Hai nguyên tố quan hệ

Toán họcThượng,Hai nguyên tố quan hệ( tiếng Anh:Binary relation,Hoặc tên gọi tắtQuan hệ) dùng với thảo luận hai loại đồ vật liền hệ. Như làSố họcTrung “Lớn hơn” cập “Bằng”,Hình họcTrung “Tương tự” hoặcTập hợp luậnTrung “Vì…… Chi nguyên tố”, “Vì…… Chi tử tập”.

Định nghĩa

Thiết$A,B$Vì tập hợp,$A\times B$Bất luận cái gì tử tập gọi$A$Đến$B$Hai nguyên tố quan hệ, đặc biệt là đương$A=B$Khi, gọi$A$Thượng hai nguyên tố quan hệ, giống nhau nhớ làm$R$.Nếu$R\subseteq A\times B$,$R$Là từ$A$Đến$B$Hai nguyên tố quan hệ; nếu$R\subseteq A\times A$,Như vậy$R$Là$A$Thượng hai nguyên tố quan hệ

Hoặc là lấyChính thức logic ký hiệuThuyết minh vì

$(\forall r\in R)(\exists x)(\exists y)[\,r=(x,\,y)\,]$

Lệ một: Có bốn kiện đồ vật {Cầu,Đường,Xe,Thương} cập bốn người {Giáp,Ất,Bính, đinh}. Nếu giáp có được cầu, Ất có được đường, Bính hai bàn tay trắng nhưng đinh có được xe, tắc “Có được” hai nguyên tố quan hệ có thể viết vì

$R$= {(Cầu,Giáp), (Đường,Ất), (Xe,Đinh)}

Trong đó hai nguyên tốCó tự đốiĐệ nhất hạng là bị có được đồ vật, đệ nhị hạng là người sở hữu.

Lệ nhị:Số thực hệ$\mathbb {R}$Thượng “Lớn hơn quan hệ” nhưng định nghĩa vì

$>\,:=\{\,(a,\,b)\in {\mathbb {R} }^{2}\,|\,(\exists r\in \mathbb {R} )[\,(a=b+r)\wedge (r\neq 0)\,]\}$

Bởi vì thói quen thượng$(a,\,b)\in \,>$Thông thường đều là viết vì$a>b$,Càng nói như vậy, không làm cho lẫn lộn nói sẽ đem$(x,\,y)\in R$Viết chữ giản thể thành$xRy$.

Tập hợp quan hệ

Tập hợp$X$Cùng tập hợp$Y$Thượng hai nguyên tố quan hệ tắc định nghĩa vì$R=(X,Y,G(R))$,Giữa$G(R)\subseteq X\times Y$( thỉnh tham kiếnSáo tạp nhi tích), xưng là$R$Đồ.Nếu$(x,y)\in G(R)$Tắc xưng$x$Cùng$y$Có quan hệ$R$,Cũng nhớ làm$xRy$Hoặc$R(x,y)$.

Nhưng thường xuyên mà chúng ta đem quan hệ cùng với đồ đồng giá lên, cho dù$R\subseteq X\times Y$Tắc$R$Là một cái quan hệ.

Lời tuy như thế, chúng ta rất nhiều thời điểm đơn giản đem tập hợp gian quan hệ$R$Định nghĩa vì$G(R)$Mà “Có tự đối$(x,y)\in G(R)$”Tức là “$(x,y)\in R$”.

Đặc thù hai nguyên tố quan hệ

Thiết$A$Là một cái tập hợp, tắc

1. Không tập$\varnothing$Gọi$A$ThượngKhông quan hệ
2. $E_{A}=A\times A$Gọi$A$ThượngToàn vực quan hệ(Hoàn toàn quan hệ)
3. $I_{A}=\{(x,x)|x\in A\}$Gọi$A$ThượngGiống hệt quan hệ

Quan hệ Ma trận

Thiết$X=\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\}$Cập$Y=\{y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}\}$,$R$Là$X$Cùng$Y$Thượng quan hệ, lệnh

$r_{ij}={\begin{cases}1&(x_{i},y_{j})\in R\\0&(x_{i},y_{j})\notin R\end{cases}}$

Tắc0,1 Ma trận

$(r_{ij})={\begin{bmatrix}r_{11}&r_{12}&\cdots &r_{1m}\\r_{21}&r_{22}&\cdots &r_{2m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\r_{n1}&r_{n2}&\cdots &r_{nm}\end{bmatrix}}$

Xưng là$R$Quan hệ Ma trận,Nhớ làm$M_{R}$.

