Số ảo đơn vị

Số ảo đơn vị$i$ỞPhục mặt bằngVị trí. Hoành trục là số thực, dựng trục là số ảo

Cao tư số nguyên hướng dẫn
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

ỞToán học,Vật lýCậpCông trình học,Số ảo đơn vịLà chỉPhương trình bậc hai$x^{2}+1=0$Giải. Tuy rằng không có như vậySố thựcCó thể thỏa mãn cái này phương trình bậc hai, nhưng có thể thông qua số ảo đơn vị đemSố thựcHệ thống$\mathbb {R}$Kéo dài đếnSố nhiềuHệ thống$\mathbb {C}$.Kéo dài chủ yếu động cơ vì có rất nhiều thậtHệ sốĐa thức phương trìnhVô số thực giải. Tỷ như vừa rồi nhắc tới phương trình$x^{2}+1=0$Liền vô số thực giải. Chính là nếu chúng ta cho phép giải đáp vìSố ảo,Như vậy này phương trình cùng với sở hữu đa thức phương trình đều có giải. Số ảo đơn vị đánh dấu vì$i$,ỞĐiện cơ công trìnhCùng tương quan trong lĩnh vực tắc đánh dấu vì$j$,Đây là vì tránh cho cùngĐiện lưu( nhớ vì$i(t)$Hoặc$i$) lẫn lộn.

Định nghĩa

$\ldots$

${{i}^{-{3}}}=i$

${{i}^{-{2}}}=-1$

${{i}^{-{1}}}=-i$

${{i}^{0}}=1$

${{i}^{1}}=i$

${{i}^{2}}=-1$

${{i}^{3}}=-i$

${{i}^{4}}=1$

${{i}^{5}}=i$

${{i}^{6}}=-1$

$\ldots$

Số ảo đơn vị$i$Định nghĩa vìPhương trình bậc hai thức$x^{2}+1=0$Hai cái căn trung một cái. Này phương trình lại có thể đồng giá biểu đạt vì:

${{x}^{2}}=-1$.

Bởi vì số thựcBình phươngTuyệt đối không thể làSố âm,Chúng ta giả thiết có như thế một số mục giải đáp, cho nó giả thiết một cái ký hiệu$i$.Rất quan trọng một chút là,$i$Là một cáiLương định nghĩaToán học cấu tạo.

Mặt khác, số ảo đơn vị đồng dạng có thể tỏ vẻ vì:

$i={\sqrt {-{1}}}$

Nhưng mà$i={\sqrt {-{1}}}$Thường thường bị ngộ nhận vì là sai, bọn họ chứng minh phương pháp là:

Bởi vì$-1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1$,Nhưng là -1 không đợi với 1.

Nhưng thỉnh chú ý:${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$Thành lập điều kiện có$a$,$b$Không thể vìSố âm.

Số thực giải toán có thể kéo dài đến số ảo cùng số nhiều. Đương tính toán một cái biểu đạt thức khi, chúng ta chỉ cần giả thiết$i$Là một cái không biết bao nhiêu, sau đó y theo$i$Định nghĩa, thay thế bất luận cái gì$i^{2}$Xuất hiện vì -1.$i$Càng cao số nguyên mịch số cũng có thể thay thế vì$-i$,$1$,Hoặc$i$,Căn cứ hạ thuật phương trình:

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i$,

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1$,

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i$.

Giống nhau mà, có dưới công thức:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$

Trong đó${\bmod {4}}$Tỏ vẻBị 4 trừ số dư.

iCùng-i

Phương trình$x^{2}=-1$Có hai cái bất đồng giải, chúng nó đều là hữu hiệu, thả lẫn nhau vìCộng ách số ảoCậpĐếm ngược.Càng thêm xác thực mà, một khi cố địnhPhương trìnhMột cái giải$i$,Như vậy$-i$( không phải là$i$) cũng là một cái giải, bởi vì cái này phương trình là$i$Duy nhất định nghĩa, bởi vậy cái này định nghĩa mặt ngoài có nghĩa khác. Nhưng mà, chỉ cần đem trong đó một cái giải tuyển định, cũng cố định vì$i$,Như vậy trên thực tế là không có nghĩa khác. Đây là bởi vì, tuy rằng$-i$Cùng$i$Ở số lượng thượng không phải bằng nhau ( chúng nó là một đôi cộng ách số ảo ), nhưng là$i$Cùng$-i$Chi gian không có chất lượng thượng khác nhau ( -1 cùng +1 liền không phải như vậy ). Ở bất luận cái gì đẳng thức trung đồng thời đem sở hữu i thay đổi vì -i, nên đẳng thức vẫn thành lập.

