Lạc đặc tạp - Wall thái kéo phương trình

Lạc đặc tạp － Wall thái kéo phương trình 3d đồ

Lạc đặc tạp － Wall thái kéo phương trình tương đồ

Lạc đặc tạp － Wall thái kéo phương trình(Lotka-Volterra equation) biệt xưngKẻ săn mồi — con mồi phương trình.Là một cái hai nguyên tố nhất giaiPhi tuyến tínhVi phân phương trìnhTạo thành. Thường xuyên dùng để miêu tảSinh vật hệ thốngTrung,Kẻ săn mồiCùngCon mồiTiến hành hỗ động khiĐộng thái mô hình,Cũng chính là hai người tộc đàn quy mô giảm và tăng. Này phương trình phân biệt ở 1925 năm cùng 1926 năm, từA Fred · Lạc đặc tạpCùngDuy nhiều · Wall thái kéoĐộc lập phát biểu.

${\frac {dx}{dt}}=x(\ Alpha -\beta y)$

${\frac {dy}{dt}}=-y(\gamma -\delta x)$

• yLàKẻ săn mồi( nhưLang) số lượng;
• xLàCon mồi( nhưCon thỏ) số lượng;
• dy/dtCùngdx/dtTỏ vẻ kể trên hai tộc đàn lẫn nhau đối kháng thời gian chi biến hóa;
• tTỏ vẻ thời gian;
• α,β,γCùngδTỏ vẻ cùng hai giống loài hỗ động có quan hệ hệ số, toàn vì chínhSố thực.

Sinh vật học thượng ý nghĩa

Dưới đem tư thế thừa khai, như thế có thể so dễ dàng giải thích phương trình thực tế ý nghĩa.

Con mồi tộc đàn tăng giá trị tài sản tốc độ

Thức thứ nhất sở biểu đạt chính là con mồi tộc đàn tăng giá trị tài sản tốc độ:

${\frac {dx}{dt}}=\ Alpha x-\beta xy$

Này mô hình giả thiết con mồi sở tiếp thu đồ ăn cung cấp đã đạt tới nhất cực hạn, thả trừ phi tao ngộ kẻ săn mồiVồ mồi,Nếu không sinh sôi nẩy nở số lượng gia tăng lấyChỉ sốPhương thức trưởng thành, nàyChỉ số trưởng thànhTình hình, tắc trở lên thuật phương trình trungαxBiểu hiện. Ngoài ra cũng giả thiết con mồi tao ngộ vồ mồi tỉ lệ, cùng con mồi tao ngộ kẻ săn mồi cơ hội thành hằng số so, trở lên thuật phương trình trungβxyBiểu hiện. NếuxHoặcyTrong đó một cái bằng không, tắc đều có có thể là không có vồ mồi hành vi xuất hiện.

Từ kể trên phương trình cũng biết: Con mồi tộc đàn quy mô thay đổi, nguyên với bản thân đã chịu vồ mồi mà sinh ra trưởng thành suy giảm.

Kẻ săn mồi tộc đàn tăng giá trị tài sản tốc độ

Thức thứ hai sở biểu đạt chính là kẻ săn mồi tộc đàn tăng giá trị tài sản tốc độ:

${\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y$

Này phương trình trungδxyTỏ vẻ kẻ săn mồi tộc đàn trưởng thành ( khả năng sẽ cùng kẻ săn mồi cùng con mồi số lượng tỉ lệ tương tự, nhưng là kẻ săn mồi cùng con mồi số lượng tỉ lệ này đây bất đồng hằng số tỏ vẻ, thả không nhất định cùng tộc đàn trưởng thành bằng nhau. )γyTỏ vẻ kẻ săn mồi tự nhiên tử vong, vìChỉ số suy giảm.

Từ kể trên phương trình cũng biết: Kẻ săn mồi tộc đàn quy mô thay đổi, là săn thực giả tộc đàn trưởng thành, giảm đi này tự nhiên tử vong bộ phận.

Phương trình giải

Này phương trình có đượcChu kỳ tínhGiải, nhưng không có phân tích giải. Thông quaLong cách － kho tháp phápCon số tính toán lúc sau, kẻ săn mồi cùng con mồi tộc đàn lớn nhỏ biến hóa có thể biểu đạt thành hai cái đường cong đồ hình. Sinh thái thượng thực tế đại khái y theo này đơn giản hình thức, bất quá kỹ càng tỉ mỉ trạng huống sẽ có điều xuất nhập.

Lạc đặc tạp － Wall thái kéo phương trình

Tại đây hình thức hệ thống trung, đương con mồi số lượng sung túc thời điểm, kẻ săn mồi tộc đàn cũng sẽ thịnh vượng lên. Bất quá kẻ săn mồi tộc đàn cuối cùng vẫn cứ sẽ bởi vì vượt qua con mồi có khả năng cung cấp số lượng mà bắt đầu suy giảm. Đương kẻ săn mồi tộc đàn tộc đàn giảm bớt, tắc con mồi tộc đàn sẽ lại lần nữa tăng đại. Hai người tộc đàn đại tiểu tiện lấy chu kỳ tính trưởng thành cùng suy giảm tiến hành tuần hoàn.

Tộc đàn quy mô cân bằng

Tộc đàn cân bằng sẽ phát sinh ở tộc đàn lớn nhỏ không hề biến hóa thời điểm. Tỷ như: Hai điều vi phân phương trình toàn bằng linh thời điểm.

