá thác phác không gian. Nhất cá đan thể phục hình do hứa đa đan hình cấu thành. Hứa đa kỉ hà thể đô khả dĩ thông quá đan thể phục hình — lai kiến lập mô hình, tham kiếnĐa bào hình( Polytope ).
• Trát lí tư cơ thác phácThị nhất chủng thuần túy do đại sổ lai định nghĩa đích thác phác, giá chủng thác phác kiến lập tại mỗ cá hoàn đíchGiao hoán hoàn phổChi thượng hoặc giả mỗ cáĐại sổ thốcChi thượng. ĐốiRⁿHoặc giảCⁿLai thuyết, tương ứng trát lí tư cơ thác phác định nghĩa đích bế tập, tựu thị do toàn thểĐa hạng thứcPhương trình đích giải tập hợp cấu thành.
• Tuyến tính đồThị nhất chủng năng thôi quảngĐồĐích hứa đa kỉ hà tính chất đích thác phác không gian.
• Phiếm hàm phân tíchTrung đích hứa đaToán tửTập hợp khả dĩ hoạch đắc nhất chủng đặc thù đích thác phác, tại giá chủng thác phác không gian trung mỗ nhất loại hàm sổ tự liệt thu liễm ô linh hàm sổ.
• Nhậm hà tập hợp đô khả dĩ phú dưLy tán thác phác.Tại ly tán thác phác trung nhậm hà nhất cá tử tập đô thị khai tập. Tại giá chủng thác phác không gian trung, chỉ hữu thường sổ liệt hoặc giả võng thị thu liễm đích.
• Nhậm hà tập hợp đô khả dĩ phú dưBình dung thác phác.Tại bình dung thác phác trung chỉ hữu không tập hòa toàn tập thị khai tập. Tại giá chủng thác phác không gian trung, nhậm hòa nhất cá tự liệt hoặc giả võng đô thu liễm ô nhậm hà nhất cá điểm. Giá cá lệ tử cáo tố ngã môn, tại mỗ ta cực đoan tình huống hạ, nhất cá tự liệt hoặc giả võng khả năng bất hội thu liễm ô duy nhất đích nhất cá điểm.
• Hữu hạn bổ thác phác.Thiết X thị nhất cáTập hợp.X đích sở hữu hữu hạnTử tậpĐíchBổ tậpGia thượngKhông tập,Cấu thành X thượng đích nhất cá thác phác. Tương ứng đích thác phác không gian xưng viHữu hạn bổ không gian.Hữu hạn bổ không gian thị giá cá tập hợp thượng tối tiểu đíchT₁Thác phác.
• Khả sổ bổ thác phác.Thiết X thị nhất cáTập hợp.X đích sở hữuKhả sổ tử tậpĐíchBổ tậpGia thượngKhông tập,Cấu thành X thượng đích nhất cá thác phác. Tương ứng đích thác phác không gian xưng viKhả sổ bổ không gian.
• Như quả Γ thị nhất cáTự sổ,Tắc tập hợp [0, Γ] thị nhất cá thác phác không gian, cai thác phác khả dĩ do khu gian (a,b] sinh thành, thử xửaHòabThị Γ đích nguyên tố.

Lệ tử

1. X = {1,2,3,4}  hòa  X  nội lưỡng cá tử tập tổ thành đích tập tộc  τ = {∅, X}  hội hình thành nhất cá mật trứ thác phác.
2. X = {1,2,3,4}  hòa  X  nội lục cá tử tập tổ thành đích tập tộc  τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}}  hội hình thành lánh nhất cá thác phác.
3. X = ℤ( chỉnh sổ tập hợp ) cập tập tộc  τ  đẳng ô sở hữu đích hữu hạn chỉnh sổ tử tập gia thượng  ℤ  tự thânBất thịNhất cá thác phác, nhân vi ( lệ như ) sở hữu bất bao hàm linh đích hữu hạn tập hợp đích tịnh tập thị vô hạn đích, đãn bất thị  ℤ  đích toàn bộ, nhân thử bất tại  τ  nội.
4. 1 cá nguyên tố đích tập thượng tổng thác phác sổ hiển nhiên chỉ hữu 1 cá.
5. 2 cá nguyên tố đích tập thượng tổng thác phác sổ hiển nhiên chỉ hữu 4 cá.
6. 3 cá nguyên tố đích tập thượng tổng thác phác sổ chỉ hữu 29 cá.
7. 4 cá nguyên tố đích tập thượng tổng thác phác sổ chỉ hữu 355 cá.
8. n cá nguyên tố đích tập thượng tổng thác phác sổ quy luật hoàn tại nghiên cứu trung, bất quá dĩ thủ đắc ta thành quả. Tham kiếnOEIS-A000798 thuyết minh

