Song bắn

Một cái song bắn hàm số

Toán họcTrung, một cái từTập hợp$X$Chiếu rọiĐến tập hợp$Y$Hàm số,Nếu đối mỗi một ở$Y$Nội$y$,Tồn tại duy nhất một cái ở$X$Nội$x$Cùng với đối ứng, thả đối mỗi một ở$X$Nội$x$,Tồn tại duy nhất một cái ở$Y$Nội$y$Cùng với đối ứng, tắc này hàm số vìĐối bắn hàm số.

Nói cách khác, nếu này vì hai tập hợp gianNhất nhất đối ứng,Tắc$f$Là song bắn. Tức, đồng thời vìĐơn bắnCùngMãn bắn.

Tỷ như, từSố nguyênTập hợp$\mathbb {Z}$Đến$\mathbb {Z}$Hàm số$\operatorname {succ}$,Này đem mỗi một cái số nguyên$x$Liên kết đến số nguyên$\operatorname {succ} (x)=x+1$,Đây là một cái song bắn hàm số; lại xem một ví dụ, hàm số$\operatorname {sumdif}$,Này đem mỗi một đôi số thực$(x,y)$Liên kết đến$\operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)$,Đây cũng là cái song bắn hàm số.

Một đôi bắn hàm số cũng tên gọi tắt vìSong bắn( tiếng Anh:bijection) hoặcĐổi thành.Người sau giống nhau so thường sử dụng ở$X=Y$Khi. Lấy từ$X$Đến$Y$Sở hữu song bắn tạo thành tập hợp đánh dấu vì$X\leftrightarrow Y$.

Song bắn hàm số ở rất nhiều toán học lĩnh vực sắm vai thực cơ bản nhân vật, như ởCùng cấuĐịnh nghĩa ( cùng với nhưCùng phôiCùngVi phân cùng cấuChờ tương quan khái niệm ),Đổi thành đàn,Hình chiếu chiếu rọiCập rất nhiều mặt khác khái niệm trên cơ bản.

Hợp lại hàm số cùng phản hàm số

Một hàm số$f$Vì song bắn nếu thả duy nếu nàyNghịch quan hệ$f^{-1}$Cũng là cái hàm số. Tại đây tình huống,$f^{-1}$Cũng sẽ là song bắn hàm số.

Hai cái song bắn hàm số$f:X\leftrightarrow Y$Cập$g:Y\leftrightarrow Z$Hợp lại hàm số$g\circ f$Cũng vì song bắn hàm số. Này phản hàm số vì$(g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})$.

Một cái hợp lại đoạt được song bắn, bên trái vì đơn bắn, phía bên phải vì mãn bắn.

Về phương diện khác, nếu$g\circ f$Vì song bắn, cũng biết$f$Là đơn bắn thả$g$Là mãn bắn, nhưng cũng giới hạn với này.

Một từ$X$Đến$Y$Quan hệ$f$Vì song bắn hàm số nếu thả duy nếu tồn tại một khác từ$Y$Đến$X$Quan hệ$g$,Khiến cho$g\circ f$Vì$X$ThượngGiống hệt hàm số,Thả$f\circ g$Vì$Y$ThượngGiống hệt hàm số.Tất nhiên mà, này hai cái tập hợp sẽ có tương đồngThế.

Song bắn cùng thế

Nếu$X$Cùng$Y$VìHữu hạn tập hợp,Tắc này tồn tại một hai tập hợp song bắn hàm sốNếu thả duy nếuHai cái tập hợp có tương đồng nguyên tố cái số. Xác thật, ởCông lý tập hợp luận,Đây đúng là “Tương đồng nguyên tố cái số”Định nghĩa,Thả nghĩa rộng hóa đếnVô hạnTập hợp, cũng dẫn tớiSố đếmKhái niệm, dùng để phân biệtVô hạn tập hợpBất đồng lớn nhỏ.

Ví dụ cùng phản lệ

• Đối nhậm một tập hợp$X$,NàyGiống hệt hàm sốVì song bắn hàm số.
• Hàm số$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$,Này hình thức vì$f(x)=2x+1$,Là song bắn, bởi vì đối nhậm một$y$,Tồn tại một duy nhất$x=(y-1)/2$Khiến cho$f(x)=y$.
• Chỉ số hàm số$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$,Này hình thức vì$g(x)=e^{x}$,Không phải song bắn: Bởi vì không tồn tại một$\mathbb {R}$Nội$x$Khiến cho$g(x)=-1$,Cố$g$Phi vì song bắn. Nhưng nếu nàyBồi vựcĐổi thành chính số thực$\mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )$,Tắc$g$Đó là song bắn; này phản hàm số vìĐối số tự nhiênHàm số$\ln$.
• Hàm số$h$:$\mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )$,Này hình thức vì$h(x)=x^{2}$,Không phải song bắn: Bởi vì$h(-1)=h(1)=1$,Cố$h$Phi vì song bắn. Nhưng nếu đem tập xác định cũng đổi thành$[0,+\infty )$,Tắc$h$Đó là song bắn; này phản hàm số vì chính căn bậc hai hàm số.
• $\mathbb {R} \to \mathbb {R}:x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$Không phải song bắn hàm số, bởi vì$-1,0$Cùng$1$Đều ở này tập xác định thả đều chiếu rọi đến$0$.
• $\mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$Không phải song bắn hàm số, bởi vì$\pi /3$Cùng 2$\pi /3$Đều ở này tập xác định thả đều chiếu rọi đến${\sqrt {3}}/2$.

Tính chất

• Một từSố thực$\mathbb {R}$Đến$\mathbb {R}$Hàm số$f$Là song bắn, nếu thả duy nếu nàyHình ảnhCùng nhậm một trục hoành tương giao thả chỉ tương giao với một chút.
• Thiết$X$Vì một tập hợp, tắc từ$X$Đến này bản thân song bắn hàm số, hơn nữa này hợp lại hàm số “$\circ$”Giải toán, sẽ hình thành một cáiĐàn,Tức vì$X$Đối xứng đàn,Này đánh dấu vì${\mathfrak {S}}(X)$,${\mathfrak {S}}_{X}$Hoặc$X!$.
• Lấy nhất định nghĩa vực tử tập$A$Cập một bồi vực tử tập$B$,Tắc

$|f(A)|=|A|$Thả$|f^{-1}(B)|=|B|$.

• Nếu$X$Cùng$Y$Vì cụ tương đồngThếHữu hạn tập hợp,Thả$f:X\to Y$,Tắc dưới đây ba loại cách nói là đồng giá:

1. $f$Vì một đôi bắn hàm số.
2. $f$Vì một mãn bắn hàm số.
3. $f$Vì một đơn bắn hàm số.

• Một cái nghiêm khắc đơn điệu hàm số là song bắn hàm số, nhưng song bắn hàm số không nhất định là đơn điệu hàm số ( tỷ như$y=x^{-3}$).

Song bắn cùng phạm trù luận

Hình thức thượng, song bắn hàm số vừa lúc làTập hợp phạm trùNộiCùng cấu.

Khác thấy

• Chờ thế
• Đơn bắn
• Cùng cấu
• Đổi thành
• Đối xứng đàn
• Mãn bắn
• Song bắn đếm hết pháp
• Trục hoành thí nghiệm

Tham khảo văn hiến

• Wolf. Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. 1998.
• Sundstrom.Mathematical Reasoning: Writing and Proof.Prentice-Hall. 2003.
• Smith; Eggen; St.Andre. A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 2006.
• Schumacher.Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics.Addison-Wesley. 1996.
• O'Leary. The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 2003.
• Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House.
• Maddox. Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 2002.
• Lay. Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall. 2001.
• Gilbert; Vanstone. An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall. 2005.
• Fletcher; Patty.Foundations of Higher Mathematics.PWS-Kent. 1992.
• Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan.
• Devlin, Keith. Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics. Chapman & Hall/ CRC Press. 2004.
• D'Angelo; West.Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs.Prentice Hall. 2000.
• Cupillari.The Nuts and Bolts of Proofs.Wadsworth. 1989.
• Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole.
• Barnier; Feldman. Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall. 2000.
• Ash.A Primer of Abstract Mathematics.MAA. 1998.

Phần ngoài liên kết

• Hazewinkel, Michiel ( biên ),Bijection,Toán học bách khoa toàn thư,Springer,2001,ISBN978-1-55608-010-4
• Eric · Vi Stain.Bijection.MathWorld.
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán)