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解题方法
1 . 若无穷正项数列
同时满足下列两个性质：①存在
，使得
；②为单调数列，则称数列具有性质
.
(1)若
，
（i）判断数列
是否具有性质，并说明理由；
（ii）记
，判断数列
是否具有性质，并说明理由；
(2)已知离散型随机变量
服从二项分布
，记为奇数的概率为
.证明：数列
具有性质.
同时满足下列两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质.(1)若
，（i）判断数列
是否具有性质，并说明理由；（ii）记
，判断数列是否具有性质，并说明理由；(2)已知离散型随机变量
服从二项分布，记为奇数的概率为.证明：数列具有性质.
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2 . 腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为____ ．
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解题方法
3 . 我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为
，第三组通过初赛和复赛的概率分别为
和
，其中
，三组是否通过初赛和复赛互不影响.
(1)求取何值时，第三组进入决赛的概率最大；
(2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望.
，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响.(1)求
取何值时，第三组进入决赛的概率最大；(2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数
的分布列和数学期望.
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4 . 已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为
.
(1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率；
(2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为，求的数学期望.
.(1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率；
(2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为
，求的数学期望.
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解题方法
5 . 单个水果的质量Y（单位:克）服从正态分布
，且
，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为 X，下列结论正确的是（ ）.
，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为 X，下列结论正确的是（ ）.A．若 ，则 的最大值为3 |
B．若 ，当 取最大值时， |
C．当 ，n为偶数时， |
D．若  ， ，则n的最小值为6 |
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6 . 现有甲、乙两个盒子，甲盒装有6个白球3个红球，乙盒装有5个白球5个红球，则下列说法正确的是（ ）
A．甲盒中一次取出3个球，至少取到一个红球的概率是 |
B．乙盒有放回地取3次球，每次取一个，取到2个白球和1个红球的概率是 |
C．甲盒不放回地取2次球，每次取一个，第二次取到红球的概率是 |
D．甲盒不放回地多次取球，每次取一个，则在第一、二次都取到白球的条件下，第三次也取到白球的概率是 |
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7 . 无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示：
用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分．
(1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率．
(2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率．
(3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若
，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值．
结论一：若随机变量
，则随机变量
近似服从正态分布
；
结论二：若随机变量
，则
，
．
对无人驾驶的态度 | 支持 | 中立 | 反对 |
频数 | 48 | 32 | 16 |
(1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率．
(2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率．
(3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若
，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值．结论一：若随机变量
，则随机变量近似服从正态分布；结论二：若随机变量
，则，．
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8 . 据统计，截止2023年十月底，中国网络购物用户规模近8亿人.据统计
社区100户居民的网上购物情况如下图表所示：
的把握认为社区的居民是否喜欢网上购物与年龄有关？
(2)用频率估计概率，现从社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢网上购物的居民人数为，
表示20位居民中有
位居民喜欢网上购物的概率，当取得最大值时，求
的值．
附：
．
社区100户居民的网上购物情况如下图表所示：
的把握认为社区的居民是否喜欢网上购物与年龄有关？(2)用频率估计概率，现从
社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢网上购物的居民人数为，表示20位居民中有位居民喜欢网上购物的概率，当取得最大值时，求的值．附：
． | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解题方法
9 . 已知正四面体
的四个面分别标注有字母
，随机抛掷该四面体，各面接触桌面的概率均相等．
(1)若每次抛掷时标注有
的面接触桌面为抛掷成功，将试验进行到恰好出现3次成功时结束试验，求结束试验时所抛掷的次数为4次的概率；
(2)若每次抛掷标注有或
的面接触桌面为抛掷成功，且试验进行到恰好出现2次成功时结束试验，用表示抛掷次数．
①求
；
②要使得在
次内（含次）结束试验的概率不小于
，求的最小值．
的四个面分别标注有字母，随机抛掷该四面体，各面接触桌面的概率均相等．(1)若每次抛掷时标注有
的面接触桌面为抛掷成功，将试验进行到恰好出现3次成功时结束试验，求结束试验时所抛掷的次数为4次的概率；(2)若每次抛掷标注有
或的面接触桌面为抛掷成功，且试验进行到恰好出现2次成功时结束试验，用表示抛掷次数．①求
；②要使得在
次内（含次）结束试验的概率不小于，求的最小值．
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10 . 某记忆力测试软件的规则如下：在标号为1、2、3、4的四个位置上分别放置四张相似的图片，观看15秒，收起图片并打乱，1分钟后，测试者根据记忆还原四张卡片的位置，把四张卡片分别放到四个位置上之后完成一次测试，四张卡片中与原来位置相同1张加2分，不同1张则扣1分．
(1)规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者在每次测试得8分的概率均为
（
），求他连续三次测试结果为良好的概率的最大值；
(2)假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
(1)规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者在每次测试得8分的概率均为
（），求他连续三次测试结果为良好的概率的最大值；(2)假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
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