Quan hệ đồ

Thiết$A=\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\}$,$R$Là$A$Thượng quan hệ, lệnhĐồ$G=(V,E)$,Trong đóĐỉnh điểmTập hợp$V=A$,Biên tập hợp vì$E$,Thả đối với tùy ý$x_{i},x_{j}\in V$,Thỏa mãn$(x_{i},x_{j})\in E$Đương thả chỉ đương$(x_{i},x_{j})\in R$.Tắc xưng đồ$G$Là quan hệ$R$Quan hệ đồ,Nhớ làm$G_{R}$.

Giải toán

Quan hệ cơ bản giải toán có dưới vài loại:

• Thiết$R$Vì hai nguyên tố quan hệ,$R$Trung sở hữuCó tự đốiĐệ nhất nguyên tố cấu thành tập hợp xưng là$R$Tập xác định,Nhớ làm${\mbox{dom}}(R)$.Hình thức hóa tỏ vẻ vì

${\mbox{dom}}(R)=\{\,x\,|\,(\exists y)[\,(x,y)\in R\,]\,\}$

• Thiết$R$Vì hai nguyên tố quan hệ,$R$Trung sở hữuCó tự đốiĐệ nhị nguyên tố cấu thành tập hợp xưng là$R$Giá trị vực,Nhớ làm${\mbox{ran}}(R)$.Hình thức hóa tỏ vẻ vì

${\mbox{ran}}(R)=\{\,y\,|\,(\exists x)[\,(x,y)\in R\,]\,\}$

• Thiết$R$Vì hai nguyên tố quan hệ,$R$Tập xác địnhCùngGiá trị vựcCũng tập gọi$R$Vực,Nhớ làm${\mbox{fld}}(R)$,Hình thức hóa tỏ vẻ vì

${\mbox{fld}}(R)={\mbox{dom}}(R)\cup {\mbox{ran}}(R)$

• Thiết$R$Vì hai nguyên tố quan hệ,$R$Nghịch quan hệ,Tên gọi tắt$R$Nghịch,Nhớ làm$R^{-1}$,Trong đó

$R^{-1}=\{\,p\,|\,(\exists x)(\exists y)[\,(x,y)\in R\wedge p=(y,x)\,]\,\}$

• Thiết$F,G$Vì hai nguyên tố quan hệ,$G$Cùng$F$Hợp thành quan hệNhớ làm$F\circ G$,Trong đó

$F\circ G=\{(x,y)|\exists t,~(x,t)\in F\wedge (t,y)\in G\}$

• Thiết$R$Vì hai nguyên tố quan hệ,$A$Là một cái tập hợp.$R$Ở$A$ThượngHạn chếNhớ làm$R\upharpoonright A$,Trong đó

$R\upharpoonright A=\{(x,y)|(x,y)\in R\wedge x\in A\}$

• Thiết$R$Vì hai nguyên tố quan hệ,$A$Là một cái tập hợp.$A$Ở$R$HạGiốngNhớ làm$R[A]$,Trong đó

$R[A]={\mbox{ran}}(R\upharpoonright A)$

• Thiết$R$Vì$A$Thượng hai nguyên tố quan hệ, bên phải hợp lại cơ sở thượng có thể định nghĩa quan hệMịch giải toán:

$R^{0}=I_{A}\$
$R^{n+1}=R^{n}\circ R\$

Tính chất

Quan hệ tính chất chủ yếu có dưới năm loại:

• Tự phản tính:$\forall x\in A,~(x,x)\in R$

Ở tập hợp X thượng quan hệ R, như đối tùy ý$x\in X$,Có$(x,x)\in R$,Tắc xưng R là tự phản.

• Phi tự phản tính ( tự phản tính phủ định cường hình thức ):$\forall x\in A,~~(x,x)\notin R$

Ở tập hợp X thượng quan hệ R, như đối tùy ý$x\in X$,Có$(x,x)\notin R$,Tắc xưng R thị phi tự phản.

