Khích tích thuật

Đống tích thuật,Cũng xưngKhích tích thuật,Thực chất thượng là một loạiCao giai cấp số cộng cầu hòaVấn đề. Từ Bắc TốngThẩm quátĐầu khai khơi dòng, Nam TốngDương huyCùng nguyên triềuChu thế kiệtNhiều có cống hiến.

Thẩm quát ở 《Mộng khê bút đàm》 cuốn mười tám 《 tài nghệ 》 thiên thứ nhất sáng chế khích tích thuật, là dùng để nghiên cứu nào đó vật phẩm ấn quy luật chồng chất lên cầu này tổng số vấn đề. Khích tích là chỉ rượu ung linh tinh vật phẩm, hướng lên trên chồng chất thành đài hình chi trạng, cầu này tổng số, đây là nhị giai cấp số cộng cầu hòa vấn đề. Đến nỗi đống tích là đống cầu tích ý tứ. Đống tích thuật là dương huy kế Thẩm quát khích tích thuật lúc sau, khai sáng cao giai cấp số cộng nghiên cứu. Nguyên đại chu thế kiệt tắc đem đống tích thuật nghiên cứu đẩy hướng tối cao phong, hắn sử dụngChiêu kém thuậtTrên thực tế là giải quyết tùy ý cao giai cấp số cộng hữu hạn hạng cầu hòa vấn đề.

Thẩm quát khích tích thuật

Bắc TốngThẩm quátỞ 《Mộng khê bút đàm》 cuốn mười tám 《 tài nghệ 》 thiên, thứ nhất sáng chế khích tích thuật:Khích tích giả, gọi tích chi có khích giả, như mệt cờ, tầng đàn cập sái gia tích anh linh tinh. Tuy tựa phúc đấu, tứ phía toàn sát, duyên có khắc thiếu cập hư khích chỗ, dùng sô đồng pháp cầu chi, thường thất với số thiếu. Dư tư mà đến chi, dùng tranh đồng pháp vì thượng vị; hạ vị đừng liệt: Hạ quảng trở lên quảng giảm chi, dư giả lấy cao thừa chi, sáu mà một, nhập vào thượng vị. Giả sử tích anh: Nhất thượng hành tung hoành các nhị anh, nhất chuyến về các mười hai anh, hành hành tương thứ. Trước trở lên nhị hành tương thứ, suất đến mười hai, đương mười một hành cũng. Lấy sô đồng pháp cầu chi, lần thượng hành lớn lên bốn, nhập vào hạ lớn lên mười sáu, trở lên quảng thừa chi, đến chi tam mười hai; lại lần chuyến về lớn lên 24, nhập vào thượng trường, đến 26, dưới quảng thừa chi, đến 312; cũng nhị vị đến 344, lấy cao thừa chi, đến 3784. Trọng liệt hạ quảng mười hai, trở lên quảng giảm chi, dư mười, lấy cao thừa chi, đến 110, nhập vào thượng vị, đến 3894; sáu mà một, đến 649, đây là anh số cũng. Sô đồng cầu kiến thật phương chi tích, khích tích cầu kiến hợp giác bất tận, ích ra tiện tích cũng

Một cái tầng đàn, cộng$h$Tầng, mặt trên$a\times b$,Hạ đế$c\times d$,

Đây là nhị giai cấp số cộng cầu hòa vấn đề:

$ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+...+(a+h-1)(b+h-1)$

Thẩm quát cấp ra công thức${\frac {h}{6}}((2a+c)b+(2c+a)d+(d-b))$

Dương huy đống tích thuật

Dương huy ở 《 tường giải chín chương thuật toán 》《 thương công 》 thiên trình bày phương đống, sô manh đống, sô đồng đống, cùng tam giác đống.

Phương đống

Quả tử lấy đống, phía dưới mười bốn cái, hỏi kế bao nhiêu? Thuật rằng: Phía dưới thêm một, thừa phía dưới vì bình tích. Lại thêm nửa vì cao, lấy thừa phía dưới vì cao tích. Như tam mà một.

