可以证明员工和公司存在劳动关系的证据如下：
1、工资缴纳各项社会保险费的记录；
2、证明身份的证件；
3、劳动者填写用人单位的招用记录；
4、考勤记录；
5、其他劳动者的证言；
6、劳动合同。《关于确立劳动关系有关事项的通知》第二项规定，单位未与劳动者签订劳动合同，认定双方存在劳动关系时可参照下列凭证：
（一）工资支付凭证（职工工资发放花名册）、缴纳各项社会保险费的记录；
（二）用人单位向劳动者发放的“工作证”、“服务证”等能够证明身份的证件；
（三）劳动者填写的用人单位招工招聘“登记表”、“报名表”等招用记录；
（四）考勤记录；
（五）其他劳动者的证言等。
法律依据
《关于确立劳动关系有关事项的通知》第二项用人单位未与劳动者签订劳动合同，认定双方存在劳动关系时可参照下列凭证：
（一）工资支付凭证或记录（职工工资发放花名册）、缴纳各项社会保险费的记录；
（二）用人单位向劳动者发放的“工作证”、“服务证”等能够证明身份的证件；
（三）劳动者填写的用人单位招工招聘“登记表”、“报名表”等招用记录；
（四）考勤记录。