$-i^{2}=1$

$-i=i^{-1}={\frac {1}{i}}$

Đang lúc sử dụng

Số ảo đơn vị có khi nhớ vì${\sqrt {-1}}$.Nhưng là, sử dụng loại này nhớ pháp khi yêu cầu phi thường cẩn thận, đây là bởi vì có chút ở số thực trong phạm vi thành lập công thức ở số nhiều trong phạm vi cũng không thành lập. Tỷ như, công thức${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$Chỉ đối với phi phụ số thực$a$Cùng$b$Mới thành lập.

Giả như cái này quan hệ ở số ảo vẫn thành lập, tắc sẽ xuất hiện dưới tình huống:

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$( không chính xác )

$-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1$( không chính xác )

${\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i$( không chính xác )

iGiải toán

Số ảo đơn vị$i$Căn bậc hai ở phục mặt bằng vị trí

Rất nhiều số thực giải toán đều có thể mở rộng đến$i$,Tỷ nhưCăn bậc hai,Mịch,Đối sốCùngHàm số lượng giác.Dưới giải toán trừ đệ nhất hạng ngoại, đều vì cùng$i$Có quan hệNhiều giá trị hàm số,Ở thực tế ứng dụng khi cần thiết nói rõ hàm số định nghĩa lựa chọn ởLê mạn mặtNào một chi. Phía dưới liệt ra gần là nhất thường chọn dùng lê mạn mặt chi nhánh tính toán kết quả.

• $i$Căn bậc haiVì:

$\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

Đây là bởi vì:

${\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}$

Sử dụngSố học căn bậc haiKý hiệu tỏ vẻ:

${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

Này giải pháp vì trước giả thiết hai số thực$x$Cập$y$,Khiến cho$(x+iy)^{2}=i$,Cầu giải$x,y$

• Một số$ni$Thứ mịch vì:

$x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}$

Một số$ni$Thứ căn thức vì:

${\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}$

Lợi dụngCông thức Euler

$i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}$,$k\in \mathbb {Z}$

Đại nhập bất đồng$k$Giá trị, nhưng tính toán ra vô hạn nhiều giải. Đương$k=0$Nhỏ nhất giải là$e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx$0.20787957635076...

• Lấy$i$Vì đế đối số vì:

$\log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }$

• $i$CosinesLà một cáiSố thực:

$\cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx$1.5430806348152...

• $i$SinLàThuần số ảo:

$\sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx$1.1752011936438...$i$

Ở thể thức ngôn ngữ

• Đại bộ phậnThể thức ngôn ngữĐều không cung cấpSố ảo đơn vị,ThảCăn bậc haiHàm số( phần lớn vìsqrt()HoặcMath.Sqrt())Dẫn sốKhông thể làSố âm,Bởi vậy, cần thiết tự hành thành lập phân loại phía sau có thể sử dụng.
• NhưngLispRất nhiều thực hiện cùng phương ngôn, nhưCommon Lisp,Nội kiếnSố ảoCùngSố nhiềuDuy trì. Không ítĐộng thái ngôn ngữChịu này ảnh hưởng, cũng ở ngôn ngữ bản thân hoặc tiêu chuẩn kho trung duy trìSố ảoCùngSố nhiều,NhưPython,Ruby.
• Một ít truyền thống biên trình ngôn ngữ, nhưC ngôn ngữ,Cũng từC99Bắt đầu duy trìSố ảoCùngSố nhiều.
• ỞMatlab,Số ảo đơn vịTỏ vẻ phương pháp vìiHoặcj,NhưngiCùngjỞfor hồi vòngCó thể có mặt khác sử dụng.
• ỞMathematica,Số ảo đơn vịTỏ vẻ phương pháp vìI,𝕚Hoặc𝕛.
• ỞMaple,Cần thiết bắt đầu dùngSố ảoCông năng, cũng lựa chọn dùngiVẫn làjTỏ vẻSố ảo đơn vị.
• GoNgôn ngữ với đệ 1.0 bản liền nội kiếnSố ảoCùngSố nhiềuDuy trì, biến số loại hình vìcomplex64Cùngcomplex128.

Tham kiến

• Đại số cơ bản định lý
• Số ảo
• Phục mặt bằng
• Đơn vị căn
• i

Tham khảo văn hiến

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

Phần ngoài liên tiếp

• Âu kéo đối đa thức số nhiều căn nghiên cứu
• i làm -1 căn bậc hai ( tiếng Anh video )
• $i^{7321}$Tính toán phương pháp nêu ví dụ ( tiếng Anh video )