$1+4+9+16....n^{2}={\frac {1}{3}}n(n+1)(n+{\frac {1}{2}})={\frac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)$.

Sô đồng đống

Tức hình chữ nhật lập thể đống, mặt trên trường$n$Cái, khoan$m$Cái, cao$h$Cái:

$4*2+5*3+6*4+7*5+\dots +(n+h-1)*(m+h-1)={\frac {h}{6}}((2n+n+h-1))*m+(2(n+h-1)+n)$

Tam giác đống

Tam giác đống hạ quảng một mặt mười hai cái, thượng tiêm, cao mười hai cái, hỏi: Kế bao nhiêu?

Thuật rằng: Hạ quảng thêm một, thừa hạ quảng. Bình tích, hạ quảng thêm nhị thừa chi, lập cao phương tích, như sáu mà một.

$1+3+6+10+\dots {\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {1}{6}}n(n+1)(n+2)$

Chu thế kiệt đống tích thuật

Tam giác đống

《Bốn nguyên ngọc giám》 《 quả chất đống tàng 》 đệ nhất hỏi:

“Nay có tam giác đống quả tử một khu nhà, đáng giá nhất quán 320 văn, chỉ vân từ thượng một cái đáng giá nhị văn, thứ hạ tầng tầng mỗi cái mệt quý một văn, hỏi đáy mỗi mặt bao nhiêu?”

Đáp rằng: Chín.

Thuật rằng: Lập thiên nguyên một vì mỗi cái đáy, như tích cầu chi, đến tam vạn nhất ngàn 680 vì ích thật mười vì từ phương, 21 vì từ thượng liêm, một mười bốn vì hạ liêm, tam vì từ ngung, tam kiệt phương khai chi, đến mỗi cái đáy, hợp hỏi.

Tam giác đống cấp số

$1+3+6+10+...+{\frac {1}{2}}n(n+1)$

Tam giác đống từ trên xuống dưới, mỗi biên quả tử số là:

$1,2,3,4,5,6,\dots,n$

Từ trên xuống dưới, mỗi cái quả tử đáng giá:

$2,3,4,5,6,7,\dots,(n+1)$

Tam giác quả tử đống giá trị V từ dưới đây cấp số tỏ vẻ

$v=2+9+24+50+90+147+224+\dots +{\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}$

Đây là một cái đã biết cấp số cùng, đảo cầu n toán học vấn đề.

Chu thế kiệt dùng thiên nguyên thuật, lệnh thiên nguyên một vì mỗi đường đáy quả tử số$x=n$

Chu thế kiệt dùng cầu hòa công thức:$v={\frac {1}{2*3*4}}(3x+5)*x*(x+1)*(x+2)$

Nay$v=1320$Đến

$3*x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0$

Giải chi, đến$x=n=9$.

$v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320$.

Tam giác lạc một hình đống

$1*2*3+2*3*4+3*4*5+\dots +n(n+1)(n+2)={\frac {1}{4}}n(n+1)(n+2)(n+3)$

Tứ giác lạc một hình đống

$1*2*3+2*3*5+3*4*7+\dots +n(n+1)(2n+2)={\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}(n+2)$

Lam phong hình đống

$1+6+18+\dots +n^{2}(n+1)={\frac {1}{24}}n(n+1)(n+2)(3n+1)$

Tam giác lam phong hình đống

$6+48+180+\dots +n^{2}(n+1)(n+2)={\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)$

Rải tinh càng lạc một hình đống

$1+5+15+35+70+\dots +{\frac {1}{24}}n(n+1)(n+2)(n+3)={\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$

Tam giác rải tinh càng lạc một hình đống

$1+6+21+56+126+\dots +{\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)={\frac {1}{720}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)$

Tứ giác lam phong hình đống

$6+90+336+900+\dots +n^{2}(n+1)(2n+1)={\frac {1}{10}}n(n+1)(n+2)(n(4n+1+{\frac {1}{2}})+(4n+{\frac {1}{2}}))$