• Tính đối xứng:$\forall x,y\in A,~(x,y)\in R\implies (y,x)\in R$

Ở tập hợp X thượng quan hệ R, nếu có$(x,y)\in R$Thả$x\neq y$Tất có$(y,x)\in R$,Tắc xưng R là đối xứng.

• Phản đối xưng tính( không phải tính đối xứng phủ định ):$\forall x,y\in A,~((x,y)\in R\wedge (y,x)\in R)\implies x=y$
• Phi tính đối xứng( tính đối xứng phủ định cường hình thức ):$\forall x,y\in A,~(x,y)\in R\implies (y,x)\notin R$

Phi tính đối xứng là thỏa mãn phi tự phản tính phản đối xưng tính.

• Truyền lại tính:$\forall x,y,z\in A,~((x,y)\in R\wedge (y,z)\in R)\implies (x,z)\in R$

Thiết$R$Vì tập hợp$A$Thượng quan hệ, phía dưới cấp ra$R$Năm loại tính chất thành lập sung muốn điều kiện:

1. $R$Ở$A$Thượng tự phản, đương thả chỉ đương$I_{A}\subseteq R$
2. $R$Ở$A$Thượng phi tự phản, đương thả chỉ đương$R\cap I_{A}=\emptyset$
3. $R$Ở$A$Thượng đối xứng, đương thả chỉ đương$R=R^{-1}\$
4. $R$Ở$A$Thượng phản đối xưng, đương thả chỉ đương$R\cap R^{-1}\subseteq I_{A}$
5. $R$Ở$A$Thượng phi đối xứng, đương thả chỉ đương$R\cap R^{-1}=\emptyset$
6. $R$Ở$A$Thượng truyền lại, đương thả chỉ đương$R\circ R\subseteq R$

Bế bao

Thiết$R$Thị phi không tập hợp$A$Thượng quan hệ,$R$Tự phản ( đối xứng hoặc truyền lại )Bế baoLà$A$Thượng quan hệ$R'$,Thỏa mãn

1. $R'$Là tự phản ( đối xứng hoặc truyền lại )
2. $R\subseteq R'$
3. Đối$A$Tiền nhiệm gì bao hàm$R$Tự phản ( đối xứng hoặc truyền lại ) quan hệ$R''$Có$R'\subseteq R''$

Giống nhau đem$R$Tự phản bế bao nhớ làm$r(R)$,Đối xứng bế bao nhớ làm$s(R)$,Truyền lại bế baoNhớ làm$t(R)$.

Dưới đây ba cái định lý cấp ra cấu tạo bế bao phương pháp:

1. $r(R)=R\cup R^{0}$
2. $s(R)=R\cup R^{-1}$
3. $t(R)=R\cup R^{2}\cup R^{3}\cup \cdots$

Đối với hữu hạn tập hợp$A$Thượng quan hệ$R$,Tồn tại một cái chính số nguyên$r$,Khiến cho

$t(R)=R\cup R^{2}\cup \cdots \cup R^{r}$

Cầu truyền lại bế bao là đồ luận trung một cái trọng yếu phi thường vấn đề, tỷ như cấp định rồi một cái thành thị giao thông bản đồ, nhưng lợi dụng cầu truyền lại bế bao phương pháp được biết tùy ý hai cái địa điểm chi gian hay không có đường tương liên thông. Có thể trực tiếp lợi dụng quan hệ Ma trận tương thừa tới cầu truyền lại bế bao, nhưng làm như vậy phức tạp độ tương đối cao; hảo một chút biện pháp là ở tính toán Ma trận tương thừa thời điểm dùngPhân trị phápHạ thấp thời gian phức tạp độ; nhưng phương pháp tốt nhất là lợi dụng căn cứ vàoĐộng thái quy hoạchFloyd-Warshall thuật toánTới cầu truyền lại bế bao.

Tham kiến

• Có tự đối
• Hai nguyên tố tập hợp
• Sáo tạp nhi tích
• Thiên tự quan hệ
• Đồng giá quan hệ
• Tương dung quan hệ