Thật biến hàm số luận

Phương sóngChuỗi FourierTrước bốn hạng. Chuỗi Fourier là thật phân tích hạng nhất quan trọng công cụ

Thật phân tích,Cũng xưng làSố thực phân tích,Thật biến hàm số luận( tiếng Anh:Real analysis,Tiếng Anh:Theory of functions of a real variable), là xử lýSố thựcCậpThật hàm sốToán học phân tích.Chuyên môn nghiên cứu số thựcHàm sốCậpDãy sốPhân tích đặc tính, bao gồm số thực dãy sốCực hạn,Thật hàm sốVi phânCậpTích phân,Liên tục tính,Bóng loáng tínhCùng với mặt khác tương quan tính chất.

Thật phân tích thường lấy cơ sởTập hợp luận,Hàm số khái niệm định nghĩa từ từ bắt đầu.

Nội dung

Số thực cấu tạo

Chủ điều mục:Số thực cấu tạo

Có rất nhiều loại đemSố thựcĐịnh nghĩa vìCó tự vựcPhương thức. Hợp thành tác pháp sẽ cung cấp rất nhiều số thựcCông lý,Đem số thực biến thành hoàn bị có tựVực.Ở giống nhauTập hợp luậnCông lý hạ, có thể chứng minh này đó công lý đều làMinh xác,Nói cách khác có một cái công lýMô hình,Nhậm hai cái mô hình đều làCùng cấu.Này đó mô hình trung cần phải có một cái có minh xác định nghĩa, mà đại bộ phận mô hình đều có thể dùng số thực vì có tự vực khi cơ bản tính chất tới đến.

Số thực có tự tính

Số thực có rất nhiều quan trọng đặc tính là cùng toán học trungCáchĐịnh nghĩa có quan hệ, này đó tính chất cũng là số nhiều sở không có. Trong đó quan trọng nhất chính là, số thực hình thànhCó tự vực,Số thực có tự thỏa mãn phản đối xưng tính, truyền lại tính cập hoàn toàn tính, thuộc vềToàn tự quan hệ,Hơn nữa số thực cóNhỏ nhất thượng giới tính.Số thực trungThiên tự quan hệMang đến thật biến phân tích trung rất nhiều quan trọng định lý, tỷ nhưĐơn điệu thu liễm định lý,Giới giá trị định lýCậpTrung giá trị định lý.

Ở thật biến phân tích trung này đó định lý chỉ nhằm vào số thực, bất quá rất nhiều kết quả có thể ứng dụng ở mặt khácToán học đối tượng.Đặc biệt là rất nhiềuPhiếm hàm phân tíchCậpTính tử lý luậnTrung khái niệm là đến từ số thực trung khái niệm mở rộng, loại này mở rộng bao gồmTư không gianCậpChính tính tửLý luận. Cũng có toán học gia suy xét số nhiều dãy số thật bộ cập hư bộ, tỷ nhưTính tửDãy sốTrục lời bình đánh giá.

Danh sách

Chủ điều mục:Danh sáchCùngDãy số

Danh sách là một cáiTập xác địnhVìCó thể đếm đượcToàn tựTập hợpHàm số,Hơn phân nửa sẽ làm tập xác định làSố tự nhiênHoặc là sở hữu số nguyên.Tỷ như, một cái số thực danh sách vì dưới định nghĩa chiếu rọi$a:\mathbb {N} \to \mathbb {R},\ n\mapsto a_{n}$,Hội nghị thường kỳ tỏ vẻ vì$(a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )$.Nếu một danh sách sẽ chậm rãi tiếp cận một cáiCực hạn( cũng chính là tồn tại${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$), xưng này danh sách vìThu liễm,Nếu không tắc xưng này danh sách vìPhát tán.

Cực hạn

Chủ điều mục:Cực hạn ( toán học )

Cực hạn là chỉHàm sốHoặcDanh sáchỞ này đưa vào tiếp cận nhất định giá trị khi, này phát ra trị số sở tiếp cận riêng định giá trị.Cực hạn làVi phân và tích phân họcCập nghĩa rộngToán học phân tíchCơ sở,Liên tục hàm số,Đạo sốCậpTích phânCũng là lợi dụng cực hạn tới định nghĩa.

Liên tục hàm số

Chủ điều mục:Liên tục hàm số ( tô-pô )

NếuHàm sốĐưa vào cập phát ra giá trị đều làSố thực,Có thể tỏ vẻ thànhToạ độ Đê-các hệThượngĐồ hình.Thô sơ giản lược tới nói, nếu hàm số đồ hình là một cái liên tục chưa phân cắtĐường cong,Trong đó không có “Động” hoặc là “Điểm tạm dừng”, hàm số tức vì liên tục hàm số.

Nhằm vào kể trên thô sơ giản lược định nghĩa, ở toán học thượng có rất nhiều nghiêm cẩn định nghĩa. Này đó định nghĩa lẫn nhau làĐồng giá,Bởi vậy sẽ dùng đơn giản nhất mà phương tiện định nghĩa tới xác nhận một cái hàm số hay không là liên tục, ở dưới định nghĩa trung

$f\colon I\rightarrow \mathbf {R}.$

Là một cái định nghĩa ở số thực${\boldsymbol {R}}$Trong vòngTử tậpHàm số, tử tập$I$Xưng là hàm số$f$Tập xác định. Tử tập$I$Một ít khả năng lựa chọn bao gồm$I={\boldsymbol {R}}$( sở hữu số thực ), dướiKhai khu gian

$I=(a,b)=\{x\in \mathbf {R} \,|\,a<x<b\},$

HoặcBế khu gian

$I=[a,b]=\{x\in \mathbf {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.$

Bởi vậy$a$Cập$b$Là số thực.

Nhất trí liên tục là liên tục hàm số trung, so liên tục hàm số càng cường tính chất. NếuXCùngYLàSố thựcTử tập, hàm số$f:X\rightarrow Y$VìNhất trí liên tụcĐiều kiện là nhằm vào sở hữu lớn hơn 0 số thực$\varepsilon$,Tồn tại một số thực$\delta >0$,Khiến cho nhằm vào sở hữu$x,y\in X,\left\vert x-y\right\vert <\delta$Tức tỏ vẻ$\implies \left\vert f(x)-f(y)\right\vert <\varepsilon$.

Nhất trí liên tục cùng mỗi một chút liên tục sai biệt ở nhất trí liên tục khi,$\delta$Giá trị chỉ cùng$\varepsilon$Giá trị có quan hệ, cùng nên giá trị ở tập xác định trung vị trí không quan hệ. Trong tình huống bình thường, liên tục không ý nghĩa đều đều liên tục.

Cấp số

Chủ điều mục:Cấp số

Cấp định hoàn toàn không có nghèoDanh sách$(a_{n})$,Có thể định nghĩa tương quan cấp số vì${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}$,Có khi sẽ tên gọi tắt vì${\textstyle \sum a_{n}}$.Cấp số bộ phận cùng${\textstyle \sum a_{n}}$Vì${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$.Cấp số${\textstyle \sum a_{n}}$Thu liễm điều kiện là bộ phận cùng dãy số$(s_{n})$Thu liễm, nếu không cấp số tức xưng là phát tán. Thu liễm cấp số cùng${\textstyle s=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$Định nghĩa vì${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$.

Cấp số nhânCùng chính là một cái thu liễm cấp số, cũng làChi nặc nghịch biệnCơ sở:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1$.

DướiĐiều hòa cấp sốTức vì phát tán cấp số:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty$.

( nơi này “$=\infty$”Không phải nghiêm cẩn tỏ vẻ phương thức, chỉ là tỏ vẻ bộ phận cùng sẽ vô hạn chế mà tăng trường )

Vi phân

Chủ điều mục:Vi phân

Hàm số$f$Ở$a$Vị tríĐạo sốVì dướiHàm số cực hạn

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

Nếu đạo số ở sở hữu vị trí đều tồn tại, xưng hàm số vì nhưng vi phân, có thể lại tiếp tục tính toán hàm số cao giai đạo số.

Cũng có thể đem hàm số y này vi phân phân loại tới phân chia. Phân loại$C^{0}$Bao gồm sở hữu liên tục hàm số, phân loại$C^{1}$Bao gồm sở hữu đạo số liên tụcNhưng hơi hàm số,Loại này hàm số xưng là “Liên tục nhưng hơi”. Phân loại$C^{1}$Là chỉ này đạo số ở phân loại$C^{1}$Trung hàm số. Nói như vậy, phân loại$C^{k}$Có thể dùngĐệ quyPhương thức định nghĩa, định nghĩa phương thức là tuyên cáo phân loại$C^{0}$Là sở hữu liên tục hàm số, mà phân loại$C^{k}$($k$Vì chính số nguyên ) là sở hữu nhưng hơi, hơn nữa này đạo số vì$C^{k-1}$Hàm số. Mà phân loại$C^{k}$Bao gồm ở phân loại$C^{k-1}$Trung, đối sở hữu chính số nguyên$k$Đều thành lập. Phân loại$C^{\infty }$Là sở hữu$C^{k}$Giao thoa, trong đó$k$Vì sở hữu phi phụ số nguyên.$C^{\ Omega }$Bao gồm sở hữuPhân tích hàm số,Là phân loại$C^{\infty }$Nghiêm khắc tử tập.

Tích phân

Tích phân Riemann

Chủ điều mục:Tích phân Riemann

Tích phân Riemann định nghĩa hàm sốLê mạn cùng,Đối ứng vì một cái khu gian nội đánh dấu phân khu ( tagged partitions ). Lệnh$[a,b]$Vì số thực hạ phong bếKhu gian,Thì tại khu gian$[a,b]$Nội đánh dấu phân khu vì hữu hạn dãy số

$a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!$

Đem khu gian$[a,b]$Phân cách vì$n$Cái hạ tiêu vì$i$Tử khu gian$[x_{i-1},x_{i}]$,Mỗi một cái dùng bất đồng điểm$t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$Tới đánh dấu. Hàm số f đối ứng đánh dấu phân khu lê mạn cùng định nghĩa vì

$\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};$

Tắc cùng mỗi hạng nhất đều là hình chữ nhật diện tích, này cao vì hàm số tự cấp xta-tô khu gian nội, biểu thị điểm trị số, khoan dung tử khu gian khoan bằng nhau. Lệnh$\Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}$Vì tử khu gian$i$Khoan, tắc đánh dấu phân khu võng cách vì trưởng tử khu gian trung nhất khoan khu gian độ rộng$\mathrm {max} _{i=1\ldots n}\Delta _{i}$.Hàm số$f$Ở khu gian$[a,b]$Nội tích phân Riemann bằng$S$Nếu:

Đối sở hữu$\varepsilon >0$,Tồn tại$\delta >0$Khiến cho, đối với bất luận cái gì có biểu thị, thả võng cách tiểu với$\delta$Khu gian$[a,b]$,Dưới tư thế thành lập

$\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon.$

Nếu tuyển định biểu thị đều là mỗi cái khu gian nội hàm số cực đại ( hoặc nhỏ nhất giá trị ), tích phân Riemann liền sẽ trở thành thượng ( hoặc hạ )Đạt bố cùng,Bởi vậy tích phân Riemann cùngĐạt bố tích phânCó chặt chẽ quan hệ.

Lebesgue tích phân

Chủ điều mục:Lebesgue tích phân

Lebesgue tích phân là một loại tích phân khái niệm, có thể đem tích phân kéo dài đến lớn hơn nữa phạm vi hàm số, đồng thời cũng mở rộng hàm sốTập xác định.

Phân bố

Chủ điều mục:Phân bố ( toán học phân tích )

Phân bố hoặc làNghĩa rộng hàm sốLà một loại đemHàm sốMở rộng sau sinh ra khái niệm. Xuyên thấu qua phân bố có thể nhằm vào một ít ở truyền thống định nghĩa hạ này đạo số không tồn tại hàm số tiến hànhVi phân( tỷ nhưĐơn vị giai nhảy hàm số). Mà bất luận cái gìBộ phận nhưng tích hàm sốĐều nhất định sẽ có nghĩa rộng hàm số hạ đạo số.

Cùng phục biến phân tích quan hệ

Thật biến hàm số luận làToán học phân tíchMột bộ phận, tham thảo giống dãy số và cực hạn, liên tục tính, hàm sốĐạo sốCậpTích phân.Thật biến phân tích chuyên chú ởSố thực,Hơn phân nửa sẽ bao gồm chính phụVô cùng đạiLấy hình thànhMở rộng thật trục.Thật biến phân tích cùng nghiên cứuSố nhiềuĐối ứng tính chấtPhục phân tíchChặt chẽ tương quan. Ở phục phân tích trung, thực tự nhiên sẽ đốiToàn thuần hàm sốĐịnh nghĩaĐạo số,Toàn thuần hàm số có rất nhiều hữu dụng tính chất, bao gồm nhiều lần nhưng hơi, có thể dùngMịch cấp sốTỏ vẻ, hơn nữa thỏa mãnKha tây tích phân công thức.

Thật biến phân tích trung cũng thực tự nhiên đi suy xétNhưng hơi,Bóng loáng hàm sốHoặcĐiều hòa hàm số,Này đó cũng thường thường dùng đến, bất quá vẫn thiếu một ít phục biến trung toàn thuần hàm số trung hữu lực tính chất. Hơn nữaĐại số cơ bản định lýNếu lấy số nhiều tỏ vẻ lúc ấy tương đối đơn giản.

Phục biến trungPhân tích hàm sốLý luận kỹ xảo cũng có thể dùng ở thật biến phân tích, tỷ như ứng dụngLưu số định lýTới tính toán thật biến hàm sốĐịnh tích phân.

Quan trọng kết quả

Thật phân tích quan trọng kết quả bao gồmBoer tra nặc － Ngụy ngươi Strath định lý,Heine － bác lôi ngươi định lý,Giới giá trị định lý,Trung giá trị định lý,Vi phân và tích phân cơ bản định lýCậpĐơn điệu thu liễm định lý.

Thật phân tích rất nhiều khái niệm có thể mở rộng đến nghĩa rộngĐộ lượng không gian,Bao gồmBanach không gianCậpHilbert không gian.

Tương quan điều mục

• Thật phân tích chủ đề danh sách
• Khi tiêu vi phân và tích phân
• Nhiều thật biến số hàm số
• Thật toạ độ không gian
• Phục phân tích