Vô cùng công lý

ỞCông lý hóa tập hợp luậnCùng sử dụng nóLogic,Toán họcCùngMáy tính khoa họcTrung,Vô cùng công lý( tiếng Anh:Axiom of infinity) làSách Merlot - Frank ngươi tập hợp luậnCông lýChi nhất.

Hình thức trần thuật

Ở Zermelo-Fraenkel công lýHình thức ngôn ngữTrung, cái này công lý đọc làm:

$\exists \mathbf {N}:\varnothing \in \mathbf {N} \land (\forall x:x\in \mathbf {N} \implies x\cup \{x\}\in \mathbf {N} )$

Hoặc dùng phi hình thức hóa ngôn ngữ trần thuật:Tồn tạiMột cáiTập hợp$\mathbb {N}$,Khiến choKhông tậpỞ$\mathbb {N}$Trung, hơn nữa chỉ cần$x$Là$\mathbb {N}$Thành viên, tắc$x$Cùng nóĐơn nguyên tố tập hợp$\{x\}$Này hai ngườiCũng tậpCũng là$\mathbb {N}$Thành viên. Loại này tập hợp có khi cũng gọi là quy nạp tập hợp. Quy nạp tập hợp là có chứa như sau tính chấtTập hợp$X$:Đối với sở hữu$x\in X$,$x$Nối nghiệp$x'$Cũng là$X$Một cáiNguyên tố.

Giải thích

Muốn lý giải cái này công lý, đầu tiên chúng ta muốn định nghĩa$x$Nối nghiệp vì$x\cup \{x\}$.Chú ýGhép đôi công lýCho phép chúng ta hình thành đơn nguyên tố tập hợp$\{x\}$. Nối nghiệp là dùng để định nghĩaSố tự nhiênThường dùng tập hợp luận mã hóa. Tại đây loại mã hóa trung,0Là không tập ($0=\varnothing$), mà1Là 0 nối nghiệp:

$1=0\cup \{0\}=\varnothing \cup \{0\}=\{0\}$

Cùng loại mà, 2 là 1 nối nghiệp:

$2=1\cup \{1\}=\{0\}\cup \{1\}=\{0,1\}$

Như thế loại suy. Cái này định nghĩa suy luận là đối với bất luận cái gì số tự nhiên$n$,$n$Cùng cấp với từ nó sở hữu đi đầu (predecessor) tạo thành tập hợp.

Chúng ta hy vọng có thể hình thành bao hàm sở hữu số tự nhiên một cái tập hợp, nhưng là chỉ sử dụng mặt khác ZF công lý nói cũng không thể làm được điểm này. Bởi vậy, cần thiết gia nhập vô cùng công lý lấy giả định cái này tập hợp tồn tại. Nó là thông qua cùng loại vớiToán học phép quy nạpPhương pháp hoàn thành: Đầu tiên giả định có một cái tập hợp$S$Bao hàm linh, cũng tiếp theo quy định đối với$S$Sở hữu nguyên tố, cái này nguyên tố nối nghiệp cũng ở$S$Trung.

Cái này tập hợp$S$Có thể không chỉ là bao hàm số tự nhiên, còn bao hàm khác nguyên tố. Nhưng là chúng ta có thể ứng dụngPhân loại công lýHình thức tới trừ bỏ không nghĩ muốn nguyên tố, lưu lại sở hữu số tự nhiên tập hợp$\mathbb {N}$.Thông quaBên ngoài công lýCũng biết cái này tập hợp là duy nhất. Ứng dụng phân loại ( chia lìa ) công lý kết quả là:

$\exists \mathbf {N} \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k\in n(\bot )\lor \exists k\in n(\forall j\in k(j\in n)\land \forall j\in n(j=k\lor j\in k))]\land$
$\forall m\in n[\forall k\in m(\bot )\lor \exists k\in n(k\in m\land \forall j\in k(j\in m)\land \forall j\in m(j=k\lor j\in k))]))$

Dùng phi hình thức hóa ngôn ngữ trần thuật: Sở hữu số tự nhiên tập hợp tồn tại; nơi này số tự nhiên hoặc là là linh, hoặc là là một cái số tự nhiên k nối nghiệp, hơn nữa$k$Mỗi cái nguyên tố hoặc là là 0 hoặc là là$k$Một cái khác nguyên tố nối nghiệp.

Cho nên cái này công lý bản chất là:

Có một cái tập hợp bao hàm sở hữu số tự nhiên.

Vô cùng công lý cũng làvon Neumann-Bernays-Gödel công lýChi nhất.

Kéo dài đọc

• Paul Halmos(1960)Naive set theory.Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag.ISBN 0-387-90092-6.
• Thomas Jech(2003)Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded.Springer-Verlag.ISBN 3-540-44085-2.
• Kenneth Kunen(1980)Set Theory: An Introduction to Independence Proofs.Elsevier.ISBN 0-444-86839-9.