Cụ thể phạm trù

ỞToán học,Cụ thể phạm trùGiống nhau bị cho rằng là cái dạng này một loạiPhạm trù,Này đồ vật vìKết cấu tính Tập hợp,Thái bắn vì kết cấu bảo trìHàm số,Mà thái bắn hợp lại tắc vì hàm số hợp lại. Này hình thức định nghĩa cũng không cùng này trực quan hoàn toàn ăn khớp.

Tập hợp cùng hàm số phạm trùSetĐương nhiênVì một khối thể phạm trù, bởi vì mỗi cái tập hợp đều có thể bị cho rằng mang có một cái “Đương nhiên kết cấu”. Càng quan trọng ví dụ còn bao gồmThác phác không gianCùngLiên tục hàm sốPhạm trùTopCùngĐànCùngCùng tháiPhạm trùGrp.

Định nghĩa

Một cáiCụ thể phạm trùVì một đôi (C,U), sẽ khiến cho

CVì một phạm trù, thả
UVì mộtTrung thực hàm tửC→Set.

UBị cho rằng là một loạiQuên đi hàm tử,Nó đemCTrung mỗi cái đồ vật chỉ định đến này “Nguyên tập hợp” trung, thả đemCTrung mỗi cái thái bắn chỉ định đến này “Nguyên hàm số”.

Một cái phạm trùCLà “Nhưng cụ thể” nếu tồn tại một cái cụ thể phạm trù (C,U), đó là tồn tại một trung thực hàm tửU:C→Set.

Chú nhớ

1. Cần thiết cường điệu chính là, cùng trực quan tương đối mà, cụ thể hoá cũng không phải một cái phạm trù hay không cần thỏa mãnTính chất,Mà là muốn xem một cái phạm trù hay không mang có kết cấu. Đặc biệt mà là, một cái phạm trùCKhả năng cho phép mấy cái chiếu rọi đếnSetTrung thực hàm tử. Bởi vậy, cùng cái phạm trùC,Khả năng sẽ có mấy cái cụ thể phạm trù (C,U).

Nhưng trên thực tế đối quên đi hàm tử tuyển định thông thường là rõ ràng, thả tại đây tình hình dưới, nhưng đơn giản nói “Cụ thể phạm trùC”.Tỷ như, “Cụ thể phạm trùSet”Sẽ là chỉ đối (Set,I), trong đóIVìĐơn vị hàm tửSet→Set.

2. ĐốiUCần thiết là trung thực yêu cầu ý chỉ muốn này đem tương đồng đồ vật bất đồng thái bắn chiếu rọi đến bất đồng hàm số thượng. Bất quá,UKhả năng đem bất đồng đồ vật chiếu rọi đến cùng cái tập hợp thượng, thả nếu đây là thật, nó cũng sẽ đem bất đồng thái bắn chiếu rọi đến cùng cái hàm số thượng.

Tỷ như, nếuSCùngTLà hai cái ở cùng tập hợpXThượng bất đồng thác phác, tắc (X,S) cùng (X,T) sẽ là ởTopThượng bất đồng đồ vật, thả này quên đi hàm tửTop→SetChiếu rọi đến cùng cái tập hợp, tứcXThượng. Càng sâu chi, đơn vị thái bắn (X,S)→(X,S) cùng đơn vị thái bắn (X,T)→(X,T) bị cho rằng làTopTrung bất đồng thái bắn, nhưng sẽ có tương đồng nguyên hàm số, tứcXTrung đơn vị hàm số.

Cùng loại mà, nhậm một có bốn cái nguyên tố tập hợp có thể cấp định hai cái không giống cấu đàn kết cấu: Một cái cùng cấu với $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ;Một cái khác tắc cùng cấu với $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ .

Càng nhiều ví dụ

1. Nhậm một cái đànGKhả năng bị coi là một cái có chỉ một cái đồ vật, đối mỗi cái đàn nội nguyên tố đều có một đôi ứng thái bắn “Trừu tượng” phạm trù,. Căn cứ điều mục đỉnh sở miêu tả trực quan khái niệm, này cũng không bị cho rằng là cụ thể. Nhưng mỗi cái trung thựcG- tập hợp( đồng giá mà nói, mỗi cái đemGLàmĐàn đổi thànhTỏ vẻ ) đều sẽ quyết định một cái trung thực hàm tửG→Set.Đương mỗi cái đàn đều có thể trung thực mà tác dụng ở này bản thân khi,GÍt nhất có một loại phương pháp có thể làm một khối thể phạm trù.

2. Tương tự mà, nhậm mộtThiên tự tập hợpPKhả năng bị coi là vừa kéo tượng phạm trù, này có chứa một cái duy nhất thái bắnx→y,Nếux≤yKhi. Nhưng định nghĩa một hàm tửD:P→Set,Đem mỗi cái đồ vậtxChiếu rọi đến $D(x)=\{a\in P:a\leq x\}$ Thả mỗi cái thái bắnx→yChiếu rọi đến bao gồm chiếu rọi $D(x)\hookrightarrow D(y)$ Trung, lấy này tới làm một khối thể phạm trù.

3. Đồ vật vìTập hợpThả thái bắn vìQuan hệPhạm trùRelÁnh mắt đầu tiên thoạt nhìn sẽ là nhưng cụ thể. Nhưng mà, còn có đồng giá với một cái đồ vật vìHoàn toàn cáchThả thái bắn vìThượng xác giới bảo trì chiếu rọiPhạm trùSup.Người sau là cụ thể, cho nên nhưng đemRelTrí vớiRel→Sup→SetTrung. Nếu làm như vậy, tắcRelĐồ vật ( tức tập hợp ) “Nguyên tập hợp” không phải là nó bản thân, mà là nóMịch tập.Tại đây ý tứ dưới, quan hệ $R\subseteq X\times Y$ “Nguyên hàm số” tức vì hàm số $\rho:2^{X}\rightarrow 2^{Y}$ ,Này định nghĩa vì $\rho (A)=\{y\in Y:\exists x\in A((x,y)\in R)\}$ .

4. Dựa vào kỹ thuật thượng lý do,Banach không gianCùngTuyến tính súc ướcPhạm trùBan₁Thông thường không phải có chứa “Rõ ràng” quên đi hàm tử, mà là đem Banach không gian chiếu rọi đến này ( phong bế )Đơn vị cầuHàm tửU₁:Ban₁→Set.

5. NếuCVì nhậm một tiểu phạm trù, tắc tồn tại một trung thực hàm tửP:Set^{C^op}→Set,ĐemDự tầngXChiếu rọi đến tích số $\prod _{c\in \mathrm {ob} C}X(c)$ Thượng. Đem này cùngMễ điền nội khảmY:C→Set^{C^op}Hợp lại, nhưng đến ra một trung thực hàm tửC→Set.

Phản lệ

Này đồ vật vìThác phác không gianThả thái bắn vìCùng luân loạiPhạm trùhTopVì không có khả năng cụ thể hoá phạm trù một ví dụ. Trong đó đồ vật vì tập hợp ( cùng phụ gia kết cấu ), thái bắn tắc không phải tập hợp gian chân thật hàm số, hàm số loại. Không tồn tại “Bất luận cái gì” từhTopChiếu rọi đếnSetTrung thực hàm tử này một chuyện thật là từBỉ đức · phúc thụyĐầu tiên chứng ra.

Cụ thể phạm trù ở trong chứa kết cấu

Cấp định một khối thể phạm trù (C,U) cùng tùy ý tập hợpN.LệnhU^NVì một hàm tửC→Set,Định nghĩa vìU^N(c) =(U(c))^N,Tắc U^NTử hàm tửĐược xưng là “N nguyên gọi từ” thảTự nhiên biến hóaU^N→UVì một “N nguyên giải toán”.

Tương đối cụ thể

Có khả năng đem phạm trùSetThay thế thành tùy ý cái phạm trùX( có khi xưng là “Cơ phạm trù” ), ở cụ thể phạm trù định nghĩa dưới. Tại đây tình hình hạ, xưng (C,U) vì “ỞXThượng cụ thể phạm trù”.

Có khi có thể đem một cáiNLoại lý luận mô hình làm một cái ởSet^NThượng cụ thể phạm trù.

Tham khảo tư liệu

Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; ( 1990 ).Abstract and Concrete Categories(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán) ( 4.2MB PDF ). Originally publ. John Wiley & Sons.ISBN 0-471-60922-6.( now free on-line edition ).

Freyd, Peter; ( 1970 ).Homotopy is not concrete(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán). Originally published in: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Republished in a free on-line journal: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 ( 2004 ), with the permission of Springer-Verlag.