Lựa chọn công lý

Lựa chọn công lý( tiếng Anh:Axiom ofChoice,Viết tắtAC) làToán họcTrung một cáiTập hợp luận Công lý,Dùng để chứng minh một ít khó có thể minh xác cấu tạo đồ vật tồn tại tính. Lựa chọn công lý sớm nhất với 1904 năm, từErnst · sách MerlotVì chứng minhLương tự định lýMà làm một cái công lý gia nhập^[1].

Phi chính thức mà nói, cấp định một ít hộp ( có thể là vô hạn cái ), mỗi cái hộp trung đều đựng ít nhất một cái tiểu cầu, lúc này lựa chọn công lý tương đương thế là đang nói —— có thể từ mỗi cái hộp lấy ra một viên cầu. Ở rất nhiều dưới tình huống như vậy lựa chọn cũng không cần mượn dùng lựa chọn công lý; đặc biệt là ở “Hộp cái số hữu hạn” hoặc “Hộp nội cầu có thêm vào đặc trưng” này hai loại dưới tình huống, thường xuyên có thể trực tiếp nói rõ lựa chọn phương thức. Về “Tồn tại cụ thể lựa chọn phương thức” có thể xuyên thấu qua dưới ví dụ lý giải: Giả thiết có rất nhiều ( thậm chí là vô hạn ) đôi giày, tắc có thể lựa chọn sử dụng mỗi đôi giày bên trái giày cấu thành một cái cụ thể lựa chọn, bởi vì ở giày bên trong “Tồn tại cụ thể lựa chọn quy tắc” ( bên trái giày bất đồng với bên phải giày ), cho nên cho dù không có lựa chọn công lý cũng vẫn như cũ có thể làm ra cụ thể lựa chọn. Nhưng là, nếu đem giày đổi thành vớ, thả mỗi song vớ đều không có nhưng phân chia đặc thù, dưới tình huống như vậy, “Lựa chọn tồn tại tính” chỉ có thể thông qua lựa chọn công lý được đến.

Cứ việc đã từng có tranh luận, lựa chọn công lý hiện tại đã bị đại bộ phận toán học gia không hề giữ lại mà sử dụng^[2],Tỷ như có chứa lựa chọn công lýSách Merlot - Frank ngươi tập hợp luận( ZFC ). Toán học gia nhóm sử dụng lựa chọn công lý nguyên nhân là, có rất nhiều bị phổ biến tiếp thu toán học định lý, tỷ như làCát hồng nặc phu định lý,Đều yêu cầu lựa chọn công lý tới chứng minh. Hiện đại nghiên cứu tập hợp luận toán học gia cũng nghiên cứu cùng lựa chọn công lý tương mâu thuẫn công lý, tỷ nhưQuyết định công lý.

Ở một ítCấu tạo tính toán họcLý luận trung sẽ tránh cho lựa chọn công lý sử dụng, bất quá cũng có đem lựa chọn công lý bao gồm ở bên trong.

Trần thuật

Đầu tiên định nghĩa mấy cái khái niệm:

Tập tộc:Chỉ từ phi không tập hợp tạo thành tập hợp.

Lựa chọn hàm số:Nó là một cái tập tộc thượngHàm số.Nó quy định: Đối với sở hữu ở tập tộc $X$ Trung tập hợp $s$ , $f(s)$ Là $s$ Một cáiNguyên tố.

Như vậy, lựa chọn công lý tỏ vẻ:

Đối với sở hữu tập tộc, đều tồn tại lựa chọn hàm số.

Kể trên nhưng tỏ vẻ vì:

\forall X\left[\emptyset \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\,.

Hoặc là:

Thiết

X

Là một cái tập tộc, tắc tồn tại ở

X

Thượng định nghĩa một cái lựa chọn hàm số

f

.

Nên định lý cũng có thể biểu đạt vì:

Tập tộc thượng tùy ýDescartes tíchLuôn là phi trống không.

Biến thể

Cái thứ hai phiên bản lựa chọn công lý công bố:

Cấp định từLẫn nhau không giaoPhi không tập hợp tạo thành bất luận cái gì tập hợp, tồn tại ít nhất một cái tập hợp, nó cùng mỗi cái phi không tập hợp vừa lúc có một cái công cộng nguyên tố.

Cái thứ ba phiên bản công bố:

Đối với bất luận cái gì tập hợp

A

, $A$ Mịch tập( giảm điKhông tập) có một cái lựa chọn hàm số.

Sử dụng cái này phiên bản tác giả thông thường nói cập “Ở $A$ Thượng lựa chọn hàm số”, nhưng phải chú ý nơi này lựa chọn hàm số khái niệm là hơi chút bất đồng. NóTập xác địnhLà $A$ Mịch tập ( giảm đi không tập ), bởi vậy đối bất luận cái gì tập hợp $A$ Có ý nghĩa; đến nỗi bổn văn trung địa phương khác dùng định nghĩa, ở “Tập hợp sưu tập” thượng lựa chọn hàm số tập xác định là cái này sưu tập, cho nên chỉ đối tập hợp tập hợp có ý nghĩa. Xuyên thấu qua cái này biến thể định nghĩa, lựa chọn công lý cũng có thể ngắn gọn trần thuật vì

Sở hữu tập hợp có một cái lựa chọn hàm số.^[3]

Nó đồng giá với

Đối với bất luận cái gì tập hợp $A$ Có một cái hàm số khiến cho đối với $A$ Bất luận cái gì phi chỗ trống tập

B

,

f(B)\in B

.

Mà lựa chọn công lý phủ định biểu đạt vì:

Có một cái tập hợp $A$ Khiến cho đối với sở hữu hàm số $f$ ( ở $A$ Phi chỗ trống tập tập hợp thượng ), có một cái $B$ Khiến cho

f(B)\notin B

.

Thuật ngữ ( AC, ZF, ZFC )

Dưới liệt ra này thiên điều mục trung các loại cùng “Lựa chọn công lý” tương quan viết tắt:

AC: Lựa chọn công lý.
ZF:Sách Merlot - Frank ngươi tập hợp luận,Không bao gồm lựa chọn công lý.
ZFC:Sách Merlot - Frank ngươi tập hợp luận,Bao gồm lựa chọn công lý.

Sử dụng

Thẳng đến 19 thế kỷ thời kì cuối, lựa chọn công lý sử dụng vẫn luôn đều không có được đến minh xác thanh minh. Tỷ như, thành lập chỉ bao hàm phi không tập hợp tập hợp $X$ Lúc sau, ngay lúc đó toán học gia khả năng sẽ nói thẳng “Thiết đối với $X$ Trung sở hữu $s$ Có $F(s)$ Là $s$ Thành viên chi nhất”. Nói như vậy, nếu là không cần lựa chọn công lý, là không có khả năng chứng minh $F$ Tồn tại tính. Điểm này thẳng đếnSách MerlotPhía trước tựa hồ không có khiến cho mọi người chú ý.

Không phải sở hữu tình huống đều yêu cầu lựa chọn công lý. Lựa chọn công lý đối với những cái đó không có nhưng định nghĩa lựa chọn mới có tất yếu. Đáng giá chỉ ra chính là, đối vớiHữu hạn tập hợp $X$ ,Lựa chọn công lý hữu hạn phiên bản có thể thông qua mặt khác tập hợp luận công lý suy luận đến ra. Dưới tình huống như vậy, nó đồng giá với nói chúng ta có bao nhiêu cái ( hữu hạn số lượng ) hộp, mỗi cái bao hàm ít nhất một cái vật thể, tắc chúng ta có thể từ mỗi cái hộp vừa lúc lựa chọn một cái vật thể. Hiển nhiên chúng ta có thể làm như vậy: Từ cái thứ nhất hộp bắt đầu, lựa chọn trong đó một cái vật thể; đến tiếp theo cái hộp, lựa chọn một cái vật thể; như thế loại suy. Bởi vì hộp số lượng hữu hạn, cho nên chúng ta lựa chọn quá trình cuối cùng nhất định sẽ kết thúc. Nơi này cấp ra lựa chọn hàm số là minh xác: Cái thứ nhất hộp đối ứng với cái thứ nhất lựa chọn vật thể, cái thứ hai hộp đối ứng với cái thứ hai lựa chọn vật thể; như thế loại suy —— này pháp sở dĩ được không, là bởi vìTự đối công lýNguyên nhân. Có thể thông quaToán học phép quy nạpLàm ra đối sở hữu hữu hạn tập hợp hình thức chứng minh.

Ví dụ

Đối với riêngVô hạn tập hợp $X$ ,Cũng có thể tránh cho sử dụng lựa chọn công lý. Tỷ như, giả thiết $X$ Nguyên tố làSố tự nhiênTập hợp. Mỗi cái số tự nhiên phi không tập hợp đều có một cáiNhỏ nhất số tự nhiên,Cho nên chỉ cần đơn giản đem mỗi cái tập hợp chiếu rọi đến cái này tập hợp nội nhỏ nhất con số, phải tới rồi lựa chọn hàm số. Cảnh này khiến chúng ta có thể từ mỗi cái tập hợp minh xác mà lựa chọn nguyên tố, cùng với viết ra một cái minh xác biểu đạt thức, thuyết minh chúng ta lựa chọn hàm số như thế nào lấy giá trị. Ở có thể chỉ định một cái minh xác lựa chọn phương thức thời điểm, lựa chọn công lý đều là không cần phải.

Đương khuyết thiếu từ mỗi cái tập hợp được đến nguyên tố trực quan lựa chọn phương thức khi, khó khăn liền xuất hiện. Nếu không biết lựa chọn phương thức, kia muốn như thế nào xác nhận lựa chọn hàm số tồn tại? Tỷ như, giả thiếtXLàSố thựcSở hữu phi chỗ trống tập tập hợp. Cái thứ nhất khả năng sinh ra ý nghĩ là sử dụng hữu hạn tình huống đi xử lý $X$ .Nếu nếm thử từ mỗi cái tập hợp lựa chọn một cái nguyên tố, như vậy, bởi vì số thực tập hợp làVô hạn không thể số,Cho nên lựa chọn quá trình vĩnh viễn sẽ không kết thúc. Cũng bởi vì như thế, vĩnh viễn không thể cấu tạo ra đối $X$ Thành viên lựa chọn hàm số. Cho nên loại này phương pháp không thể hiệu quả. Cái thứ hai khả năng sinh ra ý nghĩ là nếm thử cho mỗi cái tập hợp chỉ định nhỏ nhất nguyên tố, nhưng là rất nhiều số thực tử tập không có nhỏ nhất nguyên tố. Tỷ như,Khai khu gian $(0,1)$ Không có nhỏ nhất nguyên tố: Nếu $x$ Ở $(0,1)$ Trung, tắc ${\frac {x}{2}}$ Cũng ở trong đó, mà ${\frac {x}{2}}$ Luôn là nghiêm khắc nhỏ hơn $x$ .Cho nên loại này phương pháp cũng không được.

Chúng ta sở dĩ có thể từ số tự nhiên phi chỗ trống tập lựa chọn nhỏ nhất nguyên tố, là bởi vì số tự nhiên thượng có một cáiLương tự:Sở hữu số tự nhiên phi chỗ trống tập đều có một cái duy nhất nhỏ nhất nguyên tố.

Bởi vậy, cái thứ ba ý nghĩ, “Cho dù số thực bình thường bài tự phương thức không phải lương tự, có phải hay không cũng có thể tìm được một cái bài tự khiến cho số thực là lương tự?”. Nếu thật sự có loại này bài tự phương thức, vậy có thể lựa chọn số thực phi chỗ trống tập nhỏ nhất nguyên tố, do đó được đến lựa chọn hàm số —— nhưng mà vấn đề liền biến thành như thế nào cấu tạo như vậy bài tự. Mà trên thực tế, “Tồn tại một cái bài tự khiến cho sở hữu tập hợp là lương tự” đồng giá với lựa chọn công lý.

Cần thiết dùng đến lựa chọn công lý chứng minh luôn làPhi cấu tạo tính,Cho dù chứng minh cấp ra một cái đối tượng, chính xác mà nói ra cái kia đối tượng lại là không có khả năng. Nếu không thể viết ra lựa chọn hàm số định nghĩa, kia cái này lựa chọn rốt cuộc là cái gì? Đây là một ít toán học gia không thích lựa chọn công lý lý do chi nhất. Tỷ như,Cấu tạo chủ nghĩa giảPhán đoán suy luận nói sở hữu đề cập tồn tại tính chứng minh đều hẳn là hoàn toàn minh xác; cấu tạo bất luận cái gì tồn tại đối tượng hẳn là khả năng. Bọn họ cự tuyệt lựa chọn công lý^{[ nơi phát ra thỉnh cầu ]},Bởi vì nó ngắt lời “Không thể cụ thể miêu tả đối tượng” tồn tại.

Cấu tạo tính toán học

Giống mặt trên thảo luận như vậy, ở ZFC trung, lựa chọn công lý có thể vì một cái không thể minh xác cấu tạo ra đối tượng cấp ra “Phi cấu tạo tính chứng minh”Tới chứng minh này tồn tại tính. Nhưng mà, ZFC vẫn như cũ là ởKinh điển logicHạ bị hình thức hóa. ỞCấu tạo tính toán họcLĩnh vực, lựa chọn công lý vẫn bị thâm nhập nghiên cứu, mà giữa ứng dụng thị phi cổ điển logic. Ở cấu tạo tính toán học bất đồng phiên bản trung, lựa chọn công lý trạng huống cũng có điều khác biệt.

ỞTrực giác loại hình luậnCùng cao giaiHeyting số học(Tiếng Anh:Heyting arithmetic)Trung, lựa chọn công lý thích hợp trần thuật ( dựa theo suy luận phương thức ) có thể là làm một cái công lý, lại hoặc là làm một cái nhưng chứng minh định lý^[4].Ai đặc ‧ tất hạ phổ(Tiếng Anh:Errett Bishop)Cho rằng lựa chọn công lý nhưng bị coi làm là cấu tạo tính^[5]:

“

Ở cấu tạo tính toán học trúng tuyển chọn hàm số là tồn tại, bởi vì tồn tại hàm nghĩa ẩn dấu lựa chọn.

”

Nhưng ởCấu tạo tính tập hợp luận(Tiếng Anh:Constructive set theory)Trung,Địch á khoa nội tư kho định lýCho thấy lựa chọn công lý ẩn dấuLuật bài trung( ởTrực giác loại hình luậnTrung, lựa chọn công lý không ẩn dấu luật bài trung ). Bởi vậy lựa chọn công lý ở cấu tạo tính tập hợp luận trung đều không phải là phổ biến bị tiếp thu. Ở loại hình luận trung lựa chọn công lý cùng ở cấu tạo tính tập hợp luận trung lựa chọn công lý khác nhau là, người trước không cóBên ngoài tínhMà người sau có^[6].

Một ít cấu tạo tính tập hợp luận kết quả dùng tới rồiCó thể đếm được lựa chọn công lýHoặcỶ lại lựa chọn công lý,Này hai cái công lý ở cấu tạo tính tập hợp luận nội cũng không ẩn dấu luật bài trung. Cứ việc có thể đếm được lựa chọn công lý ở cấu tạo tính toán học trung ứng dụng đặc biệt rộng khắp, nó sử dụng cũng đã chịu nghi ngờ^[7].

Cường hình thức công lý

Nhưng cấu tạo tính công lýCùngLiên tục thống giả thiếtĐều ẩn dấu lựa chọn công lý, càng chính xác ra, hai người đều nghiêm khắc cường với lựa chọn công lý^[8].Ở loại lý luận trung, nhưJohn von Neumann - bác nội tư - Gödel tập hợp luậnCùngMorse–Kelley tập hợp luận,Tồn tại một cái kêuToàn cục lựa chọn công lýCông lý, nó so lựa chọn công lý muốn cường, nhân này đồng thời cũng áp dụng vớiThật loại.Toàn cục lựa chọn công lý nhưng từLớn nhỏ hạn chế công lýĐẩy ra.

Kết luận

GödelChứng minh rồi lựa chọn công lý cùng ZF tương đối phối hợp tính.Paolo · khấu ânDùngLực bách phápChứng minh rồi lựa chọn công lý độc lập với ZF.

Tham khảo văn hiến

Trích dẫn

^Zermelo 1904.
^Jech, 1977, p. 348ff;Martin-Löf 2008, p. 210. According toMendelson 1964,Trang 201:The status of the Axiom of Choice has become less controversial in recent years. To most mathematicians it seems quite plausible and it has so many important applications in practically all branches of mathematics that not to accept it would seem to be a wilful hobbling of the practicing mathematician.
^Patrick Suppes,"Axiomatic Set Theory", Dover, 1972 (1960),ISBN 978-0-486-61630-8,pp 240
^Per Martin-Löf,Intuitionistic type theory(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán),1980. Anne Sjerp Troelstra,Metamathematical investigation of intuitionistic arithmetic and analysis,Springer, 1973.
^Errett BishopandDouglas S. Bridges,Constructive analysis,Springer-Verlag, 1985.
^Per Martin-Löf,"100 Years of Zermelo’s Axiom of Choice: What was the Problem with It?",The Computer Journal(2006) 49 (3): 345-350. doi: 10.1093/comjnl/bxh162
^Fred Richman, “Constructive mathematics without choice”, in: Reuniting the Antipodes—Constructive and Nonstandard Views of the Continuum (P. Schuster et al., eds), Synthèse Library 306, 199–205, Kluwer Academic Publishers, Amsterdam, 2001.
^Devlin, Keith.Constructibility.Springer-Verlag.1984.ISBN3-540-13258-9.

Nơi phát ra

Ernst Zermelo, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I,"Mathematische Annalen 65:(1908) pp. 261-81.PDF download via digizeitschriften.de

Translated in:Jean van Heijenoort,2002.From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931.New edition. Harvard Univ. Press.ISBN 978-0-674-32449-7.

1904. "Proof that every set can be well-ordered," 139-41.
1908. "Investigations in the foundations of set theory I," 199-215.

Gregory H Moore, "Zermelo's axiom of choice, Its origins, development and influence", Springer; 1982.ISBN 978-0-387-90670-6.
Paul Howard and Jean Rubin, "Consequences of the Axiom of Choice". Mathematical Surveys and Monographs 59; American Mathematical Society; 1998.

Phần ngoài liên tiếp

Paul Howard at EMU(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán) có rất nhiều người vẫn cứ ở vì lựa chọn công lý cùng nó suy luận mà làm không biết mệt mà công tác. Nếu ngươi có hứng thú hiểu biết càng nhiều nội dung, thỉnh tham khảo cái này trang web.

Tham kiến

[1] Zermelo 1904.

[2] Jech, 1977, p. 348ff;Martin-Löf 2008, p. 210. According toMendelson 1964,Trang 201:The status of the Axiom of Choice has become less controversial in recent years. To most mathematicians it seems quite plausible and it has so many important applications in practically all branches of mathematics that not to accept it would seem to be a wilful hobbling of the practicing mathematician.

[3] Patrick Suppes,"Axiomatic Set Theory", Dover, 1972 (1960),ISBN 978-0-486-61630-8,pp 240

[4] Per Martin-Löf,Intuitionistic type theory(Giao diện lưu trữ sao lưu,Tồn vớiInternet hồ sơ quán),1980. Anne Sjerp Troelstra,Metamathematical investigation of intuitionistic arithmetic and analysis,Springer, 1973.

[5] Errett BishopandDouglas S. Bridges,Constructive analysis,Springer-Verlag, 1985.

[6] Per Martin-Löf,"100 Years of Zermelo’s Axiom of Choice: What was the Problem with It?",The Computer Journal(2006) 49 (3): 345-350. doi: 10.1093/comjnl/bxh162

[7] Fred Richman, “Constructive mathematics without choice”, in: Reuniting the Antipodes—Constructive and Nonstandard Views of the Continuum (P. Schuster et al., eds), Synthèse Library 306, 199–205, Kluwer Academic Publishers, Amsterdam, 2001.

[8] Devlin, Keith.Constructibility.Springer-Verlag.1984.ISBN3-540-13258-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]