3 điểm tập X={a,b,c} đích thác phác tổng cộng hữu 29 cá, khả phân vi cửu loại, cụ thể như hạ:

1. {∅, X}
2. {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
3. {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
4. {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
5. {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
6. {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
7. {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
8. {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
9. {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

Thác phác không gian đích cấu tạo

• Thác phác không gian đích nhậm hà nhất cá tử tập đô khả dĩ bị phú dư nhất cáTử không gian thác phác,Tử không gian thác phác trung đích khai tập thị toàn không gian thượng đích khai tập hòa tử không gian đích giao.
• Đối nhậm hà phi không đích thác phác không gian tộc, ngã môn khả dĩ cấu tạo xuất giá ta thác phác không gian đích tích thượng đích thác phác, giá chủng thác phác xưng viTích thác phác.Đối ô hữu hạn tích lai thuyết, tích không gian thượng đích khai tập khả dĩ do không gian tộc trung các cá không gian đích khai tập đích tích sinh thành xuất lai.
• Thương thác phácKhả dĩ bị như hạ địa định nghĩa xuất lai: NhượcXThị nhất cá thác phác không gian,YThị nhất cá tập hợp, như quảf:X→YThị nhất cáMãn xạ,Na maYHoạch đắc nhất cá thác phác; cai thác phác đích khai tập khả như thử định nghĩa, nhất cá tập hợp thị khai đích, đương thả cận đương tha đíchNghịch tượngDã thị khai đích. Khả dĩ lợi dụngfTự nhiên đầu ảnh xác định hạXThượng đíchĐẳng giới loại,Tòng nhi cấp xuất thác phác không gianXThượng đích nhất cáĐẳng giới quan hệ.
• Vietoris thác phác

Thác phác không gian đích phân loại

Y cư điểm hòa tập hợp phân ly đích trình độ, đại tiểu, liên thông trình độ, khẩn tính đẳng. Khả dĩ đối thác phác không gian tiến hành các chủng các dạng đích phân loại. Tịnh thả do ô giá ta phân loại sản sinh liễu hứa đa bất đồng đích thuật ngữ.

Dĩ hạ giả thiết X vi nhất cá thác phác không gian.

Phân ly công lý

Tường tế tư liêu thỉnh tham chiếuPhân ly công lýDĩ cập tương quan điều mã. Hữu ta thuật ngữ tại lão đích văn hiến trung thải dụng liễu bất đồng địa định nghĩa phương thức, thỉnh tham chiếuPhân ly công lý đích lịch sử.

Thác phác bất khả khu phân tính

X trung lưỡng cá điểm x, y xưng viThác phác bất khả khu phân đích,Đương thả cận đương như hạ kết luận chi nhất thành lập:

• Đối X trung mỗi cá khai tập U, hoặc giả U đồng thời bao hàm x, y lưỡng giả, hoặc giả đồng thời bất bao hàm tha môn.
• x đích lân vực hệ hòa y đích lân vực hệ tương đồng.
• $x\in {\overline {\{y\}}}$,Thả$y\in {\overline {\{x\}}}$.

Khả sổ công lý

Khả phân đích

X xưng viKhả phânĐích,Đương thả cận đương tha ủng hữu nhất cáKhả sổĐíchTrù mậtTử tập.

Đệ nhất khả sổ

X xưng viĐệ nhất khả sổĐích,Đương thả cận đương kỳ nhậm hà nhất cá điểm đô hữu nhất cá khả sổ đích cục bộ cơ.

Đệ nhị khả sổ

X xưng viĐệ nhị khả sổĐích,Đương thả cận đương kỳ ủng hữu nhất cá khả sổ đích cơ.

Liên thông tính

Liên thông

X xưng viLiên thôngĐích,Đương thả cận đương tha bất thị lưỡng cá vô giao đích phi không khai tập đích tịnh. ( hoặc đẳng giới địa, cai không gian đíchBế khai tập( kí khai hựu bế đích tập hợp ) chỉ hữu không tập hòa toàn không gian lưỡng giả ).

Cục bộ liên thông

X xưng viCục bộ liên thôngĐích,Đương thả cận đương tha đích mỗi cá điểm đô tồn tại nhất cá đặc thù đích cục bộ cơ, giá cá cục bộ cơ do liên thông tập cấu thành.

Hoàn toàn bất liên thông

X xưng viHoàn toàn bất liên thôngĐích,Đương thả cận đương bất tồn tại đa ô nhất cá điểm đích liên thông tử tập.

Lộ kính liên thông

X xưng viLộ kính liên thôngĐích,Đương thả cận đương kỳ nhậm ý lưỡng điểmxHòay,Tồn tại tòngxĐáoyĐích đạo lộp,Dã tức, tồn tại nhất cá liên tục ánh xạp:[0,1] →X,Mãn túcp( 0 ) =xThảp( 1 ) =y.Lộ kính liên thông đích không gian tổng thị liên thông đích.

Cục bộ lộ kính liên thông

X xưng viCục bộ lộ kính liên thôngĐích,Đương thả cận đương kỳ mỗi cá điểm đô hữu nhất cá đặc thù đích cục bộ cơ, giá cá cục bộ cơ do lộ kính liên thông tập cấu thành. Nhất cá cục bộ lộ kính liên thông không gian thị liên thông đích, đương thả cận đương tha thị lộ kính liên thông đích.

Đan liên thông

X xưng viĐan liên thôngĐích,Đương thả cận đương tha thị lộ kính liên thông thả mỗi cá liên tục ánh xạ$f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X$Đô dữ thường sổ ánh xạĐồng luân.

Khả súc

X xưng viKhả súcĐích,Đương thả cận đương thaĐồng luân đẳng giớiĐáo nhất điểm.

Siêu liên thông

X xưng viSiêu liên thông đích,Đương thả cận đương nhậm lưỡng cá phi không khai tập đích giao tập phi không. Siêu liên thông uẩn hàm liên thông.

Cực liên thông

X xưng viCực liên thông đích,Đương thả cận đương nhậm lưỡng cá phi không bế tập đích giao tập phi không. Cực liên thông uẩn hàm lộ kính liên thông.

Bình dung đích

X xưng viBình dung đích,Đương thả cận đương kỳ khai tập chỉ hữu bổn thân dữ không tập.

Khẩn tính

( tường tế tư liêu thỉnh tham chiếuKhẩn tập)

Khẩn tính

X xưng viKhẩn đích,Đương thả cận đương kỳ nhậm ý khai phúc cái đô hữu hữu hạn khai phúc cái đích gia tế.

Lâm đức lạc phu tính chất

X xưng vi ủng hữuLâm đức lạc phu tính chất,Đương thả cận đương kỳ nhậm ý khai phúc cái đô hữu khả sổ khai phúc cái đích gia tế.

Phảng khẩn

X xưng viPhảng khẩn đích,Đương thả cận đương kỳ nhậm ý khai phúc cái đô hữu cục bộ hữu hạn khai phúc cái đích gia tế.

Khả sổ khẩn

X xưng viKhả sổ khẩn đích,Đương thả cận đương kỳ nhậm ý khả sổ khai phúc cái đô hữu hạn khai phúc cái đích gia tế.

Liệt khẩn

X xưng viKhả sổ khẩn đích,Đương thả cận đương kỳ nhậm ý điểm liệt đô bao hàm thu liễm tử liệt.

Ngụy khẩn

X xưng viNgụy khẩn đích,Đương thả cận đương kỳ thượng đích nhậm ý thật trị liên tục hàm sổ đô hữu giới.

Khả độ lượng hóa

Khả độ lượng tính ý vị trứ khả phú dư không gian nhất cá độ lượng, sử chi cấp xuất cai không gian đích thác phác. Mục tiền dĩ hữu hứa đa bản bổn đích độ lượng hóa định lý, kỳ trung tối trứ danh đích thịUrysohn độ lượng hóa định lý:Nhất cá đệ nhị khả sổ đích chính tắc hách tư đa phu không gian khả bị độ lượng hóa. Do thử khả đạo xuất nhậm hà đệ nhị khả sổ đíchLưu hìnhGiai khả độ lượng hóa.

Ủng hữu đại sổ kết cấu đích thác phác không gian

Đối ô nhậm nhất loại đại sổ kết cấu, ngã môn đô khả dĩ khảo lự kỳ thượng đích thác phác kết cấu, tịnh yếu cầu tương quan đích đại sổ vận toán thị liên tục ánh xạ. Lệ như, nhất cáThác phác quần$G$Nãi thị nhất cá thác phác không gian phối thượng liên tục ánh xạ$m:G\times G\rightarrow G$( quần thừa pháp ) cập$i:G\rightarrow G$( phản nguyên tố ), sử chi cụ bị quần kết cấu.

Đồng dạng địa, khả định nghĩaThác phác hướng lượng không gianVi nhất cá phú hữu thác phác kết cấu đích hướng lượng không gian, sử đắc gia pháp dữ thuần lượng thừa pháp thị liên tục ánh xạ, giá thịPhiếm hàm phân tíchĐích chủ đề; ngã môn khả dĩ loại tự địa định nghĩaThác phác hoàn,Thác phác vực đẳng đẳng.

Kết hợp thác phác dữ đại sổ kết cấu, vãng vãng khả dĩ dẫn xuất tương đương phong phú nhi thật dụng đích lý luận, lệ như vi phân kỉ hà tham cứu đíchChủ tề tính không gian.TạiĐại sổ sổ luậnCậpĐại sổ kỉ hàTrung, nhân môn dã thường định nghĩa thích đương đích thác phác kết cấu dĩ giản hóa lý luận, tịnh đắc đáo giác giản minh đích trần thuật; như sổ luận trung đíchCục bộ thể( nhất chủng thác phác vực ),Già la ngõa lý luậnTrung khảo lự đích Krull thác phác ( nhất chủng đặc biệt đích thác phác quần ), dĩ cập định nghĩaHình thức khái hìnhSở bất khả thiếu đích I- tiến thác phác ( nhất chủng thác phác hoàn ) đẳng đẳng.

Ủng hữu tự kết cấu đích thác phác không gian

Thác phác không gian dã khả năng ủng hữu tự nhiên đíchTự kết cấu,Lệ tử bao quát:

• Phổ không gian ( spectral space ) thượng đích tự kết cấu.
• Đặc thù hóa dự tự:Định nghĩa$x\leq y\Leftrightarrow \mathrm {cl} (x)\subset \mathrm {cl} (y)$.Thường kiến ôKế toán cơ khoa học.

Ngoại bộ liên kết

n cá nguyên tố đích tập thượng tổng thác phác sổ quy luật

• Chỉnh sổ sổ liệt tuyến thượng đại toàn:OEIS-A000798.

Tham khảo thư mục

• John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag.ISBN 0387901256.
• James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall;ISBN 0131816292.

• Điểm tập thác phác học sơ bộ /Giang trạch hàmTrứ. -Thượng hải:Thượng hải khoa học kỹ thuật xuất bản xã,1979 niên 1 nguyệt.
• Điểm tập thác phác học cơ sở / ngô đông hưng trứ. -Bắc kinh:Khoa học xuất bản xã,1981 niên 3 nguyệt.
• Điểm tập thác phác học nguyên lý / bào mỗ trứ; bồ tư lập dịch. -Bắc kinh:Nhân dân giáo dục xuất bản xã,1981 niên 6 nguyệt.
• Nhất bàn thác phác học / lý phổ thư tì trứ; trần xương bình đẳng dịch. -Thượng hải:Hoa đông sư đại xuất bản xã,1982 niên 1 nguyệt.
• Nhất bàn thác phác học / khải lai trứ; ngô tùng, ngô nhượng tuyền dịch. -Bắc kinh:Khoa học xuất bản xã,1982 niên 5 nguyệt.
• Thác phác học dẫn luận / bổn đặc · môn đức nhĩ sâm trứ; trần minh úy dịch. -Nam ninh:Quảng tây nhân dân xuất bản xã,1983 niên 1 nguyệt.
• Cơ sở thác phác học / a mỗ tư đặc lãng trứ; tôn dĩ phong dịch. -Bắc kinh:Bắc kinh đại học xuất bản xã,1983 niên 1 nguyệt.
• Điểm tập thác phác học / phương gia lâm biên trứ. -Thẩm dương:Liêu ninh nhân dân xuất bản xã,1983 niên 4 nguyệt.
• Thác phác học đích cơ sở hòa phương pháp / dã khẩu hoành trứ; quách vệ trung, vương gia ngạn dịch. -Bắc kinh:Khoa học xuất bản xã,1986 niên 3 nguyệt.
• Thác phác học sơ bộ /Tô bộ thanhTrứ. -Thượng hải:Phục đán đại học xuất bản xã,1986 niên 4 nguyệt.
• Thác phác học cơ sở giáo trình / mạn khắc lặc tư trứ; la tung linh đẳng dịch. -Bắc kinh:Khoa học xuất bản xã,1987 niên 8 nguyệt.
• Cơ sở thác phác học / hà bá hòa, liêu công phu trứ. -Bắc kinh:Cao đẳng giáo dục xuất bản xã,1991 niên 1 nguyệt.
• Nhất bàn thác phác học chuyên đề tuyển giảng / tưởng kế quang trứ. -Thành đô:Tứ xuyên giáo dục xuất bản xã,1991 niên 3 nguyệt.
• Thác phác học đạo luận / bào lí tác duy kỳ đẳng trứ; thịnh lập nhân đẳng dịch. -Bắc kinh:Cao đẳng giáo dục xuất bản xã,1992 niên 9 nguyệt.
• Cơ sở thác phác học giảng nghĩa / vưu thừa nghiệp biên trứ. -Bắc kinh:Bắc kinh đại học xuất bản xã,1997 niên.ISBN 7-301-03103-3.