$x(\ Alpha -\beta y)=0$

$-y(\gamma -\delta x)=0$

Cầu giải kể trên phương trìnhxCùngyNhưng đến:

$\left\{y=0,x=0\right\}$

Cùng với

$\left\{y={\frac {\ Alpha }{\beta }},x={\frac {\gamma }{\delta }}\right\},$

Bởi vậy cũng biết có hai tổ giải.

Đệ nhất tổ giải trên thực tế là tỏ vẻ hai cái giống loài diệt sạch, nếu là hai cái tộc đàn toàn bằng không, tắc này trạng huống đem vĩnh cửu liên tục đi xuống. Đệ nhị tổ giải tỏ vẻ một cáiBất động điểm,Ý tứ là hai cái tộc đàn có thể duy trì một cái không vì linh số lượng, hơn nữa ở đơn giản mô hình trung có thể vĩnh cửu liên tục. Hệ số α, β, γ, cùng δ, có thể quyết định tộc đàn quy mô đem ở đâu loại dưới tình huống đạt thành cân bằng trạng thái.

Bất động điểm ổn định tính

Bất động điểm ổn định tính có thể lợi dụngThiên đạo số,Đem này lấy tuyến tính hóa phương thức hiện ra.

Sinh ra kẻ săn mồi con mồi mô hình chiNhã có thể so Ma trậnNhư sau:

$J(x,y)={\begin{bmatrix}\ Alpha -\beta y&-\beta x\\\delta y&\delta x-\gamma \\\end{bmatrix}}$

Đệ nhất bất động điểm

Đương trị số vì (0,0) ổn định trạng thái, tắc nhã có thể so Ma trận biến thành:

$J(0,0)={\begin{bmatrix}\ Alpha &0\\0&-\gamma \\\end{bmatrix}}$

Này Ma trậnĐặc trưng giá trịVì:

$\lambda _{1}=\ Alpha,\quad \lambda _{2}=-\gamma$

Mô hình trungαCùngγVĩnh viễn so linh đại, thả mỗi một đặc trưng giá trị ký hiệu vĩnh viễn không giống nhau. Bởi vậy cũng biết vị ở nguyên điểm bất động điểm là một cáiAn điểm( saddle point ).

Này bất động điểm ổn định tính tương đương quan trọng, đương bị vây ổn định thái thời điểm, phi linh tộc đàn sẽ xu hướng nó. Một ít mới bắt đầu tộc đàn khả năng sẽ đi hướngDiệt sạch.Nhưng mà đương bất động điểm nằm ở nguyên điểm khi, cũng là một cáiAn điểm,Bởi vậy cũng không ổn định. Cho nên tại đây mô hình trung, hai cái giống loài toàn khó có thể diệt sạch. Trừ phi lấy nhân vi phương thức đem con mồi hoàn toàn tiêu diệt, cũng sử kẻ săn mồi nhân nạn đói mà tử vong. Mà nếu là đem kẻ săn mồi hoàn toàn tiêu diệt, tắc con mồi tộc đàn tăng trưởng tình hình, sẽ thoát ly này đơn giản mô hình.

Đệ nhị bất động điểm

Ở đệ nhị bất động điểm cầuJGiá trị nhưng đến:

$J\left({\frac {\gamma }{\delta }},{\frac {\ Alpha }{\beta }}\right)={\begin{bmatrix}0&-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}\\{\frac {\ Alpha \delta }{\beta }}&0\\\end{bmatrix}}$

Này Ma trận đặc trưng giá trị vì:

$\lambda _{1}=i{\sqrt {\ Alpha \gamma }},\quad \lambda _{2}=-i{\sqrt {\ Alpha \gamma }}$

Đương đặc trưng giá trị toàn vìSố nhiềuKhi, này bất động điểm vì một cái tiêu điểm.Thật bộBằng không làm này trở thành một cái trung tâm. Này tỏ vẻ kẻ săn mồi cùng con mồi tộc đàn quy mô hiện ra tuần hoàn giảm và tăng, hơn nữa lấy này bất động điểm vì trung tâm qua lại chấn động.

Bão hòa Wall thái kéo phương trình

Bão hòa Wall thái kéo phương trình 3d đồ

Bão hòa Wall thái kéo phương trình

Bão hòa Wall thái kéo phương trình xy đồ

${\frac {dr}{dt}}=2*r(t)-{\frac {\ Alpha *r(t)*f(t)}{1+s*r(t)}}$;

${\frac {df}{dt}}=-f(t)+{\frac {\ Alpha *r(t)*f(t)}{1+s*r(t)}}$

Đồ kỳ đương α=0.01, s=0.001 khi bão hòa Wall thái kéo phương trình.

Trứ danh ví dụ

• CanadaMèo rừng( Lynx ) cùngTuyết thỏ( Snowshoe Hare ) số lượng giảm và tăng tình hình.

Tham kiến

• Lạc đặc tạp － Wall thái kéo loại gian cạnh tranh phương trình
• Quần thể động lực học
• Sinh vật toán học

Tham khảo văn hiến

• E. R. Leigh (1968) The ecological role of Volterra's equations, inSome Mathematical Problems in Biology- a modern discussion using Hudson's Bay Company data on lynx and hares in Canada from 1847 to 1903.
• Understanding Nonlinear Dynamics. Daniel Kaplan and Leon Glass.
• Vito Volterra. Variations and fluctuations of the number of individuals in animal species living together. InAnimal Ecology.McGraw-Hill, 1931. Translated from 1928 edition by R. N. Chapman.

Phần ngoài liên kết

• Lotka-Volterra Predator-Prey Modelby Elmer G. Wiens( tiếng Anh )
• Nicola · ba tạp hách, thích ái lệ, trương quá lôi, Lưu tuấn lợi: Toán học dân cư động lực học giản sử, 2022,Pdf(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán)