Ứng lực

ỞLiên tục chất môi giới cơ học,Ứng lựcĐịnh nghĩa vì đơn vịDiện tíchSở thừa nhậnTác dụng lực.Lấy công thức đánh dấu vì

$\sigma _{ij}=\lim _{\Delta A_{i}\to 0}{\frac {\Delta F_{j}}{\Delta A_{i}}}\,$;

Trong đó,$\sigma \,$Tỏ vẻ ứng lực;$\Delta F_{j}\,$Tỏ vẻ ở$j\,$Phương hướng thi lực;$\Delta A_{i}\,$Tỏ vẻ ở$i\,$Phương hướng chịu lực diện tích.

Đồ 1, ở một cái có thể biến đổi hình liên tục vật chất bên trong các loại khả năng ứng lực

Giả thiết chịu nỗ lực mặt cùng thi lực phương hướngChính giao,Tắc xưng này ứng lực phân lượng vìChính hướng ứng lực( normal stress ), như đồ 1 sở kỳ$\sigma _{11}\,$( đối màu vàng cái kia mặt tới nói ),$\sigma _{22}\,$,$\sigma _{33}\,$,Đều là chính hướng ứng lực; giả thiết chịu nỗ lực mặt cùng thi lực phương hướng cho nhau song song, tắc xưng này ứng lực phân lượng vìCắt ứng lực( shear stress ), như đồ 1 sở kỳ$\sigma _{12}\,$,$\sigma _{13}\,$,$\sigma _{21}\,$,$\sigma _{23}\,$,$\sigma _{31}\,$,$\sigma _{32}\,$,Đều là cắt ứng lực.

“Nội ứng lực” chỉ tạo thành chỉ một cấu tạo bất đồng tài chất chi gian, nhân tài chất sai biệt mà dẫn tới biến hình phương thức bất đồng, tiện đà sinh ra các loại ứng lực.

Chọn dùngQuy chế đơn vị đo lường quốc tế,Ứng lực đơn vị làPascal( Pa ), bằng 1Newton／ bình phương mét. Ứng lực đơn vị cùngSức chịu nénĐơn vị tương đồng. Hai loại lượng vật lý đều là đơn vị diện tích tác dụng lực độ lượng. Thông thường, ở công trình học, sử dụng đơn vị là megapascals ( MPa ) hoặc gigapascals ( GPa ). Chọn dùngĐơn vị đo lường Anh đơn vị,Ứng lực đơn vị làBàng lực／Bình phương tấc Anh( psi ) hoặcNgàn bàng lực／Bình phương tấc Anh( ksi ).

Ứng lực trương lượng

Thông thường thuật ngữ “Ứng lực” trên thực tế là một cái gọi là “Ứng lực trương lượng”( stress tensor )Nhị giai trương lượng( tường thấyCũng thỉ trương lượngHoặc làTrương lượng tích). Tóm tắt mà nói,Ứng lựcMiêu tảLiên tục chất môi giớiBên trong chi gian cùng phần ngoài tác dụng lực ( hơn nữa là ở tiếp xúc gần gũiTác dụng lực) tiến hànhHỗ trợ lẫn nhauCường độ. Cụ thể nói, nếu chúng ta đem liên tục chất môi giới dùng một trương giả tưởng bóng loángMặt congĐem nó một phân thành hai, như vậy bị tách ra này hai bộ phận liền sẽ xuyên thấu qua này trương mặt cong lẫn nhau gây tác dụng lực. Thực hiển nhiên, cho dù ở bảo trì liên tục chất môi giới vật lý trạng thái bất biến tiền đề hạ, loại này tác dụng lực cũng sẽ bởi vì giả tưởng mặt cong bất đồng mà bất đồng, cho nên, cần thiết dùng một cái không ỷ lại với giả tưởng mặt congLượng vật lýTới miêu tả liên tục chất môi giới bên trong hỗ trợ lẫn nhau trạng thái. Đối với liên tục chất môi giới tới nói, đảm đương này nhậm chính là ứng lực trương lượng, tên gọi tắt vì ứng lực.

Ở chỗ này, chúng ta theo như lờiLiên tục chất môi giớiCùngVật lý họcTrungChất,Vật thể,Điểm điện tíchChờ cùng loại, đều là một loạiMô hình,Nó giả địnhVật chấtKhông cóVi mô kết cấu,Mà chỉ làLiên tụcMà phân bố ở một cái cấp định 3dKhu vựcTrung －－ có chút dưới tình huống cũng sẽ giả định nó liên tục phân bố ở một cái bóng loáng mặt cong thượng, thậm chí một cái bóng loángĐường congThượng, bất quá chúng ta nơi này tạm không suy xét loại này 2D phân bố cùng một duy phân bố liên tục chất môi giới. Vật thể chính là liên tục chất môi giới một loại đặc thù tình hình.Thể lưuCùngCo dãn thểCũng là liên tục chất môi giới đặc thù tình hình.

Thiết$d\mathbf {S} \,$Là giả tưởng mặt cong${\mathcal {S}}\,$Một cái nhỏ bé diện tích nguyên tố vector, này phương hướng là vuông góc với giả tưởng mặt cong, hướng tới giả tưởng mặt cong ngoại sườn chỉ đi phương hướng,$d\mathbf {F} \,$Là gây với giả tưởng mặt cong$d\mathbf {S} \,$Tác dụng lực, giả thiết$d\mathbf {F} \,$Chính trực phương hướng là hướng tới giả tưởng mặt cong ngoại sườn chỉ đi phương hướng. Tắc, làm một cái vật lý mô hình,$d\mathbf {F} \,$Đối$d\mathbf {S} \,$Có tuyến tính ỷ lại quan hệ, nói cách khác, từ$d\mathbf {S} \,$Đến$d\mathbf {F} \,$Chiếu rọi là một cáiTuyến tính chiếu rọi.Cái này tuyến tính chiếu rọi có thể thông qua nhị giai trương lượng${\boldsymbol {\sigma }}\,$( ởChạy bằng điện cơ họcCùngThuyết tương đốiTrung bình thường dùng$\mathbf {T} \,$Tới tỏ vẻ ) cùng$d\mathbf {S} \,$Trương lượng súc cũng(tensor contraction) được đến:

$d\mathbf {F} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot d\mathbf {S} \,$;

Nơi này${\boldsymbol {\sigma }}\,$Chính là ứng lực trương lượng.

Nếu thành lập một cáiGóc vuông tọa độ hệ$(O\,;x,y,z)\,$,Vì giản tiện khởi kiến, chúng ta đem$x,\,y,\,z\,$Phân biệt nhớ vì$x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\,$,Đem đối ứng ba cái đơn vị vector$\mathbf {i},\,\mathbf {j},\,\mathbf {k} \,$Phân biệt nhớ vì$\mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2},\,\mathbf {e} _{3}\,$,Tắc

$d\mathbf {S} =\mathbf {e} _{i}\,dS^{i}\,,\qquad d\mathbf {F} =\mathbf {e} _{i}\,dF^{i}$,

Ở chỗ này, chỉ tiêu$i,\,j,\,k\,$Chờ lấy giá trị phạm vi vì 1, 2, 3, hơn nữa lặp lại chỉ tiêu muốn dựa theoEinstein cầu hòa ước địnhTới cầu hòa. Cùng thông thường ký hiệu ( thấyMặt cong tích phân) tới liên hệ, có

$dS^{1}=dy\,dz\,,\qquad dS^{2}=dz\,dx\,,\qquad dS^{3}=dx\,dy$,

Chúng ta có thể đem ứng lực trương lượng${\boldsymbol {\sigma }}\,$Viết thành

${\boldsymbol {\sigma }}=\sigma ^{ij}\,\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}$,

Như vậy, dựa theoCũng thỉ trương lượngCùngVectorSúc cũng quy tắc,

${\boldsymbol {\sigma }}\cdot d\mathbf {S} =\sigma ^{ij}\,(\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{k}\,dS^{k}=\sigma ^{ij}\,\mathbf {e} _{i}(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{k})\,dS^{k}=\sigma ^{ij}\,\mathbf {e} _{i}\,g_{jk}\,dS^{k}=g_{jk}\sigma ^{ij}\,dS^{k}\,\mathbf {e} _{i}\,$;

Trong đó,$g_{jk}\,$LàĐộ lượng trương lượng.

Đem thượng thức hữu đoan cùng$d\mathbf {F} =\mathbf {e} _{i}\,dF^{i}\,$Tiến hành tương đối có thể được đến

$dF^{i}=g_{jk}\sigma ^{ij}\,dS^{k}=\sigma ^{ij}\,dS_{j}$,

Đối vớiGóc vuông tọa độ hệ,Tùy ýCộng lượng biến đổiCùng với đối ứngPhản lượng biến đổiBằng nhau, bởi vậy có thể đem sở hữu thượng tiêu thay đổi vì hạ tiêu. Cho nên,

$dF_{i}=\sigma _{ij}\,dS_{j}$,

Bởi vậy có thể được đến$\sigma _{ij}\,$Vật lý ý nghĩa: Nếu giả tưởng mặt cong${\mathcal {S}}\,$Nhỏ bé diện tích nguyên tố$d\mathbf {S} \,$Phương hướng cùng$\mathbf {e} _{1}\,$Phương hướng nhất trí, tắc

$d\mathbf {F} =\sigma _{i1}\,\mathbf {e} _{i}\,dS_{1}=\sigma _{i1}\,\mathbf {e} _{i}\,dy\,dz$,

Có thể thấy được$\sigma _{i1}\,$Là hướng tới$\mathbf {e} _{i}\,$Phương hướng gây với$x_{1}\,$Chờ giá trị mặt congĐơn vị diện tích tác dụng lực.

Thực hiển nhiên, ứng lực trương lượngLượng cươngCùng lực cùng diện tích so tương đồng, đều là$[F/S]=[M]\,[L^{-1}]\,[T^{-2}]\,$,ỞQuy chế đơn vị đo lường quốc tếTrung, nó đơn vị làPascal( Pa ),$1\,\mathrm {Pa} =1\,\mathrm {N} /\mathrm {m} ^{2}\,$.Cái này đơn vị cũng làSức chịu nénĐơn vị, chúng ta lập tức liền có thể nhìn đến hai người chi gian quan hệ.

Cao tư định lý

Nếu liên tục chất môi giới bị một trương mặt cong$S\,$Phân cách vì 1, 2 hai bộ phận, nếu chúng ta muốn tính toán đệ 2 bộ phận đối đệ 1 bộ phậnTác dụng lực tổng hoà$\mathbf {F} _{21}\,$,Liền có thể đem$S\,$Đơn vị pháp vector${\hat {\mathbf {n} }}\,$Tuyển vì từ 1 chỉ hướng 2, hơn nữa lệnh$d\mathbf {S} ={\hat {\mathbf {n} }}\,dS\,$,Tắc

$\mathbf {F} _{21}=\iint _{S}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot d\mathbf {S}$,

Nếu$S\,$Là một cáiPhong bế mặt cong,Như vậy${\hat {\mathbf {n} }}\,$Liền trở thành đệ 1 bộ phận nơiKhu vực$V\,$Ngoại pháp vector,Lúc này có thể đối kể trên tích phân ứng dụngCao tư công thức,Này kết quả vì

$\mathbf {F} _{21}=\iiint _{V}\mathrm {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}\,dV\,$;

Trong đó$\mathrm {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}\,$Là nhị giai trương lượng${\boldsymbol {\sigma }}\,$Tán độ,Ở chỗ này chúng ta đem nó định nghĩa vì

$\mathrm {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial \sigma ^{ij}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}=\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}'$,

Mà

${\boldsymbol {\sigma }}'=\sigma ^{ij}\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}$,

Là${\boldsymbol {\sigma }}=\sigma ^{ij}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}\,$Chuyển trí.

VềNhị giai trương lượng cao tư định lý,Tường thấyCao tư công thức.

Newton đệ tam định luật tự động thỏa mãn

Newton đệ tam định luật hiển nhiên là thỏa mãn, bởi vì, nếu diện tích nguyên$d\mathbf {S} \,$Từ chất môi giới đệ 1 bộ phận chỉ hướng đệ 2 bộ phận, tắc$d\mathbf {S} '=-d\mathbf {S} \,$Liền sẽ từ chất môi giới đệ 2 bộ phận chỉ hướng đệ 1 bộ phận, vì thế đệ 2 bộ phận đối đệ 1 bộ phận tác dụng lực$d\mathbf {F} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot d\mathbf {S} \,$Cùng đệ 1 bộ phận đối đệ 2 bộ phận tác dụng lực$d\mathbf {F} '={\boldsymbol {\sigma }}\cdot d\mathbf {S} '\,$Hiển nhiên thỏa mãn$d\mathbf {F} '=-d\mathbf {F}$,

Ứng lực trương lượng tính đối xứng

Nơi này theo như lời tính đối xứng, là chỉChuyển tríHạ bất biến tính, tức

${\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\sigma }}$,

Đó là

$\sigma ^{ji}=\sigma ^{ij}$,

Ứng lực trương lượng tính đối xứng nhưng từ thể tích hơi nguyên lực bẩy cân bằng suy luận đến ra. ỞNewton cơ họcTrung, ứng lực trương lượng tính đối xứng làLượng chuyển động của góc định lýMột cái suy luận.

Sức chịu nén cùng cắt ứng lực

Có thể đem ứng lực trương lượng phân giải vìSức chịu nén( pressure )$p\,$CùngCắt ứng lực( shear stress )${\boldsymbol {\tau }}\,$Hai bộ phận. Vì thế, chúng ta trước cấp ra nhị giai trương lượngTích( trace ) cùng với đơn vị trương lượng định nghĩa.

Thiết$\mathbf {T} \,$Là một cái nhị giai trương lượng, mà$(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})\,$Là 3dEuclid không gian( Euclidean space )$E^{3}\,$Một cái tay phảiTiêu chuẩn chính giao cơ( orthonormal basis ), tắc định nghĩa$\mathbf {T} \,$Tích( trace )

$\mathrm {tr} \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {T} \cdot \mathbf {e} _{i}$,

Ở chỗ này, chúng ta ước định: Nếu cầu hòa hào ở biểu đạt thức trung xuất hiện, như vậyEinstein cầu hòa ước địnhLiền không hề hữu hiệu. Không khó nghiệm chứng, nếu đem$\mathbf {T} \,$Triển khai vì$\mathbf {T} =T^{ij}\,\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}\,$,Tắc

$\mathrm {tr} \mathbf {T} =T^{ii}$,

Kế tiếp, chúng ta định nghĩa

$\mathbf {I} =\delta ^{ij}\,\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}$,

Tắc không khó chứng minh,$\mathbf {I} \,$Định nghĩa cùng tiêu chuẩn chính giao cơ$(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})\,$Lựa chọn sử dụng không quan hệ. Ngoài ra, không khó nghiệm chứng nó giống như hạ tính chất: Đối với tùy ý một cái vector$\mathbf {a} \,$,Luôn là thành lập

$\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a}$,

Bởi vậy chúng ta xưng$\mathbf {I} \,$Vì$E^{3}\,$ThượngĐơn vị trương lượng.

Mượn dùng với trở lên hai khái niệm, chúng ta đối ứng lực trương lượng${\boldsymbol {\sigma }}\,$Định nghĩa

$p=-{\frac {1}{3}}\,\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}\,,\qquad {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\sigma }}+p\mathbf {I}$,

Vì thấy rõ chúng nó vật lý ý nghĩa, chúng ta trước suy xét một cái đặc thù tình hình: Ứng lực trương lượng${\boldsymbol {\sigma }}\,$Thỏa mãn${\boldsymbol {\tau }}=0\,$,Tắc${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} \,$.Ở chất môi giới trung nhậm lấy một cái diện tích nguyên$d\mathbf {S} \,$,Tắc diện tích nguyên sở chỉ hướng kia bộ phận chất môi giới (Ngoại sườn chất môi giới) đối nóNội sườn chất môi giớiTác dụng lực vì$d\mathbf {F} =-p\,d\mathbf {S} \,$,Dấu trừ cho thấy$d\mathbf {F} \,$Phương hướng cùng$d\mathbf {S} \,$Tương phản, tức chất môi giới bên trong tác dụng lực là một loại áp lực, này phương hướng luôn là vuông góc với phân cách mặt. Ở chất môi giới vì thể lưu tình hình,$p\,$Vừa lúc chính làSức chịu nén.

Đối với điện từ trườngMark sĩ uy ứng lực trương lượng$\mathbf {T} \,$Mà nói, kể trên định nghĩa hạ sức chịu nén$p\,$Chính làĐiện từ trường năng lượng mật độ$u\,$Một phần ba, tứcÁp suất ánh sáng:

$p={\frac {1}{3}}u$,

Thấy phía dưới “Mark sĩ uy ứng lực trương lượng” một tiết.

Ở thảo luận${\boldsymbol {\tau }}\,$Vật lý ý nghĩa phía trước, trước cấp ra nó một ít cơ bản tính chất. Đầu tiên,

$\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\tau }}=0$,

Cho nên, thường thường xưng${\boldsymbol {\tau }}\,$Vì${\boldsymbol {\sigma }}\,$Vô tích bộ phận.

Mark sĩ uy ứng lực trương lượng

ỞChạy bằng điện cơ họcTrung,Điện từ trườngMark sĩ uy ứng lực trương lượngỞQuy chế đơn vị đo lường quốc tếTrung biểu đạt thức vì

$\mathbf {T} =\varepsilon _{0}\mathbf {EE} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {BB} -u\mathbf {I} \,$;

Trong đó

$u={\frac {1}{2}}{\Big (}\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}{\Big )}$,

LàĐiện từ trường năng lượng mật độ.Không khó coi ra, Mark sĩ uy ứng lực trương lượng tích$\mathrm {tr} \,\mathbf {T} =-u\,$,Cố nó sở đối ứng sức chịu nén

$p={\frac {1}{3}}u$,

Đây làThống kê cơ họcTrung bình thường gặp đượcÁp suất ánh sáng.

Ứng lực chủng loại

• Mà ứng lực:Bởi vì nham thạch phát sinh biến hình mà khiến cho chất môi giới bên trong đơn vị diện tích thượng tác dụng lực.
• Nhiệt ứng lực: Tài liệu bởi vìĐộ ấmBiến hóa sở sinh raỨng lực.
• Trạng thái tĩnh ứng lực: Sở gây với vật thể thượng lực lớn tiểu cùng phương hướng không theoThời gianBiến hóaỨng lực.
• Động thái ứng lực: Sở gây với vật thể thượng lực lớn tiểu tùyThời gianBiến hóaỨng lực.
• Mệt nhọc ứng lực: Thời gian dài phản phúc gây với vật thể thượng sứ đến vật thể phát sinh mệt nhọcỨng lực.
• Tàn lưu ứng lực: Vật thể chịu lực sau sở sinh raỨng biếnVượt qua co dãn phạm vi, mà khiến cho vật thể bên trong vô pháp khôi phục nguyên lai trạng thái sở còn sót lạiỨng lực.

Tham kiến

• Ứng biến
• Mark sĩ uy ứng lực trương lượng
• Hồ Khắc định luật
• Năng lượng - động lượng trương lượng

Tương quan lĩnh vực

• Co dãn cơ học
• Tài liệu cơ học
• Vật lý học
• Chạy bằng điện cơ học
• Thuyết tương đối
• Tràng luận

Tham khảo văn hiến

1. Landau and Lifshitz, 《Theory of Elasticity》 ( anh bản dịch ) 3rd ed., Oxford: Pergamon Press, 1986: Section 2.
2. Landau and Lifshitz, 《Fluid Mechanics》 ( anh bản dịch ) 2nd ed., Oxford: Pergamon Press, 1987: Section 15.
3. Landau and Lifshitz, 《Electrodynamics of Continuous Media》 ( anh bản dịch ) 2nd ed., Oxford: Pergamon Press, 1984: Section 15.
4. Tạ nhiều phu, 《 liên tục chất môi giới cơ học 》 ( quyển thứ nhất, đệ 6 bản, Lý thực dịch ), Bắc Kinh: Giáo dục cao đẳng nhà xuất bản, 2007: 94—101.