Nhưng hơi hàm số

Nhưng vi phân hàm số( tiếng Anh:Differentiable function) ởVi phân và tích phân họcTrung là chỉ những cái đó ởTập xác địnhTrung sở hữu điểm đều tồn tạiĐạo sốHàm số. Nhưng hơi hàm sốHình ảnhỞ tập xác định nội mỗi một chút thượng tất tồn tại phi vuông góc tiếp tuyến. Bởi vậy, nhưng hơi hàm số hình ảnh là tương đối bóng loáng, không có gián đoạn điểm,Tiêm điểmHoặc bất luận cái gì có vuông góc tiếp tuyến điểm.

Nói như vậy, nếuX₀Là hàm sốfTập xác định thượng một chút, thảf′(X₀) có định nghĩa, tắc xưngfỞX₀Điểm nhưng hơi. Đây là nóifHình ảnh ở (X₀,f(X₀)) điểm có phi vuông góc tiếp tuyến, thả nên điểm không phải gián đoạn điểm, tiêm điểm.

Nhưng hơi tính cùng liên tục tính

Ngụy ngươi Strath hàm sốLiên tục, nhưng ở nhậm một chút đều không thể hơi

NếufỞX₀Điểm nhưng hơi, tắcfỞ nên điểm tấtLiên tục.Đặc biệt, sở hữu nhưng hơi hàm số ở này tập xác định nội nhậm một chút tất liên tục. Nghịch mệnh đề tắc không thành lập: Một cái liên tục hàm số chưa chắc nhưng hơi. Tỷ như, một cái có chiết điểm,Tiêm điểmHoặc vuông góc tiếp tuyến hàm số có thể là liên tục, nhưng ởDị thường điểmKhông thể hơi.

Thực tiễn trung vận dụng hàm số phần lớn ở sở hữu điểm nhưng hơi, hoặcCơ hồ nơi chốnNhưng hơi. NhưngStefan · BanachCông bố nhưng hơi hàm số ở sở hữu hàm số cấu thành tập hợp trung lại làSố ít.^[1]Này tỏ vẻ nhưng hơi hàm số ở liên tục hàm số trung không thấu đáo đại biểu tính. Mọi người phát hiện cái thứ nhất nơi chốn liên tục nhưng nơi chốn không thể hơi hàm số làNgụy ngươi Strath hàm số.

Liên tục nhưng hơi phân loại

Hàm sốfLà liên tục nhưng hơi ( continuously differentiable ), nếu đạo sốf'(x)Tồn tại thả là liên tục hàm số. Nhưng hơi hàm sốf(x)Chi đạo sốf'(x)Không có khả năng cóNhảy lên không liên tục điểm,Nhưng khả năng có bản tính không liên tục điểm. Tỷ như suy xét dưới hàm sốf(x):

f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}

Này hàm số ởx=0 chỗ nhưng hơi, nhưng chiếu định nghĩa cầu ra f'(0):

f'(0)=\lim _{\epsilon \to 0}\left({\frac {\epsilon ^{2}\sin(1/\epsilon )-0}{\epsilon }}\right)=0,

Nhưng đốix≠0,

f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)

ĐươngxXu gần với 0 khi,f'(x)Cực hạn cũng không tồn tại.

Liên tục nhưng hơi hàm số bị gọi $C^{1}$ Hàm số. Một cái hàm số gọi ' $C^{2}$ Hàm số nếu hàm số nhất giai, nhị giai đạo số tồn tại thả liên tục. Càng giống nhau, một cái hàm số gọi $C^{k}$ Hàm số nếu trướckGiai đạo sốf′(x),f″(x),...,f^(k)(x) đều tồn tại thả liên tục. Nếu đối với sở hữu chính số nguyên n, f⁽ⁿ⁾Tồn tại, cái này hàm số được xưng làBóng loáng hàm sốHoặc xưng $C^{\infty }$ Hàm số.

Đa nguyên hàm số nhưng hơi tính

Nếu một cái hàm số sở hữu thiên đạo số ở mỗ điểmLân vựcNội tồn ở thả liên tục, như vậy nên hàm số ở nên điểm nhưng hơi, hơn nữa là classC¹.( đây là nhưng hơi một cái đầy đủ không cần thiết điều kiện )

Hình thức thượng, một cáiĐa nguyên thật giá trị hàm số $f : R m \to R n$ Ở điểm $x 0$ Chỗ nhưng hơi, nếu tồn tạiTuyến tính chiếu rọi $J : R m \to R n$ Thỏa mãn

\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.

Chú ý, thiên đạo số ( thậm chí sở hữuPhương hướng đạo số) đều tồn tại cũng không thể bảo đảm hàm số ở nên điểm nhưng hơi, suy xét dưới hàm số $f : R 2 \to R$ :

f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}

Này hàm số ở $(0, 0)$ Cũng không nhưng hơi, nhưng này sở hữu thiên đạo số cập phương hướng đạo số ở nên điểm toàn tồn tại. Dưới là một cái liên tục ví dụ:

f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}

Này hàm số ở $(0, 0)$ Cũng không nhưng hơi, nhưng này sở hữu thiên đạo số cập phương hướng đạo số ở nên điểm toàn tồn tại.

Phục biến hàm số nhưng hơi tính

ỞPhục phân tíchTrung, bất luận cái gì ở mỗ điểm phụ cận nhưng hơi phục biến hàm số được xưng làToàn thuần hàm số,Loại này hàm số cũng sẽ là vô hạn nhưng hơi, thậm chí làPhân tích hàm số.

Tham khảo tư liệu

^Banach, S. Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 1931, (3): 174–179..Cited byHewitt, E and Stromberg, K. Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 1963. Theorem 17.8.

[1] Banach, S. Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 1931, (3): 174–179..Cited byHewitt, E and Stromberg, K. Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 1963. Theorem 17.8.

[1]