Hình cung trường

Trong hiện thực, cầu đường cong chiều dài, có thể đem nó kéo thẳng sau đo lường, toán học trung tắc yêu cầu càng phức tạp thủ đoạn.

Đường congHình cung trườngCũng xưng đường cong chiều dài, là đường cong đặc thù chi nhất. Không phải sở hữu đường cong đều có thể định nghĩa chiều dài, có thể định nghĩa chiều dài đường cong xưng làNhưng cầu trường đường cong.Sớm nhất nghiên cứu đường cong hình cung trường là viên hình cung chiều dài. Vì tính toánChu vi hình trònChiều dài, toán học gia phát minh dùng thẳngĐoạn thẳngXấp xỉ phương pháp, cũng ứng dụng đến mặt khác trên đường cong.Vi phân và tích phânSau khi xuất hiện, toán học gia bắt đầu dùng tích phân phương thức tính toán đường cong hình cung trường, đến ra rất nhiều đặc thù đường cong hình cung lớn lên chính xác biểu đạt thức.

Giống nhau phương pháp

Lựa chọn sử dụng đường cong thượng điểm, liền thành đường gãy, đường gãy chiều dài xấp xỉ với đường cong hình cung trường.

Tính toán mặt bằng thượng một đoạn đường cong hình cung trường, sớm nhất cũng là trực tiếp nhất phương pháp là dùng một ít thẳng tắp đoạn tới làm ra cùng đường cong tương tự hình dạng, lấy thẳng tắp đoạn chiều dài thay thế đường cong hình cung trường. Cụ thể phương pháp là ở đường cong thượng tuyển một ít điểm, sau đó đem này đó điểm dùng đoạn thẳng liền lên, được đến một cái đường gãy. Này đó đoạn thẳng chiều dài cùng, cũng chính là đường gãy chiều dài, liền xấp xỉ với đường cong hình cung trường. Lựa chọn sử dụng điểm càng dày đặc càng đều đều, đường gãy chiều dài liền càng tiếp cận đường cong hình cung trường. Nhưng có đôi khi đường gãy chiều dài khả năng có thể tùy ý đại, thậm chí xu hướng vô cùng lớn. Như vậy đường cong vô pháp định nghĩa chiều dài. Nhưng đối giống nhauBóng loáng đường congTới nói, đương liền nhau điểm chi gian khoảng cách đều xu với 0 thời điểm, đường gãy chiều dài sẽ xu với một cáiCực hạn,Cũng chính là đường cong hình cung trường.

Định nghĩa

Thiết$C$LàEuclid không gian$S=\mathbb {R} ^{n}$( hoặc nào đó hữu hạn duyĐộ lượng không gian) trung một cái đường cong. Nó là nào đó từSố thựcKhu gianChiếu rọiĐếnSLiên tụcHàm số$f:[a,b]\rightarrow S$Hình ảnh.Suy xét khu gian$[a,b]$Một cái phân cách:$a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b$.$f(t_{0}),f(t_{1}),\ldots,f(t_{n-1}),f(t_{n})$Là đường cong$C$Thượng$n+1$Cái điểm. Đem$f(t_{i})$Cùng$f(t_{i+1})$Hai điểm chi gian khoảng cách nhớ vì$d\left(f(t_{i}),f(t_{i+1})\right)$,Đây cũng là từ$f(t_{i})$Liền đến$f(t_{i+1})$Đoạn thẳng chiều dài. Mà đường cong$C$Hình cung trường$L(C)$Định nghĩa vì:

$L(C)=\sup _{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b}\sum _{i=0}^{n-1}d(f(t_{i}),f(t_{i+1}))$

Nói cách khác, đường cong hình cung trường là sở hữu từ đường cong trúng tuyển lấy hữu hạn cái điểm liền lên đường gãy chiều dàiNhỏ nhất thượng giới.Nghĩa rộng đường cong hình cung trường cũng bao gồm cái này nhỏ nhất thượng giới không tồn tại tình huống, lúc này định nghĩa đường cong hình cung trường là vô cùng đại. Đường cong hình cung chiều dài hạn thời điểm, xưng là nhưng cầu trường đường cong, không chi xưng vì không thể cầu trường đường cong. Trở lên định nghĩa không cần cầu hàm số$f$Nhưng hơi, độ lượng không gian cũng không có định nghĩaVi phânKết cấu.

Đem đường cong dùng hàm số hình thức biểu đạt xưng là đường cong tham số hóa, dùng tham số ( hàm số tự lượng biến đổi ) tới khắc hoạ đường cong. Đối cấp định đường cong, tham số hóa phương pháp không ngừng một loại. Nhưng chỉ cần tham số hóa hàm số là liên tục, như vậy hai loại bất đồng tham số hóa phương thức chi gian liền có thể dùng một cái liên tục đơn điệu hàm số tới thay đổi. Cho nên tham số hóa phương thức sẽ không ảnh hưởng định nghĩa đường cong hình cung trường. Đường cong hình cung trường là nó nội bẩm thuộc tính, không ỷ lại với tham số hóa phương thức.

Dùng tích phân tính toán hình cung trường

Giả thiết đường cong$C$Có thể dùngLiên tục nhưng hơiHàm số$r\;:[a,b]\;\rightarrow \;S$Tiến hành tham số hóa, như vậy tại tiến hành phân cách$a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b$Sau, mỗi một đoạn đoạn thẳng$\Delta r_{i}=\left(r(t_{i}),r(t_{i+1})\right)$Ở khoảng cách cũng đủ khi còn nhỏ có thể xấp xỉ vì$\Delta r_{i}\approx r'(t_{i})\Delta t_{i}$.Cho nên đường gãy chiều dài chính là:

$L_{T}=\sum _{i=0}^{n-1}\|\Delta r_{i}\|=\sum _{i=0}^{n-1}\|r'(t_{i})\|\Delta t_{i}.$

Đương sở hữu$\Delta t_{i}$Đều xu với 0 khi, là có thể được đến đường cong chiều dàis:

$s=\int _{a}^{b}\|r'(t)\|dt.$

Giả thiết mặt bằng đường cong$C$Là dùng hàm số$X(t)$Cùng$Y(t)$Tiến hành tham số hóa. Suy xét đường cong thượng thực đoản một đoạn hình cung, nó chiều dài vì$ds$,Căn cứĐịnh lý Pitago,Tự cấp định góc vuông tọa độ hệ trung, có: Như vậy$ds$Cùng hai người quan hệ là:

$ds^{2}=dX^{2}+dY^{2}.$

$ds$Cũng đủ tiếp cận 0 thời điểm,$dx$Cùng$dy$Cũng đủ tiếp cận 0. Cho nên tự cấp định thời khắc$t$,Ở$\left(X(t),Y(t)\right)$Phụ cận có:

$ds={\sqrt {\left({dX(t) \over dt}\right)^{2}+\left({dY(t) \over dt}\right)^{2}}}dt={\sqrt {X'(t)^{2}+Y'(t)^{2}}}\,dt.$

Đối thượng thức hai đoan phân biệt tích phân, phải đến:

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {X'(t)^{2}+Y'(t)^{2}}}\,dt.$

Không gian ba chiềuTrung, giả thiết đường cong$C$Là dùng hàm số$X(t)$,$Y(t)$Cùng$Z(t)$Tiến hành tham số hóa, tắc dùng cùng loại phương thức có thể đẩy ra,

$s=\int _{0}^{1}{\sqrt {X'(t)^{2}+Y'(t)^{2}+Z'(t)^{2}}}\,dt.$

Giả thiết mặt bằng đường cong$C$Là hàm số$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$Hình ảnh, hơn nữa hàm số$f$LàLiên tục nhưng hơiHàm số:$f'(t)$Tồn tại hơn nữa cũng là liên tục hàm số. Như vậy bậc này giới với thiết$X(t)=t$,$Y(t)=f(t)$,Cho nên

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {X'(t)^{2}+Y'(t)^{2}}}\,dt.=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$

Giả thiết đường cong này đây cực tọa độ phương thức tiến hành tham số hóa:$r:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}$,Như vậy$ds^{2}=dr^{2}+(rd\theta )^{2}.$Hình cung trường tương đương:

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+({dr \over d\theta })^{2}}}\,d\theta.$

Thông qua tích phân học tri thức có thể biết, đối đại bộ phận$f$Hoặc$X(t)$Cùng$Y(t)$,Kể trên tích phân thức không có sơ đẳng phân tích biểu đạt thức, cho nên đại bộ phận đường cong hình cung trường là vô pháp dùng hiện thức tính toán, chỉ có thể thông quaTrị số tính toánCầu ra. Có thể sử dụng hiện thức biểu đạt hình cung lớn lên đường cong trừ bỏ thẳng tắp cùng viên bên ngoài còn cóHuyền liên tuyến,Bãi tuyến,Chờ giác ốc tuyến,Đường parabol,Nửa lập phương đường parabolTừ từ. Hình bầu dục hình cung trường vô pháp dùng hiện thức tính toán, toán học gia nhóm bởi vậy phát triển raHình bầu dục tích phânCùngHình bầu dục hàm số.

Ví dụ

Nửa ba lần đường cong: Điểm (1,0) đến (4,9) đường cong đoạn hình cung trường

Viên hình cung trường

Viên hình cung trường cùng góc độ ( độ cung ) có quan hệ trực tiếp. Thiết viên bán kính vìr,Như vậyĐộ cung$\ Alpha$Đối ứng viên hình cung hình cung trường là$r\ Alpha$;Góc độθĐối ứng viên hình cung hình cung trường là${\frac {r\pi \theta }{180}}$.Toàn bộ chu vi hình tròn chu trường là:$C=2\pi r$.Đặc biệt, đương tâm giác sử dụng độ cung chế đơn vị khi, hình cung trường = độ cung chế tâm giác × bán kính.

Nửa lập phương đường parabol hình cung trường

Thiết nửa lập phương đường parabol phương trình vì:$y^{2}=3(x-1)^{3}$,Yêu cầu điểm$(1,0)$Đến$(4,9)$Đường cong đoạn hình cung trường, có thể dùng tích phân tính toán. Một đoạn này thượng$y$Lớn hơn hoặc bằng 0, tức$y={\sqrt {3}}(x-1)^{\frac {3}{2}}$,Mà cầu đạo nhưng đến:

$2yy\prime =9(x-1)^{2}$

Cho nên

$(y\prime )^{2}=\left({\frac {9(x-1)^{2}}{2y}}\right)^{2}=\left({\frac {9(x-1)^{2}}{2{\sqrt {3}}(x-1)^{\frac {3}{2}}}}\right)^{2}=\left({\frac {3{\sqrt {3}}(x-1)^{\frac {1}{2}}}{2}}\right)^{2}={\frac {27(x-1)}{4}}.$

Hình cung trường:

$s=\int _{1}^{4}{\sqrt {1+(y\prime )^{2}}}\,dx=\int _{1}^{4}{\sqrt {1+{\frac {27(x-1)}{4}}}}\,dx={\frac {85{\sqrt {85}}-8}{81}}$

Hình cung trường vô cùng lớn đường cong

Khoa hách bông tuyết đường cong

Có chút đường cong bản thân có giới ( có thể bị trường cùng khoan đều hữu hạn hình chữ nhật bao trùm ), nhưng này hình cung trường là vô cùng lớn. Một cái trứ danh ví dụ làKhoa hách bông tuyết đường cong( thấy hữu đồ ). Cái này đường cong là từ một cái đoạn thẳng thông qua lặp lại một loạt bước đi thay đổi thẳng đến vô hạn mà cấu thành. Có thể tính toán, mỗi một bước thay đổi sau, đường cong hình cung trường đều sẽ biến thành thượng một bước khi ba phần chi bốn, cho nên giả thiết nguyên đoạn thẳng chiều dài vìa,Tắc đệnBước lúc sau, hình cung trường biến thành:a(4/3)ⁿ,ĐươngnXu với chính vô cùng đại khi, đường cong hình cung trường cũng xu với vô cùng lớn.

Tham kiến

• Đường nhỏ tích phân
• Khúc suất